導(dǎo)語：如何才能寫好一篇常見的建立數(shù)學(xué)模型的方法，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

一、數(shù)學(xué)建模的涵義

在把實際問題進行數(shù)學(xué)模型的創(chuàng)建時，實質(zhì)就是把實際問題中所蘊含的數(shù)學(xué)知識提取出來，形成一個具有實際意義的數(shù)學(xué)模型，運用數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)公式對這個數(shù)學(xué)模型進行研究探索，進而達到解決實際問題的目的。教師在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識時，就要提高學(xué)生分析數(shù)學(xué)問題的能力，通過把實際問題抽象簡化成為數(shù)學(xué)問題，利用學(xué)生已有的知識進行解決。數(shù)學(xué)建模從本質(zhì)上說就是進行一系列的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的過程，這個過程對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求很高，學(xué)生必須具備敏銳的觀察力和分析力，能把實際問題與自己掌握的數(shù)學(xué)模型相聯(lián)系，然后進行提取，在數(shù)學(xué)世界中解決實際問題，最后把結(jié)果再帶入問題中進行驗證。

二、數(shù)學(xué)建?；具^程

（一）問題分析

數(shù)學(xué)模型就是現(xiàn)實世界中的問題同數(shù)學(xué)知識進行聯(lián)系的工具，最初在進行數(shù)學(xué)建模時，就是要把實際問題用數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)符號進行表述。在把現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型時，學(xué)生要充分對這個問題進行了解，了解問題的成因和背景，把對解決問題能提供幫助的數(shù)據(jù)都收集起來，以更好地對問題進行抽象和概況。

（二）合理的簡化假設(shè)

在實際的生產(chǎn)和生活中，往往受到各方面因素的影響，要解決的問題是時刻變化的，在解決這種多變問題時，要把問題進行合理假設(shè)，通過假設(shè)把問題簡單化，然后運用數(shù)學(xué)模型進行解決。在進行假設(shè)時，要根據(jù)問題的背景進行合理假設(shè)，假設(shè)進行得合理，通過運用數(shù)學(xué)建模思想這個問題就能獲得解決；如果假設(shè)不合理或者假設(shè)沒有根據(jù)實際情況進行，那么可能利用數(shù)學(xué)建模求解出來的答案就不適合實際問題，這就是一個不成功的建模過程。所以，學(xué)生在進行建模思想的運用時，一定要根據(jù)事實進行假設(shè)，才能得出合理有效的解決問題的方法。

（三）建立模型

通過假設(shè)，把實際問題中的相關(guān)變量之間建立等量關(guān)系，從而建立數(shù)學(xué)問題。在建立模型時，學(xué)生要根據(jù)從實際問題中提取出的常量和變量建立合適的數(shù)學(xué)模型，使問題能獲得解決。在建立數(shù)學(xué)模型時我們要遵循以下原則：有簡單方法時一定要用簡單方法，能運用初等工具時一定要用初等工具，一定要使建立的模型最簡單，最易解決。

（四）求解數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型建立之后，接下來就是要對所建立的模型求解。在求解過程中，要使用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，使數(shù)學(xué)模型在簡單有效的方法下獲得解決。如果遇到的問題比較復(fù)雜，通過一般的數(shù)學(xué)工具解決不了，那么就可以在事實的基礎(chǔ)上對所建立的模型進行細微變化，使模型獲得解決。

（五）模型分析、檢驗、修改與推廣

所建數(shù)學(xué)模型求解出來之后，就要把求得的結(jié)果帶入實際問題中進行分析檢驗，以驗證所得的答案是否能滿足現(xiàn)實要求，并將不合理的結(jié)果進行修改。

案例：教師在對不等式進行講解時，先讓學(xué)生回憶在探究|x|=3的幾何意義時運用了數(shù)學(xué)中的數(shù)軸，之后提出|x|>3和|x|

教師通過數(shù)軸來引入不等式意義的探究，這也是把數(shù)軸這個數(shù)學(xué)模型引入了課堂。假設(shè)x是數(shù)軸上的一個數(shù)，那么當(dāng)它在哪個范圍內(nèi)取值時|x|>3，在哪個范圍內(nèi)取值時|x|3和|x|

這個案例是運用學(xué)生學(xué)過的知識對新知識進行建模，通過建模讓學(xué)生能更清楚、更深刻地理解了不等式的幾何意義?？梢姅?shù)學(xué)建模思想的運用能促進學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，在不斷提高數(shù)學(xué)建模思想的過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力也在不斷提高。

數(shù)學(xué)建模除了可以讓學(xué)生能更好地接受新知識以外，還常用來解決生活中的實際問題。

三、高中常見數(shù)學(xué)應(yīng)用模型

（一）函數(shù)模型

我們可以從生活中很多現(xiàn)象中抽象出函數(shù)模型，例如，如何控制才能使用水量達到最低？如何能使工廠的收入最高？如何使生產(chǎn)化肥的工廠用原材料最省等等。這些問題都能通過函數(shù)模型進行解決。

（二）數(shù)列模型

數(shù)學(xué)中的數(shù)列主要應(yīng)用在從特殊到一般來進行研究的問題中，利用數(shù)列模型可以解決我們生活中的很多問題。例如，銀行利率的增長率是多少？我國每年人口出生率是多少？細胞分裂的速度是多少等等諸多問題。

（三）不等式模型

在最值問題的求解時常用到這個模型，通過從實際問題中概括出來數(shù)學(xué)式子，然后再運用解不等式的方法獲得最值。

（四）解析幾何模型

解析幾何模型在一些建筑中比較常見，例如拱形橋的修建中就設(shè)計到了解析幾何的模型。把拱形橋中涉及的數(shù)學(xué)問題分析、概括出來，就能運用數(shù)學(xué)語言解決拱形橋中的拱高和半徑等問題。

（五）排列、組合模型

排列組合模型的應(yīng)用很廣泛，在很多現(xiàn)實問題中都可以運用到這個模型。

（六）概率模型

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要了解概率模型。概率模型是從具有不確定事件中提取出來的數(shù)學(xué)模型，通過解決概率模型問題來解決實際問題中的幾率問題。

生活中存在數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)象很多，學(xué)生在日常生活中要養(yǎng)成對事物進行深入分析的習(xí)慣，善于把實際問題的本質(zhì)提取出來，把現(xiàn)實問題抽象成數(shù)學(xué)模型，從而獲得問題的解決。

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關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué)教學(xué) 模型思想 數(shù)學(xué)應(yīng)用意識

1.引言

模型思想是體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價值的典型思想。新版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！睆臄?shù)學(xué)教育的角度來看，建立模型的實質(zhì)是幫助學(xué)生體會數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，而發(fā)展學(xué)生模型思想的基本活動就是建立模型。

2.數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵及數(shù)學(xué)建模的意義

“數(shù)學(xué)模型”這個概念，從廣義上看包括一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)方程，以及由此構(gòu)成的算法系統(tǒng)等?！皵?shù)學(xué)建?！眲t是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化，能近似解決實際問題的一種有力的手段?！稑?biāo)準》指出：“建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識?！?/p>

新課程理論提倡以“問題情境數(shù)學(xué)模型解釋、應(yīng)用與拓展”的模式展開課堂活動，這是因為開展建?；顒幽艽龠M學(xué)生理論與實踐相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識；有助于讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，在解決實際問題的過程中，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，增進學(xué)生對數(shù)學(xué)的感情。

3.發(fā)展學(xué)生模型思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識

3.1學(xué)生的思維經(jīng)歷從具體到抽象的過程，有助于發(fā)展學(xué)生的模型思想。

高度的概括性是數(shù)學(xué)的一個鮮明特點，模型正是高度概括的產(chǎn)物，但學(xué)生的認知發(fā)展和學(xué)習(xí)內(nèi)容則是具體的。教學(xué)中教師不僅要重視每一個知識點的教學(xué)，還要定期、適時地對學(xué)生所學(xué)內(nèi)容進行概括、歸納、升華。例如，在學(xué)習(xí)有理數(shù)之后，學(xué)生已經(jīng)知道了有理數(shù)的定義、分類、表示方法等，此時，教師概括“任何一個有理數(shù)都可以用字母a表示”，就是一個由具體到抽象的過程。學(xué)生再次看到a，就會思考a是正數(shù)、零還是負數(shù)，a是整數(shù)還是分數(shù)。此時，學(xué)生的頭腦中就建立起有理數(shù)的模型。

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的離不開應(yīng)用題的訓(xùn)練，在應(yīng)用題訓(xùn)練過程中，“原型模型應(yīng)用”是數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)的方式，應(yīng)用題充當(dāng)其中的“原型”和“應(yīng)用”的角色，它促使數(shù)學(xué)與現(xiàn)實“牽手”，幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的方法、數(shù)學(xué)的思維認識客觀世界，嘗試解決所遇到的現(xiàn)實問題。在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的過程中，常見的建模方法有：對現(xiàn)實生活中普遍存在的等量關(guān)系或不等關(guān)系，建立方程模型或不等式模型；對現(xiàn)實生活中普遍存在的變量關(guān)系，建立函數(shù)模型；涉及對數(shù)據(jù)的收集、整理、分析，建立統(tǒng)計模型；涉及圖形的，建立幾何模型，等等。

3.2發(fā)揮問題情境的“建?！惫δ埽龑?dǎo)學(xué)生從現(xiàn)象中抽象出數(shù)學(xué)問題。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)注重引導(dǎo)學(xué)生通過動手實踐、自主探究和合作交流等學(xué)習(xí)方式，開展有效的數(shù)學(xué)實踐活動。要給予學(xué)生充足的時間和空間，讓他們思考當(dāng)前面臨的實際問題，而教師不能包辦代做，或者只是為了引入新課而設(shè)置一個問題情境。如，一些教師在講授新課之前，給學(xué)生展示了一個非常有趣的問題情境，正當(dāng)學(xué)生興味盎然、躍躍欲試地要進行探索、發(fā)現(xiàn)的時候，教師卻戛然而止，迫不及待地將問題所需要用的數(shù)學(xué)模型向?qū)W生“和盤托出”，以便“順順利利”地引入新課。這種“直接告訴”的方法當(dāng)然是不可取的?？梢哉f，情境是一種引入新課的手段，它可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力，教師切不能忽視問題情境在“建?！狈矫娴墓δ?。

開展好建模教學(xué)，有助于提高學(xué)生知識應(yīng)用能力和實踐能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師不僅要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)模型的概念及建模的方法，而且要培養(yǎng)學(xué)生把客觀事物的原型與抽象的數(shù)學(xué)模型聯(lián)系起來的能力。在建模過程中，學(xué)生所面臨的主要問題是如何從雜亂無章的現(xiàn)象中抽象出數(shù)學(xué)問題，并探究出問題的答案。為了有效培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力，教師可先從建立簡單模型入手進行訓(xùn)練，在學(xué)生對有關(guān)數(shù)學(xué)知識充分理解的基礎(chǔ)上，訓(xùn)練學(xué)生敏銳的洞察力，敏捷的想象力，以及頓悟能力，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新意識。

3.3以建模為核心，培養(yǎng)學(xué)生將實際問題數(shù)學(xué)化的能力。

數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建模能力是學(xué)生各種能力的綜合運用，它涉及文字理解能力、對實際問題的熟練程度、對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的掌握程度，以及觀察、分析、比較、抽象概括等各種科學(xué)思維方法的綜合運用。數(shù)學(xué)教學(xué)要以建模為核心，培養(yǎng)學(xué)生將實際問題數(shù)學(xué)化的能力。通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實際問題，可以鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識，訓(xùn)練學(xué)生的運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級下冊“二次函數(shù)的應(yīng)用”，就是用相關(guān)的數(shù)學(xué)問題建立數(shù)學(xué)模型，解決實際問題的典型例子。生活中很多問題都是通過建立數(shù)學(xué)模型，走由“形”到“數(shù)”的路徑，求出問題答案的。如，蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級下冊有這樣一道題目：“一座拋物線形的拱橋架在一條河流上，這座拱橋下的水面離橋孔頂部3米時，水面寬6米。當(dāng)水面上升1米時，水面寬多少？（精確到0.1米）”橋下水位的上升或下降這一自然現(xiàn)象對于學(xué)生來說并不陌生。在汛期，人們要根據(jù)水位上升的速度判斷橋下何時可以通航，何時需要停航，這是一個具有現(xiàn)實意義的問題。這就要求學(xué)生能將實際問題與數(shù)學(xué)問題建立起聯(lián)系，并探求出問題的答案，讓數(shù)學(xué)服務(wù)于生活。

4.結(jié)語

數(shù)學(xué)建模的目的是通過利用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實生活中的問題，提高學(xué)生解決問題的能力。在教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié)建模的過程是什么、數(shù)學(xué)模型有哪些、注意的問題是什么，進而強化學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，發(fā)展學(xué)生的模型思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

參考文獻：

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[關(guān)鍵詞]模型　模型方法 圖書館學(xué)情報學(xué)研究 圖書館學(xué)情報學(xué)方法論

[分類號]G250　G350

著名控制論創(chuàng)始人N?維納曾經(jīng)指出：“科學(xué)知識是由一系列抽象模型(最可取的是形式模型，特殊場合是實體模型)所組成的”。模型是人類在認識世界實踐中的一大創(chuàng)造，模型方法是人們進行理論思維的一種重要手段。在各種科學(xué)研究活動中，幾乎處處都可以看到模型的作用，模型方法已成現(xiàn)代科學(xué)方法的核心。在圖書館學(xué)情報學(xué)領(lǐng)域，圖書館學(xué)情報學(xué)模型方法已經(jīng)引起了研究者的高度重視，盡管它不是唯一的科學(xué)方法，但由于其具有簡單明了、形象生動、直觀等特點，已經(jīng)成為現(xiàn)代圖書館學(xué)情報學(xué)科學(xué)研究的一種重要方法。

1 圖書館學(xué)情報學(xué)模型及其類型

1.1 圖書館學(xué)情報學(xué)模型

為了更好地認識圖書館學(xué)情報學(xué)的結(jié)構(gòu)、功能、屬性、關(guān)系和過程，通過抽象化與理想化概括出來的思維描述、模仿、映象形式，叫做圖書館學(xué)情報學(xué)模型(以下簡稱“圖情模型”)。圖情模型是一種簡化描述，比客觀對象(圖書館學(xué)情報學(xué))簡單，但又高于客觀對象。它抓住了客觀事物的主要特征及其運動規(guī)律的本質(zhì)，省略了一些非本質(zhì)的部分，是圖書館學(xué)情報學(xué)實體或現(xiàn)實系統(tǒng)的高度抽象或模仿，它由與研究主題相關(guān)的本質(zhì)、特點的主要因素構(gòu)成，并可以表示出這些因素之間的邏輯關(guān)系或定量關(guān)系，它既可以是定性的，也可以是定量的，通常表現(xiàn)為抽象的、數(shù)學(xué)的、理論的形態(tài)。

通過對這種科學(xué)模型的研究，推知圖書館學(xué)情報學(xué)的某種性質(zhì)或者規(guī)律，這種研究方法就是圖情模型方法。

1.2 圖書館學(xué)情報學(xué)模型類型

從模型描述原型的方式角度上看，常見圖情模型主要有以下三種類型。

1.2.1 行為模型　根據(jù)所要研究系統(tǒng)的運動和功能，構(gòu)造出其行為模型。例如，程序設(shè)計圖、檢索步驟以及圖書館文獻分編工作流程圖、情報分析步驟圖、決策過程圖；“看不見的學(xué)院”和“情報交換小組”等非正式過程情報傳遞模型；OhioLINK和CALIS等圖書館聯(lián)盟模型，等等。

1.2.2　結(jié)構(gòu)模型 根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)建立起來的模型，主要包括以下模型：

框圖模型。用圖框表示組成因素或功能轉(zhuǎn)換，圖框之間用帶箭頭的線連接起來，表示模型的結(jié)果順序或功能轉(zhuǎn)換。如申農(nóng)的通訊模型圖，米哈依洛夫的情報交流模型，嚴怡民教授的廣義情報交流模型，等等。

直觀示意圖模型。用線條簡單的圖表示系統(tǒng)因素或關(guān)系的模型，如表示知識、情報、信息邏輯關(guān)系的著名文氏圖、圖書館網(wǎng)絡(luò)拓撲圖、情報檢索系統(tǒng)檢全率、檢準率圖表模型等等。

網(wǎng)絡(luò)圖模型。這是按照數(shù)學(xué)圖論的方法用點線建立的模型，點表示組成因素，線表示點之間的關(guān)聯(lián)，比如以學(xué)科發(fā)展過程中出現(xiàn)的重要論文被引用狀況所作的網(wǎng)絡(luò)圖模型，通過引用相關(guān)分析可以得出不同專業(yè)之間關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖，美國情報學(xué)家H?D?懷特和B?C?格雷菲斯利用作者同被引關(guān)系所得出的“知識地圖”也是網(wǎng)絡(luò)圖模型。

典型的結(jié)構(gòu)模型都是圖形模型，既可以表達很抽象的內(nèi)容，也可以表示很直觀的內(nèi)容，具有簡明易懂、一目了然的特點。一些用語言或者數(shù)學(xué)模型很難說得清楚的問題，一份圖形模型卻能很好地解決問題。

1.2.3 數(shù)學(xué)模型　數(shù)學(xué)模型是采用數(shù)學(xué)方法用各種數(shù)學(xué)符號、數(shù)值來描述圖書館學(xué)情報學(xué)的組成因素及其之間的數(shù)量關(guān)系。如英國情報學(xué)家B?C?布魯克斯提出的情報與知識關(guān)系的基本方程式K[S]＋I=K[S＋S]；布拉德福定律、洛特卡定律、齊夫定律、普賴斯曲線的數(shù)學(xué)表達式就是反應(yīng)文獻情報流規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，情報傳播的熱傳導(dǎo)模型，等等。數(shù)學(xué)模型按照表達的形式劃分，分為以下模型：

解析式和圖像模型。通過函數(shù)關(guān)系和圖像描述系統(tǒng)的基本性質(zhì)，解析式和圖像本身就是一個系統(tǒng)的模型。比如，圖書館讀者閱覽量隨時間的變化曲線，洛特卡定律的數(shù)學(xué)表達式和圖像描述等等。

方程組模型。如果系統(tǒng)存在多個變量，并且這些變量互相制約使系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，可用方程組模型描述。比如，情報系統(tǒng)的微分方程組模型。

圖表模型。當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)某特性發(fā)生變化，對應(yīng)的狀態(tài)值也隨之變化，把這些變化值按照一定格式排列起來就成為圖表模型，比如情報檢索系統(tǒng)的檢全率、檢準率圖表模型。

數(shù)學(xué)模型準確、便于操作、易于計算，是最常用的一種模型。由于數(shù)學(xué)是最基礎(chǔ)的學(xué)科，一門學(xué)科沒有數(shù)學(xué)的參與就不能說其已建立了真正的學(xué)科，所以其他一切模型，如果能結(jié)合數(shù)學(xué)模型來表達，則表明它已抓住了研究對象最本質(zhì)的變化規(guī)律，可以認為數(shù)學(xué)模型是最深刻的模型；并且隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，可以幫助研究者處理復(fù)雜的模型、減輕計算負擔(dān)、驗證和補充模型，數(shù)學(xué)模型方法應(yīng)用領(lǐng)域也會日趨擴大。

2 圖書館學(xué)情報學(xué)模型方法的功能

在圖書館學(xué)情報學(xué)科學(xué)研究中，人們廣泛應(yīng)用模型來分析圖情系統(tǒng)、圖情活動中的各種關(guān)系、各種要素的普遍聯(lián)系，模型方法具有多方面的功能與作用。首先，圖情模型具有解釋功能。模型是對客觀對象本質(zhì)特征的概括，簡單清楚，使用模型可以使人們觀察到各種現(xiàn)象之間的關(guān)系、各主要構(gòu)成要素的功能及作用等，對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和特性能做出科學(xué)的解釋。如用簡單的框圖模型解釋科學(xué)情報交流系統(tǒng)，令人一目了然。其次，啟發(fā)功能。模型體現(xiàn)了圖書館學(xué)情報學(xué)的規(guī)律性，并使極其抽象、深奧的概念、假設(shè)、理論準確具體地表達出來，便于正確理解其科學(xué)意義。近年來圖書館個性化服務(wù)研究得如火如荼，文獻[5]依據(jù)信息服務(wù)技術(shù)構(gòu)建一個信息資源集成化、網(wǎng)頁定制化、服務(wù)一體化的個性化圖書館服務(wù)系統(tǒng)模型，用戶利用該模型，可以組織、定制相關(guān)資源，組織收藏個人參考文獻信息，設(shè)定各種信息通告，直接進入與自己相關(guān)的個性化服務(wù)項目，這一認識過程就是通過模型啟發(fā)人們進行研究和探索。再者，指導(dǎo)實踐。模型是一種科學(xué)的簡化抽象，在模型的基礎(chǔ)上進行研究一般優(yōu)于實際情況。這樣，就能以科學(xué)模型所提供的優(yōu)化條件為追求目標(biāo)，使人們找到了在實踐中怎樣改善客體及其環(huán)境，以爭取達到最佳或較佳效果的方向和途徑。比如情報分析中的SWOT理論模型，WT、WO、ST、SO對策就是發(fā)揮優(yōu)勢因素、克服劣勢因素、利用機會因素、化解威脅因素，爭取最佳效果；利用布拉德福定律模型確定本館的核心情報源和核心讀者，指導(dǎo)館藏的維護與情報源的有效利用。最后，預(yù)見功能。模型方法可以分析、推斷、預(yù)見原型的未來趨勢，在理想的條件下揭示原型的性質(zhì)、功能發(fā)揮程度或可能發(fā)生的情況，從而形成科學(xué)的預(yù)見。比如，建立圖書借閱量的灰色模型，對圖書借閱量進行

預(yù)測，在此基礎(chǔ)上結(jié)合現(xiàn)有書庫存量和灰色預(yù)測得到的預(yù)期借閱率，得出預(yù)期圖書的建議購買量。

3　圖情研究中建構(gòu)模型的邏輯過程

建構(gòu)模型一般分為以下步驟：①模型準備，了解并研究圖情活動的實際背景，明確建模的目的，掌握其數(shù)據(jù)、資料、特征等，有時還要求建模者做深入細致的調(diào)查研究。②模型假設(shè)，對問題進行必要的簡化，用精確的語言做出假設(shè)。不同的簡化和假設(shè)會得到不同的模型，假設(shè)做得不合理或過分簡單，將導(dǎo)致模型的失敗或部分失敗；假設(shè)作得過于詳細、考慮因素過多，使模型太復(fù)雜而無法進行下一步工作。所以，重要的是善于辨別問題主次，果斷地抓住主要因素，拋棄次要因素，盡量將問題均勻化、線性化。③模型建立，根據(jù)所做假設(shè)用一定的模型描述出來，比如用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具刻畫各變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)(公式表格、圖形)，這是建構(gòu)模型最關(guān)鍵的一步，是一個質(zhì)的飛躍過程。建立具體模型涉及許多技巧問題，構(gòu)建者要根據(jù)研究的性質(zhì)、目的建立簡明、合理的模型。④模型求解，包括解方程、圖解、邏輯推理、定理證明等。⑤模型分析，把模型置于與原型相似的外部條件下對模型求解的結(jié)果進行分析，比如數(shù)學(xué)模型要根據(jù)研究對象問題的性質(zhì)，分析各變量之間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定狀態(tài)。⑥模型檢驗，將模型分析的結(jié)果“翻譯”到實際對象中，用實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性與正確性。一個較成功的模型不僅能解釋已知的現(xiàn)象，還能預(yù)言一些未知的現(xiàn)象并被實踐所證明。如果檢驗結(jié)果與實際不符或部分不符，并且建模和求解過程無誤的話，問題出現(xiàn)在模型假設(shè)上，就應(yīng)當(dāng)修改或補充假設(shè)，重新建模。⑦預(yù)測與決策。

4 圖情研究中建構(gòu)模型的方法論原則

模型建構(gòu)是一門技術(shù)，也是一種藝術(shù)。圖書館學(xué)情報學(xué)的特性以及活動的多樣性決定了其建模方法的多樣性，主要的建模方法有以下5種：

4.1 提煉法

這種方法是在分析研究客觀事物和過程的基礎(chǔ)上，對圖情系統(tǒng)的各要素、經(jīng)驗、資料進行歸納、提煉，用圖解或邏輯形式得出抽象模型，一般來說都是結(jié)構(gòu)模型，基本上是一種靜態(tài)模型，這種模型常帶有經(jīng)驗色彩。比如米哈依洛夫的情報交流模型，嚴怡民教授在《情報學(xué)概論》中提出的廣義情報交流模型等。

4.2　類推法

類推法是根據(jù)兩種事物的相似性，從某一事物的規(guī)律性來推測另一事物的規(guī)律或?qū)傩?，即將相關(guān)學(xué)科的特定模型引入圖情研究，所得的模型可以認為是模擬模型。比如情報學(xué)中常用的申農(nóng)通訊系統(tǒng)模型、情報傳播的熱傳導(dǎo)模型、耗散結(jié)構(gòu)理論模型、協(xié)同理論模型、突變理論模型等等。

4.3　數(shù)學(xué)方法

借助概率與統(tǒng)計學(xué)、離散數(shù)學(xué)、微分與微分方程、圖論、層次分析等方法建立數(shù)學(xué)模型，布拉德福、洛特卡、齊夫和普賴斯開創(chuàng)性地利用數(shù)學(xué)方法建立數(shù)學(xué)模型，采用數(shù)學(xué)方法建立數(shù)學(xué)模型有利于圖情研究走上更加成熟的階段。

4.4　灰色模型法

依據(jù)灰色系統(tǒng)理論建立模型，灰色系統(tǒng)理論是通過定性和定量相結(jié)合、利用動態(tài)關(guān)聯(lián)度和生成數(shù)的概念，用情報信息不全的離散數(shù)據(jù)建立情報信息完全、時間連續(xù)的動態(tài)模型，包含定性分析、因素分析、初步量化、動態(tài)量化、優(yōu)化5個階段，建模的關(guān)鍵要處理好每個步驟的聯(lián)系，合理地進行生成處理和關(guān)聯(lián)度分析。灰色模型屬于數(shù)學(xué)模型，經(jīng)常用于情報分析與預(yù)測，如文獻[8]、[9]運用灰色模型分別實現(xiàn)圖書館管理研究。

4.5　模糊模型法

模糊系統(tǒng)理論是在現(xiàn)代控制論基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，運用模糊數(shù)學(xué)理論建立模型，情報研究中有時某些對象表現(xiàn)出模糊性，不能做出非此即彼的判斷，不能進行精確描述和測量。模糊數(shù)學(xué)利用模糊集合、論域和隸屬度的概念，采取模糊集合運算和模糊關(guān)系合成運算等方法建立數(shù)學(xué)模型，成功地解決模糊性問題；建模的關(guān)鍵是正確描述模糊關(guān)系。模糊模型也屬于數(shù)學(xué)模型，多用于情報研究與預(yù)測，是圖情量化研究的一種行之有效的方法。如文獻[10]模型。

5　模型方法在圖書館學(xué)、情報學(xué)中的應(yīng)用

5.1　在基礎(chǔ)理論研究中的應(yīng)用

一門學(xué)科的最高境界是構(gòu)造科學(xué)理論，圖書館學(xué)情報學(xué)基礎(chǔ)理論研究通過建立模型反映檢驗理論或者科學(xué)事實，揭示本質(zhì)屬性和相對關(guān)系，如果再繼之使用數(shù)學(xué)模型，就會畫龍點睛妙筆生花，給理論以量的規(guī)定性，大幅度提高理論的精確度。比如使用數(shù)學(xué)模型定義情報概念、文獻情報流基本定律，采用框圖建立圖書館中介性模型、情報系統(tǒng)模型、文獻存貯與檢索系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型、科技文獻鏈結(jié)構(gòu)模型等。模型作為理論探討的內(nèi)容，對我們認識圖情規(guī)律很有價值，使得問題簡明，便于思考分析。

5.2　在信息資源管理中的應(yīng)用

在信息資源管理中應(yīng)用模型方法要定量描述圖書情報系統(tǒng)的主要因素和關(guān)系，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。一般模型結(jié)構(gòu)有兩種，一種是采用統(tǒng)計模型方法(如回歸法和方差分析法)，通常假定結(jié)構(gòu)是線性模型，這是最常用的方法；另一種是根據(jù)基本原理推導(dǎo)出模型結(jié)構(gòu)，比如資源分配模型反映圖書使用的莫爾斯模型、反映某主題文獻在期刊分布中的布拉德福定律模型、反映讀者到館率的泊松分布模型等。模型方法極大地改變了傳統(tǒng)的圖書情報管理技術(shù)，成為現(xiàn)代圖書情報信息資源管理的一種新理念，有利于圖書情報機構(gòu)節(jié)約經(jīng)費、提高圖書情報系統(tǒng)性能、使信息資源利用最大化。

5.3　在信息檢索中的應(yīng)用

模型方法在信息檢索中應(yīng)用比較早，也較為系統(tǒng)和成熟，出現(xiàn)了許多模型，比如傳統(tǒng)的布爾檢索模型，Salton的矢量檢索模型和擴展布爾檢索模型；S.K.M.Wong在詞與詞的相依性基礎(chǔ)上建立了廣義矢量模型；z.w.Ras利用格與布爾代數(shù)理論建立了代數(shù)模型；Cooper和Bookstein建立了情報檢索的集合論模型；一些專家還提出了概率檢索模型、邏輯模型、矩陣向量模型等；隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展專家們相繼提出了基于概念的情報檢索模型、案例檢索模型、分布式情報檢索系統(tǒng)的拓撲模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)檢索模型等。可見，模型在理論和實踐上解釋檢索過程與檢索相關(guān)性，不同類型的模型代表著不同的情報檢索系統(tǒng)，反映著不同系統(tǒng)本質(zhì)上的差別；模型有助于情報檢索理論的研究，情報檢索研究者也一直比較關(guān)注檢索模型的建構(gòu)。

5.4　在文獻信息規(guī)律研究中的應(yīng)用

文獻信息規(guī)律研究是完全建立在模型方法的基礎(chǔ)上，文獻計量學(xué)的發(fā)展、成熟就是數(shù)學(xué)模型方法應(yīng)用的一個典型范例。文獻計量學(xué)方法包括布拉德福定律、洛特卡定律、齊夫定律、文獻指數(shù)增長定律、文獻老化定律，又被公認為圖書情報專門研究方法。建立模型是文獻計量學(xué)研究的重要手段，通過建立模型可以完成從紊亂的統(tǒng)計數(shù)據(jù)到文獻計量規(guī)律性認識的飛躍過程。任何研究工作，只有從定性描述發(fā)展到定量分析、定量評價和預(yù)測，才能成為一種真正成熟的科學(xué)，文獻計量學(xué)作為情報學(xué)的一個重要分支學(xué)科，其發(fā)展前途是

光明的，而在此數(shù)學(xué)模型方法的作用是十分巨大的。

5.5　在讀者服務(wù)和服務(wù)質(zhì)量評價中的應(yīng)用

在新的信息技術(shù)環(huán)境下，研究者積極探索讀者服務(wù)模型，比如建立以用戶為核心的虛擬參考咨詢自導(dǎo)式服務(wù)模型、基于用戶需求分析的個性信息推送服務(wù)模型、基于用戶定制的個性信息推送服務(wù)模型、基于信息資源整合的個性信息推送服務(wù)模型、個性化信息分類定制服務(wù)模型、個性化信息智能服務(wù)模型、個性化信息垂直門戶服務(wù)模型、個性化信息呼叫中心服務(wù)模型，在服務(wù)質(zhì)量評價中建立以用戶滿意度、忠誠度為核心的SERVQUAL數(shù)學(xué)模型等，模型方法有利于探討數(shù)字圖書館服務(wù)和評價的有效模式，為構(gòu)建可互操作的現(xiàn)實數(shù)字圖書館服務(wù)系統(tǒng)提供有益參考。

5.6　在情報研究與預(yù)測中的應(yīng)用

在情報研究與預(yù)測中，情報研究者利用已知數(shù)據(jù)分析出規(guī)律，通過數(shù)學(xué)變換將多數(shù)的規(guī)律轉(zhuǎn)換成模型表達式，然后通過模型進行預(yù)測。常見的預(yù)測模型有回歸分析模型、交叉影響分析模型、趨勢外推模型、投入產(chǎn)出模型、時間序列模型等等。模型方法可以幫助情報研究人員開拓視野，驗證假設(shè)，把握問題本質(zhì)；實際上在一些問題的預(yù)測上可能得出與假設(shè)或?qū)嶋H值不相吻合的結(jié)論，這將刺激研究的進一步深入，致力改進建模的每一個環(huán)節(jié)，重新建立不同的模型進行結(jié)果的比較，提高綜合分析判斷水平，最后獲得更有價值的成果。

此外，模型方法還廣泛應(yīng)用于文獻采購、圖書館管理、用戶研究、學(xué)科動態(tài)研究、讀者滿意度研究、知識組織研究等方面，現(xiàn)在模型方法已經(jīng)越來越多地在圖情研究中被采用，越來越多地應(yīng)用到了圖書館活動、情報活動以及探尋它們運行機制的方方面面。

6 圖情模型方法應(yīng)用的局限性與存在的問題

模型方法成為研究者經(jīng)常采用的一種方法。據(jù)筆者對“中文科技期刊數(shù)據(jù)庫”調(diào)查，從1989－2007年通過模型方法研究圖書館學(xué)和情報學(xué)的論文共1342篇，而2002－2007年就占69％，說明模型方法的應(yīng)用處于上升趨勢，并且研究發(fā)現(xiàn)圖情模型方法應(yīng)用中存在著一些問題。

對于圖情模型來說，研究者提出了較多的定性描述模型，這無疑是對圖書館學(xué)情報學(xué)理論研究有很大幫助，但對定量描述的模型相對較少，這表明圖情建模的研究有待深入，在這一領(lǐng)域有待于新的突破。

定量描述的模型必須運用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，有的理論研究論文提出的問題可能是實際的，但由于數(shù)學(xué)模型選擇得不當(dāng)，在復(fù)雜的數(shù)學(xué)過程之后，結(jié)論仍然是數(shù)學(xué)的，沒有能夠把數(shù)學(xué)模型語言描述和產(chǎn)生的概念與規(guī)律還原為現(xiàn)實的、具體的內(nèi)容。

圖書館學(xué)情報學(xué)里存在著許多經(jīng)典的模型，但更多的模型提出以后不久就被人們遺忘，因此模型權(quán)威性問題必須引起研究者的高度關(guān)注。怎樣提高模型的權(quán)威性?根本的是要用實踐檢驗，也可以通過提高建模工作的質(zhì)量來未雨綢繆，建模需要有充分的定性分析作基礎(chǔ)，要尋求研究對象的特點、規(guī)律和內(nèi)在聯(lián)系；根據(jù)研究對象結(jié)構(gòu)和性能所涉及的性質(zhì)現(xiàn)象，如隨機現(xiàn)象、必然現(xiàn)象、模糊現(xiàn)象等，有針對性地選擇合適模型，并要講究建模策略；使用邏輯、實驗等方式來檢驗與修正模型；比較不同的模型，從中選擇比較理想的模型。模型方法表現(xiàn)出一種抽象思維的力量，研究者建模還需要學(xué)量的知識與依賴智慧的作用。

篇4

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型　應(yīng)用　構(gòu)造　創(chuàng)新能力

一、引子

隨著科學(xué)技術(shù)日新月異的發(fā)展，數(shù)學(xué)在各個領(lǐng)域的作用越來越重要。不管是不同于數(shù)學(xué)領(lǐng)域的其它自然科學(xué)領(lǐng)域，還是社會科學(xué)領(lǐng)域，都力圖通過建立數(shù)學(xué)模型來分析、處理實際問題，以期使問題得到解決。把應(yīng)用還給數(shù)學(xué)，是近幾年來我國數(shù)學(xué)教育界在分析總結(jié)國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育的經(jīng)驗教訓(xùn)后所取得的共識，應(yīng)用問題進入中學(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)已成為事實。有資料統(tǒng)計表明，數(shù)學(xué)建模方法在全國通用九年義務(wù)制教材初中課本中出現(xiàn)的頻數(shù)最高，達108。由此可以看出，這一數(shù)學(xué)思想方法的重要性。因此，開展“數(shù)學(xué)建?！苯虒W(xué)，加強數(shù)學(xué)與生活應(yīng)用的結(jié)合，加強對學(xué)生創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)已經(jīng)擺在了每一位數(shù)學(xué)教育工作者面前。這不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的需要，也是素質(zhì)教育的需要。

二、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)模型方法

1．?dāng)?shù)學(xué)模型

所謂模型，是一種結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)是通過對原型的形式化或模擬與抽象得到的，是一種行為或過程的定量或定性的表示，通過它可以認識所代替的原型的性質(zhì)和規(guī)律，模型的種類很多，可以是物質(zhì)的，也可以是思想的。思想模型又可分為不同的類，如形象模型和符號模型，數(shù)學(xué)模型是一種符號模型。數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實原型的數(shù)學(xué)抽象化的產(chǎn)物，是“針對或參考某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表述的一種數(shù)量結(jié)構(gòu)?！睂Α皵?shù)學(xué)建?！笨梢岳斫鉃椤皵?shù)學(xué)建模就是尋求建立數(shù)學(xué)模型的方法的過程?！?/p>

2．?dāng)?shù)學(xué)模型方法

所謂數(shù)學(xué)模型方法是通過建立數(shù)學(xué)模型來解決實際問題的一種方法。一般分三步進行：（1）對現(xiàn)實問題進行抽象分析，建立數(shù)學(xué)模型；（2）對建立的模型進行推理和演算，數(shù)學(xué)地求得模型的解；（3）把模型的解返回到現(xiàn)實問題中去，檢驗數(shù)學(xué)模型的符合程度或獲得現(xiàn)實問題的解。

三、數(shù)學(xué)模型方法的應(yīng)用

運用數(shù)學(xué)模型方法思想，既可以通過建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題，也可以通過構(gòu)造等價數(shù)學(xué)模型（甚至現(xiàn)實原型）解決某些純數(shù)學(xué)問題。實際問題是復(fù)雜多變的，數(shù)學(xué)建模較多的是探索性和創(chuàng)造性，但是初中數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題常見的建模方法還是有規(guī)律可以歸納總結(jié)的。

1.建立幾何模型

諸如臺風(fēng)、航海、三角測量、邊角余料加工、工程定位、拱橋計算、皮帶傳動、坡比計算、作物栽培等傳統(tǒng)的應(yīng)用問題，涉及一定圓形的性質(zhì)，常需要建立相應(yīng)的幾何模型，轉(zhuǎn)化成為幾何或三角函數(shù)問題求解。

例1：（臺風(fēng)）某次臺風(fēng)中心在O地，臺風(fēng)中心以25千米/時的速度向西北方向移動，離臺風(fēng)中心240千米的范圍內(nèi)會受臺風(fēng)影響，某A市在O地的正面方向320千米處，問A市是否會受此臺風(fēng)的影響？若會，將持續(xù)幾個小時？

分析：這是綜合解直角三角形的問題，畫出示意圖：如圖1，先計算出AB的長，比較得：AB

例2：足球賽中，一球員帶球沿直線L逼近球門AB，在什么地方起腳射門最為有利。

分析：這是幾何定位問題，畫出示意圖，如圖2：根據(jù)常識，起腳射門的最佳位置P應(yīng)該是直線L上對AB張角最大的點，此時進球的可能性最大，問題轉(zhuǎn)化為直線L上求點P，使∠APB最大，為此過A、B兩點作圓與直線L相切，切點P即為所求，當(dāng)直線L垂直線段AB時，易知P點離球門越近，起腳射門越有利，可見“臨門一腳”的工夫現(xiàn)應(yīng)包括選取起腳射門的最佳位置。

2.建立方程模型

例3：如左下圖，某小區(qū)規(guī)劃在長為40M，寬為26M的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的甬道，使其中兩條與AB平行，其余部分種草，若使每一塊草坪的面積為144M，求甬道的寬度。

分析：如右上圖，作整體思考，設(shè)甬道的寬度為xM，則問題轉(zhuǎn)化為：求方程（40-2x）（26-x）=6×144的解，解得x=2、x=44（不合題意舍去）

3.建立直角坐標(biāo)系與函數(shù)模型

當(dāng)變量的變化具有近似函數(shù)關(guān)系，或物體運動的軌跡具有某種規(guī)律時，可通過建立光平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像討論。

例4：有一批1米長的合金鋼材，現(xiàn)要截成長為27cm和13cm兩種規(guī)格，用怎樣的方法截取使材料利用率最高？并求出材料最高利用率。

分析：作出直線　圖像，確定與直線最近的整數(shù)點（4，2），則4×13+2×27=98，即截4段13cm，2段2cm，材料利用率為98%。

例5：如右圖，某建筑的屋頂設(shè)計成橫截面為拋物線型（曲線AOB）的薄殼屋頂，它的拱寬為4m，拱高CO為0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎樣才能畫出模板的輪廓線呢？

分析：為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，再寫出函數(shù)的關(guān)系式，然后根據(jù)這個關(guān)系式進行計算，放樣畫圖。

4.建立不等式模型

對現(xiàn)實生活中廣泛存在的不等量關(guān)系：如投資決策等可挖掘?qū)嶋H問題隱含的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化成不等式組的求解式，目標(biāo)函數(shù)在閉區(qū)間的最佳問題。

例6：某機床廠生產(chǎn)中所需墊片可外購，也可以自己生產(chǎn)。如外購每個價格是1.10元，如自己生產(chǎn)，則每月的固定成本將增加800元，并且生產(chǎn)每個墊片的材料和勞力費用需0.60元，試決定該廠墊片外購或自產(chǎn)的決策轉(zhuǎn)折點。

分析：在固定成本增加800元不變的條件下，決定墊片外購還是自產(chǎn)的關(guān)鍵在于量的多少，設(shè)該廠每月需要墊片x個，則外購費用為1.1x元，自產(chǎn)費用為（800+0.6x）元，當(dāng)外購費用大于自產(chǎn)費用時則自產(chǎn)，否則便外購，問題轉(zhuǎn)化為求不等式1.1x>800+0.6x的解，解得x>1600；當(dāng)該廠墊片需要量在1600個以上時，自產(chǎn)較為合算；少于1600個時以外購為好，而恰為1600個時外購和自產(chǎn)一樣，都需花費1.1×1600=1760元。

總之，數(shù)學(xué)應(yīng)用和建模能力也是一項專門的能力，它與學(xué)習(xí)、掌握純粹數(shù)學(xué)的能力有密切關(guān)系，但并不等價，應(yīng)用的意義、技巧、方法、能力也需要一個培養(yǎng)鍛煉、提高的過程。數(shù)學(xué)建模的過程，要善于透過實際問題的現(xiàn)象，抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，尋求內(nèi)在聯(lián)系，綜合運用數(shù)學(xué)知識。由于初中學(xué)生知識水平和認知能力的限制，數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)要適時滲透，反復(fù)訓(xùn)練，及時歸納方能水到渠成。

四、數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)模型方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是一種重要的思想方法，熟練掌握和運用這種方法，是培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)分析問題、解決問題能力的關(guān)鍵。怎樣才能使學(xué)生更好地掌握這種方法呢？這要求逐步培養(yǎng)學(xué)生以下能力：

⑴　理解實際問題的能力；

⑵　洞察能力，即善于抓住系統(tǒng)要點的能力；

⑶　抽象分析問題的能力；

⑷　“翻譯”能力，即把經(jīng)過一定抽象、簡化的實際問題用數(shù)學(xué)的語言符號表達出來，形成數(shù)學(xué)模型的能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)方法進行推演或計算得到的結(jié)果能用自然語言表達出來的能力；

⑸　運用數(shù)學(xué)知識的能力；

⑹　通過實際加以檢驗的能力。

參考文獻：

[1]錢佩玲邵光華，數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)，P94.北京師范大學(xué)出版社.

篇5

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；概率模型；數(shù)學(xué)教育

中圖分類號：G642.0 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）51-0178-02

一、概率理論與數(shù)學(xué)建模

隨著數(shù)學(xué)教育的發(fā)展，通過數(shù)學(xué)建模的教學(xué)實踐，可以看到作為數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)應(yīng)用橋梁的數(shù)學(xué)建模活動，對培養(yǎng)學(xué)生從實際中發(fā)現(xiàn)問題、歸結(jié)問題、建立數(shù)學(xué)模型、使用計算機和數(shù)學(xué)軟件解決實際問題的能力，起到了其他數(shù)學(xué)課程無法替代的作用；對于培養(yǎng)學(xué)生的獨立思考和表述數(shù)學(xué)問題和解法的能力，有其獨到之處.國際數(shù)學(xué)教育界對數(shù)學(xué)建模教學(xué)的共識和重視的程度也隨之提高，數(shù)學(xué)建模是指根據(jù)具體問題，在一定假設(shè)下找出解這個問題的數(shù)學(xué)框架，求出模型的解，并對它進行驗證的全過程.數(shù)學(xué)模型從影響實際問題的因素是確定性還是隨機性的角度上可以分為確定性的數(shù)學(xué)模型和隨機性的數(shù)學(xué)模型.如果影響建模的主要因素是確定的，并且其中的隨機因素可以忽略，或是隨機因素的影響可以簡單地表現(xiàn)為平均作用，那么所建立的模型應(yīng)當(dāng)是確定的數(shù)學(xué)模型；相反地，如果隨機因素對實際問題的影響是主要的，不能忽略，并且在建模過程中必須考慮到，此時，建立的模型應(yīng)是隨機性數(shù)學(xué)模型.本文主要討論了簡單的隨機問題中的概率模型，通過舉例說明概率基本知識在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用.建立概率模型的過程主要有如下特點：

1.隨機性.隨機性體現(xiàn)在整個概率模型的建立中，由于隨機因素對實際問題的影響不能忽略，在建模初期的模型分析與模型假設(shè)中必須考慮到隨機性的影響，在模型建立環(huán)節(jié)也會用到分析隨機問題的思想.

2.基礎(chǔ)性.在概率模型中，用到的概率知識基本上是期望、方差、概率分布等基本知識，所以對這些基礎(chǔ)知識的全面掌握是建立概率模型的關(guān)鍵.

3.啟發(fā)性.在概率模型中，如何全面地考慮建模中的不確定因素具有探索性與啟發(fā)性，而且對這些隨機因素的考慮可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與創(chuàng)造能力.

4.可轉(zhuǎn)化性.有很多確定性模型在考慮了隨機性的影響后，都可以轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的隨機性模型.

二、概率基礎(chǔ)知識在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

客觀世界中，事物的產(chǎn)生、發(fā)展變化往往具有隨機性，它的特點是條件不能完全確定結(jié)果.例如某地區(qū)的降雨量、某流水生產(chǎn)線上的次品數(shù)、某商場一天中顧客的流量，某射手在射擊中命中靶心的次數(shù)，等等.這就要求學(xué)生在分析和求解模型中運用隨機性的思想.在此情況下，概率知識在模型中的應(yīng)用也就成為必然，而且概率知識的引入也能極大地豐富了數(shù)學(xué)建?；顒又袛?shù)學(xué)方法的使用.

從概率模型的特點可以看出，有很多確定性的模型，當(dāng)考慮了其中隨機因素的影響之后，它們都可以轉(zhuǎn)化成概率模型來求解.例如，人口模型中的指數(shù)增長模型和阻滯模型，在給定了生育率、死亡率和初始人口等數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上預(yù)測了未來人口，但事實上人口的出生與死亡是隨機的，當(dāng)考慮到這一點時，我們所建立的應(yīng)當(dāng)是隨機人口模型；再如確定性存貯模型可以轉(zhuǎn)化為隨機存貯模型等.

為了更好地將概率知識應(yīng)用到數(shù)學(xué)建模中，我們應(yīng)當(dāng)做到以下幾點：（1）熟練地掌握概率的基本知識；（2）全面地理解所研究的實際問題；（3）充分地考慮到實際問題中的隨機性影響，并在建立模型過程中體現(xiàn)出隨機性；（4）對所建立的模型能作出準確地檢驗.下面舉例說明.

案例1 機票預(yù)售問題.

航空公司采用超額預(yù)訂機票的對策來應(yīng)付某些旅客可能不能按時乘機的情況，以增加航空公司的收入.但預(yù)訂機票數(shù)超出座位數(shù)太多，不僅影響航空公司的信譽，而且損失過多的付給旅客的補貼.因此存在一個適度超額預(yù)訂機票的問題.

我們首先通過分析、假設(shè)，來簡化、明確問題：設(shè)f表示某航班飛行一次的固定費用，包括燃料費和維護費、機組人員的工資和報酬，以及租用機場的設(shè)施等費用.以N記飛機的座位數(shù)，以g記每位旅客所付機票費.設(shè)一個已訂票的旅客按時到達機場的概率為p，設(shè)航空公司已訂出的機票數(shù)為m，在已訂機票的m人中有k人未能按時到達機場的概率為pk，則pk=C（1-p）kpm-k. （1）

下面計算一次飛行的利潤S.

（i）如果飛機滿座，且訂票數(shù)恰好等機的座位數(shù)，即m=N，那么S=Ng-f.

（ii）如果實際訂票數(shù)大機的座位數(shù)，即m>N，而且m人中有k人未按時到達，在不考慮補償已定票而未能乘上飛機的旅客的情況下，一次飛行的利潤為：S（m-k）g-f，若m-k≤NNg-f，若m-k>N

由于“m人中有k人未按時到達”是隨機事件，其概率可由（1）表示，于是一次飛行的平均利潤應(yīng)該用S的數(shù)學(xué)期望表示，記作，因此我們有：

為了獲得最大利潤，從（2）式可看出：唯一的辦法是減小一切0≤j≤N時Pj+m-N之值，使它盡可能接近零.由二項式分布性質(zhì)可知，當(dāng)m增大時Pj+m-N減小，因此增大可增加利潤.

但是，增大m會導(dǎo)致過多預(yù)訂了票的旅客乘不上飛機的情況發(fā)生.因此航空公司對超額預(yù)訂機票應(yīng)采取一定的補救措施，如支付給這些旅客一定的補貼以消除影響.

（iii）如果實際訂票數(shù)大機的座位數(shù)，即m>N，而m人中有k人未按時到達，在考慮給每一位已訂票而未能乘上飛機的旅客補償費b的情況下，航班飛行的利潤公式應(yīng)改為S（m-k）g-f，若m-k≤NNg-f-（m-k-N）b，若m-k>N

于是一次飛行的平均利潤即S的期望利潤為

由上式可以看到期望利潤與g、b、f、N、m、p諸因子有關(guān).如果固定其他因子不變，僅考慮求m使得S達到最大，這就是航空公司希望解決的問題.

上面所舉的例子是概率模型中常見的素材，其中概率的思想和方法都體現(xiàn)在了建模過程中，因此概率知識在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用極大地豐富了建模方法，推動了數(shù)學(xué)建模的發(fā)展.

在教育向素質(zhì)教育全面發(fā)展的過程中，要求學(xué)生不但要掌握知識，同時還要學(xué)會應(yīng)用知識，數(shù)學(xué)建模毫無疑問是應(yīng)用知識的一種很好的方式.所以在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)注重知識的應(yīng)用性，以促進學(xué)生的全面發(fā)展.

參考文獻：

[1]袁震東，等.數(shù)學(xué)建模[M].第3版.上海：華東師范大學(xué)出版社，1997.

[2]袁震東，等.數(shù)學(xué)建模方法[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2003.

[3]李大潛，等.中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽[M].北京：高等教育出版社，1998.

篇6

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)；市場營銷；應(yīng)用

[中圖分類號] G71 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1674-6058（2017）09-0119-01

數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。在我們的大千世界中蘊含著大量的數(shù)學(xué)信息，數(shù)學(xué)無處不在無時不有，人們離不開數(shù)學(xué)，因而數(shù)學(xué)在現(xiàn)實世界中有著非常廣泛的應(yīng)用，數(shù)學(xué)與我們的生活存在著密切的聯(lián)系。市場營銷學(xué)作為一門應(yīng)用性學(xué)科，已成為社會的重要部分，越來越受到社會的重視，在生活中有著重要的作用，自然市場營銷與數(shù)學(xué)已經(jīng)緊密地結(jié)合在一起。數(shù)學(xué)是市場營銷的基礎(chǔ)，促進市場營銷更好地發(fā)展，市場營銷也應(yīng)用著數(shù)學(xué)，兩者相互作用，相互促進。

一、應(yīng)用簡單的數(shù)學(xué)知識解決營銷問題

市場營銷是指一個企業(yè)為適應(yīng)和滿足消費者需求，從產(chǎn)品開發(fā)、定價、宣傳推廣，到將產(chǎn)品從生產(chǎn)者送達消費者，再將消費者的意見反饋回企業(yè)的一系列企業(yè)活動。企業(yè)在這一系列活動中直接應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決營銷問題的比較多。如在市場調(diào)研中收集到的第一手資料的分析整理與處理，產(chǎn)品價格的制定，廣告費用的預(yù)算，市場占有率、銷售利潤額、利潤率、投資收益率的計算，企業(yè)總成本的預(yù)算等。除了最簡單的數(shù)學(xué)計算之外，還可以利用計算機進行科學(xué)計算和數(shù)據(jù)處理，更主要的是將數(shù)學(xué)抽象思維和邏輯推理能力應(yīng)用于市場營銷中，分析評價企業(yè)的營銷環(huán)境、市場競爭狀況、市場需求情況等，便于企業(yè)制定恰當(dāng)?shù)臓I銷策略，指導(dǎo)企業(yè)創(chuàng)造競爭優(yōu)勢，力求在競爭中立于不敗之地。

如市場調(diào)查是市場營銷中非常重要的部分，而市場調(diào)查與數(shù)學(xué)是緊密結(jié)合的，兩者息息相關(guān)。

隨機抽樣調(diào)查案例：

某地區(qū)百貨商店為10000戶，其中大型、中型與小型百貨商店分別為1000戶、2000戶、7000戶，當(dāng)抽樣數(shù)為200戶時，若用分層比例抽樣法應(yīng)從各層中各抽多少樣本？

按照分層比例抽樣公式，各層的樣本數(shù)分別為：

大型百貨商店：N大=1000/10000*200=20（戶）

中型百貨商店：N中=2000/10000*200=40（戶）

小型百貨商店：N小=7000/10000*200=140（戶）

二、數(shù)學(xué)建模在營銷中的廣泛應(yīng)用

數(shù)學(xué)模型對經(jīng)濟領(lǐng)域中企業(yè)營銷價值的提升越來越明顯。運用現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法研究營銷問題，不僅豐富了營銷學(xué)的分析工具，推動了營銷學(xué)的發(fā)展，而且使研究者對營銷問題的解釋能力和對市場的預(yù)測能力都得到了極大提高。

在市場營銷中建立數(shù)學(xué)模型，進行列表調(diào)查，繪制圖表進行統(tǒng)計，運用數(shù)學(xué)公式進行復(fù)雜的計算等都非常常見。在市場營銷中市場調(diào)查與預(yù)測是非常重要的一環(huán)，而市場調(diào)查與預(yù)測都和數(shù)學(xué)關(guān)系密切，其經(jīng)常用到隨機抽樣、列表對比、畫圖分析、建立數(shù)學(xué)模型，這些都運用到數(shù)學(xué)這一有利的工具，使?fàn)I銷者擁有豐富的信息，更好地去預(yù)測，做出最正確的決策。

下面結(jié)合營銷實例證實常用的經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型的實際應(yīng)用價值。

（1）時間序列分析法的主要模型

時間序列分析就是要把過去的銷售序列Y分解成趨勢（T）、周期（C）、季節(jié)（S）和不確定因素（E）等部分，通過對未來這幾個因素的綜合考慮，進行銷售預(yù)測。這些因素可構(gòu)成線性模型，即Y=T+C+S+E；

也可構(gòu)成乘數(shù)模型，即Y=T*C*S*E；

還可以是混合模型，如Y=T*（C+S+E）。

（2）線性回歸模型

對線性回歸模型的構(gòu)建及預(yù)測，確定兩個變量之間是線性相關(guān)，就可以進行線性回歸分析。線性回歸分析的方法是在相關(guān)點之間找到一條直線，以這條直線表明兩個變量之間的數(shù)量變動關(guān)系。

設(shè)線性回歸模型為：YC = A + BX。其中，YC 表示Y 的估計值，X、Y 表示經(jīng)濟變量。模型的關(guān)鍵問題是如何根據(jù)以往資料確定系數(shù)A、B ，一般采用最小平方法，即先計算Y = A + BX 的總和，然后計算ΣXY 的總和，由此計算出A、B 的值，即A = ΣY/ N， B = ΣXY/ X2。

建立好數(shù)學(xué)模型以后，就可以進行市場數(shù)據(jù)的預(yù)測，將相關(guān)的經(jīng)濟數(shù)值如銷售額、銷售量、生產(chǎn)總值代入回歸預(yù)測模型，就能得到此后相關(guān)經(jīng)濟指標(biāo)的預(yù)測值。

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關(guān)鍵詞：系統(tǒng)建模；系統(tǒng)辨識；參數(shù)估計；參數(shù)模型；非參數(shù)模型

中圖分類號：TP391文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1009-3044(2008)16-21286-03

System Modeling Based on the System Identification

XIANG Xiao-yan1, JIANG Xiao-hui2

(1. College of Physical Science and Information Engineering, Jishou University. Jishou 416000, China; 2.College of Mathematics and Computer Science, Jishou University, Jishou 416000, China)

Abstract: In analysing and designing of the control system,the most important is modeling. Mathematical models usually has three categories. The first model building method is according to the mechanism in control process. The second is based on the input and output data of controlling process to model the structure and parameters. The third one is between modeling methods above.Them usually called white box, black-box and grey box model. The methods of system identification are briefly intruduced. And significant types of mathematical model are manly investigated.

Key words: system modeling; system identification; parameter estimation; the model parameters; non-parametric model

1 仿真及建模

一般對控制系統(tǒng)進行設(shè)計和分析研究，也就是根據(jù)被控對象的特性進行控制器的設(shè)計，以獲得滿足性能指標(biāo)要求的最優(yōu)控制系統(tǒng)。分析和研究控制系統(tǒng)的主要目的之一是獲得控制器的最佳整定參數(shù)。但是在實際生產(chǎn)過程中，大部分的被控對象是比較復(fù)雜的，并且要考慮安全性、經(jīng)濟性，以及進行實驗研究的可能性等，這在現(xiàn)場實驗中往往不易做到，甚至根本不允許這樣做。例如，在研究導(dǎo)彈飛行、宇航、反應(yīng)堆控制系統(tǒng)時，不經(jīng)模擬仿真實驗，將對人類的生命和健康帶來很大的危險。這時，就需要對實際系統(tǒng)構(gòu)建物理模型進行研究，然后把對模型實驗研究的結(jié)果應(yīng)用到實際中去，這種方法就叫模擬仿真研究，簡稱仿真。因此，仿真就是用模型（物理模型或數(shù)學(xué)模型）代替實際系統(tǒng)進行實驗和研究。它所遵循的基本原則是相似原理，即幾何相似、環(huán)境相似和性能相似。依據(jù)這個原理，仿真可分為物理仿真、數(shù)學(xué)仿真和混合仿真。其中物理仿真需要制作物理模型，必須進行大量的設(shè)備制造、安裝、調(diào)試工作，并且實驗數(shù)據(jù)處理也不方便。數(shù)學(xué)仿真比物理模型方便簡單很多，只要有一臺數(shù)學(xué)仿真設(shè)備就可以對不同的控制系統(tǒng)進行仿真實驗和研究。

數(shù)學(xué)仿真的主要工具是計算機，因此一般也稱為計算機仿真。其一般過程為：①根據(jù)仿真目的確定仿真方案；②建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；③建立仿真模型；④編寫仿真程序；⑤進行仿真實驗；⑥仿真結(jié)果分析。通常，將實際系統(tǒng)抽象為數(shù)學(xué)模型，稱為一次模型化，涉及系統(tǒng)辨識技術(shù)問題，又稱為建模問題。將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為可以在計算機上運行的仿真模型，稱為二次模型化，涉及到仿真編程、運行、修改等技術(shù)，稱為系統(tǒng)仿真技術(shù)。

數(shù)學(xué)模型主要有三類，黑箱、白箱和灰箱。相應(yīng)地，建立數(shù)學(xué)模型的方法有三類。根據(jù)過程內(nèi)在機理、物料和能量衡算等物理和化學(xué)規(guī)律建立的模型是白箱模型；用過程輸入輸出數(shù)據(jù)確定過程模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)的方法建立的模型是黑箱；介于兩者之間的各種建模方法建立的模型是灰箱模型。

2 數(shù)學(xué)模型

在生產(chǎn)過程中，最常用的建模方法是將過程看做一個黑箱，根據(jù)過程的輸入輸出數(shù)據(jù)，通過系統(tǒng)辨識的方法建立數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)辨識方法有非參數(shù)模型辨識和參數(shù)模型辨識方法兩大類。

2.1 非參數(shù)模型

利用直接記錄或分析系統(tǒng)的輸入和輸出信號的方法估計系統(tǒng)的非參數(shù)模型。所謂非參數(shù)模型是指系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型中非顯式地包含可估參數(shù)。例如，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、頻率響應(yīng)、脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng)等都是非參數(shù)模型。非參數(shù)模型通常以響應(yīng)曲線或離散值形式表示。非參數(shù)模型的辨識可通過直接記錄系統(tǒng)輸出對輸入的響應(yīng)過程來進行；也可通過分析輸入與輸出的自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)，或它們的自功率譜和互功率譜函數(shù)來間接地估計。非參數(shù)模型是經(jīng)典控制理論中常用的描述線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。傳遞函數(shù)反映輸入與輸出的拉普拉斯變換在復(fù)數(shù)域上的響應(yīng)關(guān)系，頻率響應(yīng)反映它們的傅里葉變換在頻率域上的響應(yīng)關(guān)系，而脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)則是在時域上的響應(yīng)關(guān)系。它們從不同的方面反映系統(tǒng)的動態(tài)特性。非參數(shù)模型比參數(shù)化模型直觀，辨識非參數(shù)模型的方法和計算也比辨識參數(shù)化模型的簡單。脈沖響應(yīng)可以用直接記錄輸入脈沖函數(shù)的輸出響應(yīng)的方法來辨識；頻率響應(yīng)也可以直接利用單頻正弦輸入信號的響應(yīng)來辨識。但是這種直接辨識方法只能應(yīng)用于無隨機噪聲的確定性系統(tǒng)。對于有隨機噪聲的系統(tǒng)或隨機輸入信號，必須使用相關(guān)分析法或功率譜分析方法。隨著快速傅里葉變換儀、偽隨機信號發(fā)生器和相關(guān)儀的問世，辨識系統(tǒng)的非參數(shù)模型已變得比較容易。但非參數(shù)模型應(yīng)用于實時控制和適應(yīng)性控制仍不如參數(shù)化模型方便。非參數(shù)模型在某些情形下，可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)模型。例如，如果一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以表示為有理分式H(s)=K/(a+s)，則系統(tǒng)的模型可以用常微分方程y'+ay=ku表示，a與k為待估計的模型參數(shù)，這是參數(shù)化模型。又如，對于離散系統(tǒng)的權(quán)函數(shù)序列（離散脈沖響應(yīng)序列）{hi,i=0,1,…}，如果在i充分大（如i>N0），而│hi│充分小時,則模型可以表示為■并可用最小二乘法給出有窮權(quán)函數(shù)序列{hi，i=0,1,…N0}的估計。一般說來,由參數(shù)模型容易獲得非參數(shù)的脈沖響應(yīng)或頻率響應(yīng)，但由非參數(shù)模型化為參數(shù)模型則要困難得多。

從過程的數(shù)學(xué)模型對階躍信號的響應(yīng)來分析，可將過程的數(shù)學(xué)模型分為四大類。

2.1.1 自衡非振蕩過程

這是工業(yè)生產(chǎn)過程中最常見的類型。圖1(a)是這類過程的輸出響應(yīng)曲線。常用下列傳遞函數(shù)描述這類過程的數(shù)學(xué)模型。

■

其中，τ是過程的時滯，K是過程的增益，T是時間常數(shù)。

圖1 非參數(shù)模型過程特性

2.1.2 無自衡非振蕩過程

這類過程通常具有積分特性，輸出向單方向增加或減少，直到輸出達到極限值。圖1(b)是這類過程的輸出響應(yīng)曲線。常用下列傳遞函數(shù)描述這類過程的數(shù)學(xué)模型：

■

2.1.3 自衡振蕩過程

這類過程在生產(chǎn)控制中不多見，輸出為衰減振蕩，最終達到新的穩(wěn)態(tài)。圖1(c)是這類過程的輸出響應(yīng)曲線。常用下列傳遞函數(shù)描述這類過程的數(shù)學(xué)模型：

■

2.1.4 具有反特性的過程

這類過程輸出先降（或升）后升（或降），最終根據(jù)過程師傅自衡特性，能達到或不能達到新的穩(wěn)態(tài)。一般含有積分特性的過程是不能自衡的。圖1(d)是這類過程的輸出響應(yīng)曲線。常用下列傳遞函數(shù)描述這類過程的數(shù)學(xué)模型：

■

2.2 參數(shù)模型

現(xiàn)代控制理論中常用參數(shù)模型對過程進行描述，參數(shù)模型是指用有限參數(shù)描述的過程模型。常用的參數(shù)模型有AR模型、ARX模型、ARMAX模型、BJ模型和輸出誤差模型等，常用狀態(tài)方程、差分方程或微分方程描述這類參數(shù)模型。

2.2.1 自回歸模型（AR模型：Auto-Regresive Model）

當(dāng)過程輸出僅與它過去的值有關(guān)時，可采用自回歸模型。AR模型形式為：

A(q)y(k)=e(k)

其中■

q是延時因子，即q-1y(k)=y(k-1) a1,a2,…,ana 是模型參數(shù)，e(k)是白噪聲過程。

2.2.2擴展自回歸模型（ARX模型：Extended Auto-Regressive Model）

又稱受控自回歸模型，是擴展控制變量后的自回歸模型。ARX模型的形式為：

A(q)y(t)=B(q)u(t-nk)+e(t)

其中

■

nk為控制時滯

2.2.3 擴展自回歸滑動平均模型（ARMAX模型：Extended Auto-Regressive,Moving Average Model）

這是應(yīng)用最廣的一類參數(shù)模型。ARMAX模型的形式為：

A(q)y(t)=B(q)u(t-nk)+C(q)e(t)

與ARX模型比較，增加了對滑動噪聲信號平均值的項。AR模型、ARX模型都是ARMAX模型的特例。

BJ模型（Box-Jenkins Model）

BJ模型的形式為：

y(t)=[B(q)/F(q)]u(t-nk)+[C(q)/D(q)]e(t)

其中，D(q)和F(q)也是q的多項式，階次分別為nd和nf。

2.2.5 輸出誤差模型(Output Error Model)

輸出誤差模型是BJ模型的一個特例，它的形式為：

y(t)=[B(q)/F(q)]u(t-nk)+e(t)

一般輸入輸出模型

一般輸入輸出模型通常是ARMAX模型的特例，可以用通用的模型形式來表示：

A(q)y(k)=[B(q)/F(q)]u(t-nk)+[C(q)/D(q)]e(t)

參考文獻：

[1] P. Eykhoff, Systems Identification, Wiley, London,1974. 潘科炎、張永光，等譯. 系統(tǒng)辨識：狀態(tài)與系統(tǒng)參數(shù)估計[M]. 北京：科學(xué)出版社，1980.

[2] 控制系統(tǒng)分析、設(shè)計和應(yīng)用――MATLAB語言的應(yīng)用[M]. 北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2003.

[3] 李國勇，謝克明.控制系統(tǒng)數(shù)字仿真與CAD[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2005.

篇8

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》明確指出："要發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，讓學(xué)生認識到現(xiàn)實生活中蘊含著大量的數(shù)學(xué)信息，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用。"因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要將教學(xué)內(nèi)容和現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系起來，引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識運用于生活實踐，使學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不但有趣，而且有用。

1.以生活實踐為主線，科學(xué)設(shè)計教學(xué)過程

1.1 引用現(xiàn)實生活中的例子創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在日常生活中，數(shù)學(xué)的應(yīng)用隨處可見。因此，教師要積極地從學(xué)生的現(xiàn)實生活中收集信息，教學(xué)中把與數(shù)學(xué)相關(guān)的問題抽象出來，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在自己身邊，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生親近感。例如，在教學(xué)"角的初步認識"和"三角形、圓、長方形、正方形、平行四邊形的認識"時，教師可以給學(xué)生展示日常生活中常見的物件，如課本、橡皮、課桌、文具盒、紅領(lǐng)巾等，再利用多媒體課件從中抽象出角、圓、長方形、三角形、正方形、平行四邊形等幾何圖形，讓他們感受到學(xué)習(xí)的幾何圖形就藏在自己的身邊，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)熱情。

1.2 強調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實踐性，淡化抽象性。在課堂教學(xué)過程中，教師若過于注重讓學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)專業(yè)術(shù)語復(fù)述思考過程，進行算理分析，而不將所學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的實際生活相聯(lián)系，只會將學(xué)生帶進死胡同，使他們感到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是無聊的、枯燥的，進而產(chǎn)生厭學(xué)情緒。例如，在教學(xué)"兩數(shù)相差多少的應(yīng)用題"這節(jié)課時，有這樣一道題："一個養(yǎng)殖場飼養(yǎng)了白豬23只，黑豬11只，白豬比黑豬多幾只？"學(xué)生回答：23-11=12（只）。在解答這道題的過程中，一些教師要求學(xué)生說出算式中23、11、12各表示的意思，程式化地讓學(xué)生這樣敘述：23表示23只白豬，11表示白豬有與黑豬同樣多的11只；白豬的23是由兩部分組成的，一部分是和黑豬同樣多的11只，另一部分是比黑豬多的12只；從23只白豬中去掉與黑豬同樣多的11只，剩下的就是比黑豬多的12只……在這樣程序化的、生硬的語言分析中理解題意，使學(xué)生失去了靈活的解題能力；在這種空洞的、無味的文字復(fù)述中，學(xué)生只會越學(xué)越糊涂，越學(xué)越?jīng)]興趣。在現(xiàn)實的生活實踐中，學(xué)生對這道題最直接的理解就是"白豬多，黑豬少，從23只白豬里去掉11只，得出的結(jié)果就是白豬比黑豬多12只"。這樣的表述方式更符合小學(xué)生的思維方式，因此學(xué)生更容易接受，而且體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一件非常輕松有趣的事情。這就要求教師在課堂教學(xué)中要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和知識背景出發(fā)，提供符合學(xué)生思維方式和感興趣的學(xué)習(xí)素材，使他們有更多的機會從自己熟悉的身邊事物中學(xué)習(xí)和認識數(shù)學(xué)，體驗到數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

2.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法生活化

在教學(xué)過程中，教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)內(nèi)容的完成，都依賴于教師所選擇的教學(xué)方法，如何選擇合適的教學(xué)方法，體現(xiàn)生活化的意圖是我們設(shè)計教學(xué)流程要著力思考的，在操作實踐中，我們所理解的教學(xué)方法生活化主要是從創(chuàng)設(shè)情境、數(shù)學(xué)建模、實踐操練等三方面進行的。

2.1 建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，進行"數(shù)學(xué)地思考"。義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程指出，"要強調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程，進而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)的理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等方面得到進一步的發(fā)展"。為此，教學(xué)研究了如何使孩子們親身體驗一個問題解決的探索過程，學(xué)會從自己熟悉的現(xiàn)實原型中抽象出形式化數(shù)學(xué)表達式（即數(shù)學(xué)模型），再將它應(yīng)用到新的實際問題的解決中去。

首先，研究了如何建立數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型的建立是個生活問題數(shù)學(xué)化的過程，是解決生活問題的有效形式。在建立模型的過程中，學(xué)生能體會到從實際情景中發(fā)展數(shù)學(xué)，獲得再創(chuàng)造數(shù)學(xué)的絕好機會，在建立模型，形成新的數(shù)學(xué)知識的過程中，學(xué)生能更加體會到數(shù)學(xué)與大自然和社會的密切聯(lián)系。在數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過程中隱含了由"實際問題"到"數(shù)學(xué)模型"的抽象過程，而這種抽象并不是通常意義下的"簡單化"和"理想化"，它主要是一個應(yīng)用語言、符號重新進行表征的過程，即"數(shù)學(xué)化"。這個過程的基本模式就可表征為：生活問題DD數(shù)學(xué)模型。

其次，研究了數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用。數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用是個數(shù)學(xué)問題生活化的過程，數(shù)學(xué)模型的建立并不是學(xué)習(xí)的終極，還應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會模型在現(xiàn)實中的應(yīng)用。實質(zhì)上是對抽象化了的數(shù)學(xué)模型，即符號形式的數(shù)學(xué)表達式重新進行"意義賦予"的過程，從而就使抽象的數(shù)學(xué)概念與主體的已有生活經(jīng)驗或知識聯(lián)系起來，成為"十分直觀明了"的東西。

篇9

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題 特點 模型 “建模能力”

新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準關(guān)注學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展，強調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識。數(shù)學(xué)應(yīng)用題是中學(xué)階段體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用性非常典型的內(nèi)容，是學(xué)生了解數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個窗口，是目前檢測學(xué)生應(yīng)用意識和能力的一個重要方面。通過應(yīng)用題，可以培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光和從數(shù)學(xué)的角度去思考、解決問題，使學(xué)生深刻地感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系，而應(yīng)用題的解決可以提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。筆者結(jié)合新課程數(shù)學(xué)教學(xué)的經(jīng)驗，對新課程背景下初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)提出一定的對策建議。

一、科學(xué)總結(jié)出新課程背景下初中應(yīng)用題呈現(xiàn)的特點

初中數(shù)學(xué)新教材是新課程改革的一項重要成果，同時新教材中應(yīng)用題教學(xué)內(nèi)容的變化也在一定程度上代表了初中數(shù)學(xué)新課程改革的方向。結(jié)合新教材中應(yīng)用例題，筆者總結(jié)出新課程中應(yīng)用題呈現(xiàn)以下幾個方面的特點：

1.應(yīng)用題編題范圍的廣泛化

原教材中應(yīng)用題的取材相對比較單一，主要涉及行程、工程、材料、零件、銷售、生產(chǎn)、度量、比賽等背景的問題，內(nèi)容陳舊，范圍過窄，離學(xué)生的現(xiàn)實生活較遠。新教材中應(yīng)用題的問題背景就相當(dāng)豐富了，涉及建筑、自然、材料設(shè)計、人口、經(jīng)濟、環(huán)保、交通、雕塑、數(shù)學(xué)史、城市規(guī)劃、生態(tài)、健康、工程技術(shù)、軍事、城市規(guī)劃等各個方面，且日常生活中的鬧鐘、撲克牌，家里鋪的地磚，周圍的高樓大廈、花園、電梯、登山纜車，老井上的轆轤，微觀世界的粒子運動，浩瀚宇宙中的行星運轉(zhuǎn)都可成為應(yīng)用題的背景。

2.應(yīng)用題取材的生活社會化

新教材中應(yīng)用題的取材不僅考慮數(shù)學(xué)自身的特點，更遵循了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，向?qū)W生提供了貼近他們的生活、真實而富有挑戰(zhàn)性、關(guān)注社會發(fā)展的學(xué)習(xí)素材，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)的價值，體會數(shù)學(xué)與自然及人類社會的聯(lián)系，增進對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心。

新教材的應(yīng)用題中有學(xué)生日常生活中再熟悉不過的東西，如：書桌、鉛筆盒、筆筒、足球、鐘表、方向盤、小動物等。

3.應(yīng)用題表現(xiàn)形式的多樣化

原教材中的應(yīng)用題主要以文字敘述為主，新教材中應(yīng)用題的呈現(xiàn)方式結(jié)合表格、圖像、圖片、對話、寓言故事等，直觀形象、圖文并茂、生動有趣地呈現(xiàn)了素材，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，滿足多樣化的學(xué)習(xí)需求。

表格式應(yīng)用題除了具有直觀、簡明扼要、對比性強等特點外，還具有濃厚的生活氣息，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在我們身邊。按照表中提供的信息可以解決不同的問題，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，又能培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力。統(tǒng)計與概率部分提供了大量的表格式應(yīng)用題。例如，新教材八年級下冊第178頁習(xí)題第2題：2000年9月28日，我國選手伏明霞、郭晶晶分別獲得悉尼奧運會女子三米板跳水冠、亞軍。告知獲得前六名的選手的決賽成績（分數(shù)），試計算各個選手5次跳水成績的平均分和方差，并比較這六名選手的表現(xiàn)。

4.應(yīng)用題注重突出建模思想

數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模是一條主線。該領(lǐng)域中的方程、不等式、函數(shù)都是刻畫現(xiàn)實世界的重要模型：方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，一次函數(shù)反映了均勻變化的規(guī)律。空間與圖形領(lǐng)域強調(diào)幾何建模過程：由于其自身的特點較之其他模型更直觀、形象，更宜于從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學(xué)的概念、理論和方法。在這樣的前提下，新教材中的應(yīng)用題力求體現(xiàn)“問題情境―建立數(shù)學(xué)模型―解釋、應(yīng)用與拓展”的模式，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用來展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的形成與應(yīng)用過程，這事實上就是解決實際問題的基本途徑、數(shù)學(xué)建模的基本過程。所以這樣的呈現(xiàn)方式有助于增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，初步領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模的思想和方法，滲透數(shù)學(xué)建模的意識。

二、幫助學(xué)生歸納常見的初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題模型

通過對新課程背景下初中數(shù)學(xué)教材及近年來全國各地中考數(shù)學(xué)應(yīng)用題題型的歸納，我們可以發(fā)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題出題的模型范圍基本上都是緊緊圍繞考試大綱的，變化的只是具體的實際生活案例載體，但是經(jīng)過抽象后解決問題的數(shù)學(xué)模型基本上都是比較集中的。鑒于這種規(guī)律，結(jié)合新課程數(shù)學(xué)知識點中出應(yīng)用題的高頻率知識點，教師可以利用自己對知識系統(tǒng)性掌握的優(yōu)勢，幫助學(xué)生對初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題常見模型作一個基本的總結(jié)與歸納，如表1所示：

通過上表可以看出，在初中數(shù)學(xué)的知識點中最容易出應(yīng)用題的知識點多集中在方程、函數(shù)、不等式及統(tǒng)計等方面，為了進一步讓學(xué)生對以上各類數(shù)學(xué)應(yīng)用題模型的基本題型有一個基本的認識與了解，教師在這樣總結(jié)的基礎(chǔ)上還應(yīng)針對各類模型選取與之配套的例題來進行講解，增加學(xué)生對數(shù)學(xué)應(yīng)用題模型類型的掌握。需要說明的是，由于教師幫助學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)應(yīng)用題模型在知識點上跨度比較大，因此這種教學(xué)策略一般適合在初二下學(xué)期，以及初三年級進行。

三、重視過程教學(xué)，培養(yǎng)“建模能力”

新課程的一個重要要求就是要求學(xué)生能把一些常見的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即為數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型不同于一般的模型，它是用數(shù)學(xué)語言模擬現(xiàn)實的一種模型，即把一個實際問題中某些事情的主要特征、主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)語言，近似地反映事物的內(nèi)在聯(lián)系與變化的過程。解決此類問題的關(guān)鍵步驟主要有兩個：一是建立數(shù)學(xué)模型（建模）；二是運用有關(guān)知識求解數(shù)學(xué)模型（解模）。建模就是構(gòu)建適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)關(guān)系（如公式、函數(shù)、方程或圖形），使原來的問題情境轉(zhuǎn)化為易于解決的問題的解題方法，解模就是從題設(shè)條件和求解結(jié)論中得出啟示，構(gòu)造出一些新的數(shù)學(xué)形式，通過對這些數(shù)學(xué)形式的研究可以得出解題思路，從而達到解題的目的。

要實現(xiàn)這樣的目的，在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中教師就不能以追求講解應(yīng)用題求解結(jié)果為目標(biāo)，而要注重初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題過程教學(xué)。在這個過程中教師應(yīng)教會學(xué)生怎樣去建模，并結(jié)合新課程中應(yīng)用題解題的一般過程，在應(yīng)用題教學(xué)中注重讓學(xué)生掌握以下的建模流程，如圖1所示：

下面通過一道初中新課程教材中比較常見的應(yīng)用題類型來說明建模過程在數(shù)學(xué)應(yīng)用題求解中的重要流程與作用。

例題：東方超市銷售一種成本為每千克40元的水產(chǎn)品，經(jīng)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能銷售出500千克；銷售單價每漲價一元，月銷售量就減少10千克。針對這種水產(chǎn)品的銷售情況，請解答以下問題：

（1）當(dāng)銷售單價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤。

（2）商場計劃在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應(yīng)定為多少？

這是一道與日常生活非常接近的應(yīng)用題，取材于生活中常見的營銷問題。根據(jù)上文分析的建模過程，教師在教學(xué)時候就要鼓勵學(xué)生從這些日常生活實際中抽象出數(shù)學(xué)模型來，結(jié)合這道具體的例題，教師應(yīng)該提醒學(xué)生在實際問題與數(shù)學(xué)模型之間進行轉(zhuǎn)換時候要注意到以下幾個數(shù)量關(guān)系：

銷售利潤 = （銷售單價 - 銷售成本）×銷售量

銷售量 = 原銷售量 - 滯銷量

銷售單價 = 原定單價 + 漲價

明白了這些基本模型等式之后，設(shè)銷售單價為每千克x元，則每千克的銷售利潤為（x -40）元；月銷售量為500-（x-50）×10千克；月銷售利潤為（x-40） ×［500-10（x-50）］元。

所以問題1的解答為：當(dāng)銷售單價為55元時，月銷售量為500-（55-50） × 10=450（千克），所以月銷售利潤為（55-40）×450=6750（元）。

但是當(dāng)銷售單價為60元時，月銷售成本為：40×［500-（60-50） ×10=16000（元），根據(jù)“月銷售成本不能超過10000元”，所以銷售單價定為每千克80元。

通過上述這道例題可以看出，初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題的關(guān)鍵是要找出題目所給出的實際問題中蘊藏的數(shù)學(xué)模型及等量關(guān)系，然后將實際問題直接轉(zhuǎn)化成為純數(shù)學(xué)問題，得到數(shù)學(xué)模型的解之后再回頭代入實際問題之中，從而得到解決實際問題的答案。

總而言之，新課程標(biāo)準對學(xué)生在應(yīng)用題學(xué)習(xí)方面的要求還是比較高，教師應(yīng)該在充分領(lǐng)悟到新課程標(biāo)準對應(yīng)用題教學(xué)要求基礎(chǔ)上，推陳出新，講究應(yīng)用題教學(xué)方法，提高新課程背景下初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)效果。

參考文獻：

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篇10

關(guān)鍵詞 新素質(zhì) 倒立擺 課程實踐

1引言

對于自動化專業(yè)或相近專業(yè)來說，倒立擺正在成為一種面向自動控制類課程的較為理想的高端教學(xué)實驗手段和創(chuàng)新能力提升平臺。倒立擺亦逐漸成為自動控制領(lǐng)域中較為常見的控制律檢測驗證設(shè)備而存在。于是搞清楚倒立擺的控制原理，系統(tǒng)地總結(jié)倒立擺的建模過程將更加方便于廣大教育工作者的教育及科研實踐。

基于這樣的考慮，本文以倒立擺小車為實例，將詳細呈現(xiàn)關(guān)于對這樣一個倒立擺控制問題的建模過程、模型抽象、仿真構(gòu)建及成果展示。力求達成一個完整系統(tǒng)的倒立擺控制范本。

2倒立擺小車的物理實體

倒立擺小車通俗的說，就是讓一個處于可自由轉(zhuǎn)動狀態(tài)的桿在小車上保持向上的直立狀態(tài)。在自由狀態(tài)下，這個桿在干擾力的作用下會左右晃動，無法保持向上直立。為此，就必須施加控制作用，通過自動控制技術(shù)使其保持直立，這就是倒立擺的控制。通過倒立擺控制，可以檢驗控制算法對于非線性、靜態(tài)不穩(wěn)定等問題的處理能力。而國防和社會生活領(lǐng)域的許多控制問題，也都可以借鑒倒立擺的控制思想和方法，如火箭豎立發(fā)射時的穩(wěn)定控制、行走機器人的穩(wěn)定控制、運動平臺上隨動天線的指向控制等。

3 倒立擺小車狀態(tài)空間的抽象

因倒立擺小車的控制目標(biāo)是對小車控制而使細桿得以穩(wěn)定，所以必要以桿為研究對象分析。在完成對小車物理實體的分析與變量設(shè)定后，根據(jù)受力分析與運動學(xué)定量關(guān)系的推導(dǎo)可以得出小車系統(tǒng)基于牛頓第二定律的運動微分方程組，其意義是用前文抽象出的運動變量描述任意時刻的運動狀態(tài)。至此已經(jīng)完成了從小車的實體模型中抽象數(shù)學(xué)模型的過程。

5結(jié)語

倒立擺小車的穩(wěn)定控制器設(shè)計問題，都是以分析實體模型、通過物理定律建立數(shù)學(xué)模型、抽象傳遞函數(shù)并搭建仿真模型、設(shè)定控制器參數(shù)并用一定的方法調(diào)參。本文通過對倒立擺小車的控制設(shè)計實例為讀者總結(jié)了一套完整的倒立擺控制設(shè)計研究方法。

參考文獻

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