1.給值求值給出角的一種三角函數(shù)值，求另外的三角函數(shù)式的值，常用到同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及其推論，有時還用到“配角”的技巧，解題的關(guān)鍵是找出已知條件與欲求的值之間的角的運(yùn)算及函數(shù)名稱的差異，對已知式與欲求式施以適當(dāng)?shù)淖冃?，以達(dá)到解決問題的目的。

例2已知1+tanα1-tanα=5+26求1-sin2αcos2α的值

策略：要求1-sin2αcos2α的值，條件1+tanα1-tanα=5+26是非常重要的，要從這一條件出發(fā)，將α的某一三角函數(shù)值求出，即可獲解。

解析：1+tanα1-tanα=tan45°+tanα1-tan45°tanα=tan(45°+α)=5+26

∵cos2α1-sin2α=sin(90°+2α)1+cos(90°+2α)=tan(45°+α)

∴1-sin2α1cos2α=1tan(45°+α)=15+26=5-26

例1

求值：sec50°+tan10°

解析：sec50°+tan10°

=1cos50°+cos10°sin10°=1sin40°+cos80°sin80°

=2cos40°+cos80°sin80°=cos40°+cos40°+cos80°sin80°

=cos40°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)cos10°

如何將一個三角形面積分割成兩個相等的部分，是我們已熟知的問題，只要沿三角形的中線，即可把三角形分割成面積相等的兩個部分，許多同學(xué)認(rèn)為，這樣的分割線只有三條，但是，這樣的分割線到底有多少條呢？

問題1：請用一條直線，把△ABC分割為面積相等的兩部分。

解：取BC的中點(diǎn)，記為點(diǎn)D，連結(jié)AD，則AD所在直線把△ABC分成面積相等的兩個部分。

大家知道，這樣分割線一共有三條，分別是經(jīng)過△ABC的三條中線的直線，能把△ABC的面積分成相等兩部分。除了這三條以外，還有很多種，并且對于△ABC邊上任意一點(diǎn)，都可以找到一條經(jīng)過這點(diǎn)且把三角形面積平分的直線。

問題2：點(diǎn)E是△ABC中AB邊上的任意一點(diǎn)，且AE≠BE，過點(diǎn)E求作一條直線，把△ABC分成面積相等的兩部分。

解：如圖2，取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD，過點(diǎn)D作DF∥CE，交BC于點(diǎn)F，則直線EF就是所求的分割線。

1998年4月21日，國家教育部專門調(diào)整了高中數(shù)學(xué)的部分教學(xué)內(nèi)容，其中的調(diào)整意見第(7)條為：“對三角函數(shù)中的和差化積、積化和差的8個公式，不要求記憶?！痹俾?lián)想到1998年全國高考數(shù)學(xué)卷中，已盡可能減少了這8個公式的出現(xiàn)次數(shù)，

在僅有的一次應(yīng)用中，還將公式印在試卷上，以供查閱，而當(dāng)時調(diào)整意見尚未生效（應(yīng)在1999年生效）。這不能不說對和積互化的8個公式（以下簡稱“8公式”）的要求是大大降低了。

但是，這次調(diào)整的，難道僅僅是8個公式嗎？如果認(rèn)為僅僅是降低了對8公式的要求，那就太表面、太膚淺了。

我們知道，和積互化歷來是三角部分的重點(diǎn)內(nèi)容之一。相當(dāng)部分的三角題都是圍繞它們而設(shè)計(jì)的，它們也確實(shí)在很大程度上體現(xiàn)了公式變形的技巧和魅力?，F(xiàn)在，要求降低了，有關(guān)的題目已不再適合作為例（習(xí)）題選用了。這樣一來，

三角部分還要我們教些什么？又該怎樣教？立刻成了部分教師心頭的一大困惑。

有鑒于此，我認(rèn)為很有必要重新審視這部分的知識體系，理清新的教學(xué)思路，以便真正落實(shí)這次調(diào)整的意見，實(shí)現(xiàn)“三個有利于”（有利于減輕學(xué)生過重的課業(yè)負(fù)擔(dān)，有利于深化普通高中的課程改革，有利于穩(wěn)定普通高中的教育教學(xué)秩序）

1998年4月21日，國家教育部專門調(diào)整了高中數(shù)學(xué)的部分教學(xué)內(nèi)容，其中的調(diào)整意見第(7)條為：“對三角函數(shù)中的和差化積、積化和差的8個公式，不要求記憶?！痹俾?lián)想到1998年全國高考數(shù)學(xué)卷中，已盡可能減少了這8個公式的出現(xiàn)次數(shù)，

在僅有的一次應(yīng)用中，還將公式印在試卷上，以供查閱，而當(dāng)時調(diào)整意見尚未生效（應(yīng)在1999年生效）。這不能不說對和積互化的8個公式（以下簡稱“8公式”）的要求是大大降低了。

但是，這次調(diào)整的，難道僅僅是8個公式嗎？如果認(rèn)為僅僅是降低了對8公式的要求，那就太表面、太膚淺了。

我們知道，和積互化歷來是三角部分的重點(diǎn)內(nèi)容之一。相當(dāng)部分的三角題都是圍繞它們而設(shè)計(jì)的，它們也確實(shí)在很大程度上體現(xiàn)了公式變形的技巧和魅力?，F(xiàn)在，要求降低了，有關(guān)的題目已不再適合作為例（習(xí)）題選用了。這樣一來，

三角部分還要我們教些什么？又該怎樣教？立刻成了部分教師心頭的一大困惑。

有鑒于此，我認(rèn)為很有必要重新審視這部分的知識體系，理清新的教學(xué)思路，以便真正落實(shí)這次調(diào)整的意見，實(shí)現(xiàn)“三個有利于”（有利于減輕學(xué)生過重的課業(yè)負(fù)擔(dān)，有利于深化普通高中的課程改革，有利于穩(wěn)定普通高中的教育教學(xué)秩序）

1998年4月21日，國家教育部專門調(diào)整了高中數(shù)學(xué)的部分教學(xué)內(nèi)容，其中的調(diào)整意見第(7)條為：“對三角函數(shù)中的和差化積、積化和差的8個公式，不要求記憶。”再聯(lián)想到1998年全國高考數(shù)學(xué)卷中，已盡可能減少了這8個公式的出現(xiàn)次數(shù)，

在僅有的一次應(yīng)用中，還將公式印在試卷上，以供查閱，而當(dāng)時調(diào)整意見尚未生效（應(yīng)在1999年生效）。這不能不說對和積互化的8個公式（以下簡稱“8公式”）的要求是大大降低了。

但是，這次調(diào)整的，難道僅僅是8個公式嗎？如果認(rèn)為僅僅是降低了對8公式的要求，那就太表面、太膚淺了。

我們知道，和積互化歷來是三角部分的重點(diǎn)內(nèi)容之一。相當(dāng)部分的三角題都是圍繞它們而設(shè)計(jì)的，它們也確實(shí)在很大程度上體現(xiàn)了公式變形的技巧和魅力?，F(xiàn)在，要求降低了，有關(guān)的題目已不再適合作為例（習(xí)）題選用了。這樣一來，

三角部分還要我們教些什么？又該怎樣教？立刻成了部分教師心頭的一大困惑。

有鑒于此，我認(rèn)為很有必要重新審視這部分的知識體系，理清新的教學(xué)思路，以便真正落實(shí)這次調(diào)整的意見，實(shí)現(xiàn)“三個有利于”（有利于減輕學(xué)生過重的課業(yè)負(fù)擔(dān)，有利于深化普通高中的課程改革，有利于穩(wěn)定普通高中的教育教學(xué)秩序）

【摘要】本文研究了一元函數(shù)的結(jié)構(gòu)與分類，在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)高三學(xué)生弄不清有哪些基本初等函數(shù)，總是將一次函數(shù)、二次函數(shù)歸為基本初等函數(shù)，甚至談到超越函數(shù)就色變，對函數(shù)的學(xué)習(xí)也很難做到高屋建瓴、事半功倍，甚至有的教師也分不清函數(shù)的分類。

【關(guān)鍵詞】基本初等函數(shù)；初等函數(shù)；超越函數(shù)；初等運(yùn)算；超越運(yùn)算

在很多次的教學(xué)研討或者公開課中，經(jīng)常聽到教師們稱二次函數(shù)為基本初等函數(shù)，甚至也有的教師很詫異“為什么指數(shù)函數(shù)會被稱為超越函數(shù)？”本文將結(jié)合運(yùn)算與解析式談函數(shù)的分類與這兩者的聯(lián)系，給教師備課提供更多的素材，希望能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)。

一、運(yùn)算與解析式

在研究函數(shù)分類之前，很有必要了解一下“代數(shù)”這門學(xué)科。代數(shù)是研究數(shù)與字母的關(guān)系、性質(zhì)和運(yùn)算法則的分支學(xué)科，是研究實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)以及以它們?yōu)橄禂?shù)的多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算理論和方法的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。解方程就是代數(shù)的一部分內(nèi)容，而初等代數(shù)的中心內(nèi)容就是解代數(shù)方程，在中學(xué)，我們以研究初等代數(shù)為主。要討論代數(shù)方程，首先遇到的一個問題是如何把實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系列成帶有未知數(shù)的代數(shù)式，然后根據(jù)等量關(guān)系列出代數(shù)方程，所以初等代數(shù)的一個重要內(nèi)容就是代數(shù)式。那么，代數(shù)式與本文中的函數(shù)分類究竟有什么樣的聯(lián)系呢？帶著疑問，我們先從運(yùn)算談起。1.運(yùn)算運(yùn)算分為初等運(yùn)算與非初等運(yùn)算。初等運(yùn)算分為初等代數(shù)運(yùn)算和初等超越運(yùn)算。其中，初等代數(shù)運(yùn)算包括加、減、乘、除、開方、有理數(shù)次乘方，如a+2、等分別含有加法、有理數(shù)次乘方運(yùn)算；初等超越運(yùn)算包括無理數(shù)次乘方、指數(shù)、對數(shù)、三角、反三角等運(yùn)算，如、、等分別含有無理數(shù)次乘方、對數(shù)運(yùn)算、反三角運(yùn)算。那么非初等運(yùn)算包含哪些呢？中學(xué)數(shù)學(xué)教材中介紹的極限、導(dǎo)數(shù)、積分，還有大學(xué)里將要學(xué)的級數(shù)等均屬于非初等運(yùn)算。當(dāng)然，有些非初等運(yùn)算的結(jié)果可能是初等形式的數(shù)，如、等。2.解析式解析式是代數(shù)中的基本概念之一，用運(yùn)算符號和括號把數(shù)字和字母按一定規(guī)則連接成的式子稱為解析式（與函數(shù)中的解析式同名，但含義有區(qū)別），常簡稱式。例如：a+b、、sinx+cosy+a2等，其中運(yùn)算符號至多有可數(shù)個，除了代數(shù)運(yùn)算外，也可以是復(fù)合、求極限、求導(dǎo)數(shù)、求積分等，這些運(yùn)算統(tǒng)稱為解析運(yùn)算，故而產(chǎn)生解析式這一名詞。特別地，只含代數(shù)運(yùn)算的式稱為代數(shù)式，含初等超越運(yùn)算的式稱為初等超越式，簡稱超越式。式注重外形，如、sinx+cosy+a2等為超越式，而雖然可化為xy（注：x>0，y>0），但仍然稱為超越式。數(shù)學(xué)辭海中指出除代數(shù)式以外的式均為超越式。不知道是不是辭海中注重概念的形式還是忽略了概念本身，本文認(rèn)為式應(yīng)該按照對應(yīng)的運(yùn)算分類，也應(yīng)分為初等與非初等，如：、、就應(yīng)為非初等解析式。雖然前面兩個分別能夠化為初等形式ex+ey-1、，但是僅從形與運(yùn)算的角度，仍然屬于非初等一類。另外，式根據(jù)運(yùn)算可進(jìn)行分類，具體分類情形如圖1：圖1教師經(jīng)常會把“”稱為平方差公式，其實(shí)，平方差公式只是在整式范圍內(nèi)的運(yùn)算，而上面的式子屬于代數(shù)式中無理式的范疇，談不上叫“平方差公式”，只能是“類平方差公式”。式強(qiáng)調(diào)形，根據(jù)運(yùn)算分類，與數(shù)是代數(shù)數(shù)還是超越數(shù)無關(guān)，至于含有超越數(shù)的式子，如：ex+y等仍然屬于整式范疇。但很多人認(rèn)為弄清上面這些跟教學(xué)無關(guān)，尤其是高中生，甚至如果不是從事數(shù)學(xué)專業(yè)方向研究的，都很難搞清這些，也沒必要。這種觀點(diǎn)從學(xué)生的非專業(yè)化角度來看，似乎很有道理，但是筆者認(rèn)為，作為從事數(shù)學(xué)教育的教師應(yīng)該弄清這些概念，才能更好地教育學(xué)生。雖然我們不需要刻意地去教授這些知識，但是應(yīng)該潛移默化地將這些知識以及它們之間的聯(lián)系傳授給學(xué)生。數(shù)學(xué)體系本身就很復(fù)雜，就算是世界上頂尖的數(shù)學(xué)家們也很難將數(shù)學(xué)這門學(xué)科的體系與結(jié)構(gòu)講述得清楚透徹，但學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個積累的過程，尤其像微積分這樣偉大的發(fā)明創(chuàng)造屬于非初等運(yùn)算就應(yīng)該讓學(xué)生弄明白。難道我們的基礎(chǔ)教育不應(yīng)該是這樣嗎？

二、函數(shù)相等

三角函數(shù)是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的必備基礎(chǔ)知識之一，學(xué)習(xí)時要注重三角知識的基礎(chǔ)性，突出三角函數(shù)的圖象、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等性質(zhì)。以及化簡、求值和最值等重點(diǎn)內(nèi)容的復(fù)習(xí)，又要注重三角知識的工具性，突出三角與代數(shù)、幾何、向量的綜合聯(lián)系，以及三角知識的應(yīng)用意識。

一、知識整合

1．熟練掌握三角變換的所有公式，理解每個公式的意義，應(yīng)用特點(diǎn)，常規(guī)使用方法等；熟悉三角變換常用的方法——化弦法，降冪法，角的變換法等；并能應(yīng)用這些方法進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡、證明；掌握三角變換公式在三角形中應(yīng)用的特點(diǎn)，并能結(jié)合三角形的公式解決一些實(shí)際問題．

2．熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的性質(zhì)，并能用它研究復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)圖象的形狀、特點(diǎn)，并會用五點(diǎn)畫出函數(shù)的圖象；理解圖象平移變換、伸縮變換的意義，并會用這兩種變換研究函數(shù)圖象的變化．

二、方法技巧

1.三角函數(shù)恒等變形的基本策略。

概念是思維的基本單位，要促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，必須首先強(qiáng)化概念教學(xué)。特別是數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯思維很強(qiáng)，更要根據(jù)數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)，讓學(xué)生牢固掌握概念的本質(zhì)屬性，激發(fā)其解決問題的積極性，增強(qiáng)靈活性。

數(shù)學(xué)概念有什么特點(diǎn)呢？一是抽象地反映某一類事物內(nèi)在的本質(zhì)的屬性；二是表現(xiàn)形式準(zhǔn)確、簡明、清晰；三是具體性與抽象性統(tǒng)一；四是具有較強(qiáng)的系統(tǒng)性。

明確了數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)，在教學(xué)中就要根據(jù)不同概念所呈現(xiàn)出的不同特點(diǎn)，采取不同的教學(xué)方法，從思維的基本單位開始，逐步開拓學(xué)生的思維發(fā)展領(lǐng)域。

一、抓住概念的本質(zhì)屬性，突破抽象關(guān)

概念有內(nèi)涵和外延。內(nèi)涵揭示概念的本質(zhì)屬性，外延則指概念所包含的對象范圍，就是指具有這種本質(zhì)屬性的那些對象的集合。如果用p（x）表示某一共同本質(zhì)屬性，用集合A表示某一概念的外延，則可以表示成：A＝｛x∶p（x）｝。例如方程這一概念的外延用文字寫成集合的形式則有：

方程＝｛含有未知數(shù)的等式∶P（含有未知數(shù)的等式）｝

教學(xué)建議

1.知識結(jié)構(gòu)：

本小節(jié)主要學(xué)習(xí)解直角三角形的概念，直角三角形中除直角外的五個元素之間的關(guān)系以及直角三角形的解法.

2.重點(diǎn)和難點(diǎn)分析：

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：直角三角形的解法.

本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是直角三角形的解法.為了使學(xué)生熟練掌握直角三角形的解法，首先要使學(xué)生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三邊之間的關(guān)系，兩銳角之間的關(guān)系，邊角之間的關(guān)系.正確選用這些關(guān)系，是正確、迅速地解直角三角形的關(guān)鍵.