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篇1

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 概念教學(xué) 本質(zhì)屬性

一、概念教學(xué)的階段性和發(fā)展性

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，概念有一定的邏輯體系。概念的內(nèi)涵以及外延固定不變?yōu)楦拍畹拇_定性，不過客觀事物是不斷變化發(fā)展的，而且人們認(rèn)識也在不斷深化，所以，概念要反映客觀事物，也處于不斷變化和發(fā)展中。小學(xué)生接受能力有限，小學(xué)數(shù)學(xué)的概念教學(xué)，一般是分階段的。比如“數(shù)”這個(gè)概念，不同階段的學(xué)生就有不同要求，起初只是學(xué)習(xí)1、2、3、……后來又認(rèn)識零，然后是分?jǐn)?shù)、小數(shù)，再到正數(shù)、負(fù)數(shù)以及實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)等。

數(shù)學(xué)概念的發(fā)展性和階段性是數(shù)學(xué)教學(xué)的一對矛盾，要想解決矛盾，就要掌握小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)每一階段的目標(biāo)。教師要仔細(xì)鉆研教材，把握好數(shù)學(xué)的概念系統(tǒng)，理順概念的發(fā)展脈絡(luò)。數(shù)學(xué)概念不斷發(fā)展，概念之間也有著一定聯(lián)系，概念不同，教學(xué)中的要求也不同，教師要掌控好階段性目標(biāo)。

每個(gè)教學(xué)階段，數(shù)學(xué)概念都是確定的，避免小學(xué)生認(rèn)識概念時(shí)混亂。沒有嚴(yán)格定義的概念，要根據(jù)他們的接受能力，用通俗的語言進(jìn)行，便于小學(xué)生接受。完成一個(gè)教學(xué)階段后，要給小學(xué)生指出數(shù)學(xué)概念是變化發(fā)展的。比如，學(xué)習(xí)長方體后，有學(xué)生認(rèn)為課本中每一張紙也是長方體，這就說明該學(xué)生有了一定理解，教師要予以肯定。概念發(fā)展以后，數(shù)學(xué)教師要為學(xué)生指出原來概念和后來概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，有利于小學(xué)生掌握。

二、概念教學(xué)的具體化和抽象化

在小學(xué)數(shù)學(xué)的概念教學(xué)中，教材中很多概念沒有嚴(yán)格定義，教師要盡量以直觀形象，幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)。從小學(xué)生角度看，概念是抽象的，形成數(shù)學(xué)概念要有一定的感性經(jīng)驗(yàn)，由模糊到分明逐步形成。

在概念教學(xué)中，對于抽象的內(nèi)容，可以借助恰當(dāng)?shù)难菔竞筒僮鬓D(zhuǎn)化成具體的內(nèi)容，并借此為小學(xué)生揭示出抽象概念的本質(zhì)。像幾何知識，線、面和體的概念以及圖形特征和性質(zhì)的概念往往都是抽象化的，教學(xué)時(shí)要注重演示、操作，讓學(xué)生在觸摸、擺放、測量以及拼接中體會到這些概念，加深對概念的理解。這種直觀教學(xué)，充分利用了學(xué)生原本掌握的基礎(chǔ)知識，逐漸抽象，層次清楚。在實(shí)物演示下幫助學(xué)生建立表象，解決抽象概念和形象思維之間的矛盾。

教學(xué)過程要聯(lián)系生活實(shí)際，以恰當(dāng)?shù)姆绞绞钩橄蟾拍罹唧w化，把抽象內(nèi)容轉(zhuǎn)變成小學(xué)生的生活知識，同時(shí)生活知識也抽象成了教學(xué)內(nèi)容。比如小學(xué)生對乘法分配律的學(xué)習(xí)，教師可以通過“一件上衣30元，一條褲子20元，買5套這種衣服要花費(fèi)多少元？”類似的生活情景小學(xué)生比較熟悉，很容易把抽象問題具體化。

三、教學(xué)過程合理有序

1.引入概念時(shí)提供豐富的感性材料

在概念教學(xué)中，引入概念時(shí)要幫助學(xué)生形成清晰的表象，清晰的表現(xiàn)是學(xué)生認(rèn)識概念的基礎(chǔ)。不管借助什么方式引入數(shù)學(xué)概念，都要考慮能不能幫助小學(xué)生在腦中形成清晰的表象。根據(jù)教學(xué)內(nèi)容采取直觀方式把豐富的感性材料提供給小學(xué)生，比如實(shí)物、模型以及掛圖等，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察，并讓他們親自動手操作，豐富感性認(rèn)識。

引入概念時(shí)所選的教學(xué)材料要確切，比如角的學(xué)習(xí)，小學(xué)階段學(xué)習(xí)平面角，課堂上可以讓學(xué)生察看黑板和書面等一些平面上的角，但是如果讓學(xué)生看教室中相鄰兩堵墻構(gòu)成的角，這種為兩面角，就不恰當(dāng)了。

2.概念的本質(zhì)屬性

理解概念在概念教學(xué)中屬于中心環(huán)節(jié)，背誦概念不等于理解概念，數(shù)學(xué)教師要幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵以及外延，并在理解基礎(chǔ)上真正掌握概念。小學(xué)生學(xué)習(xí)概念時(shí)，不清楚內(nèi)涵或者理解不全面，容易把非本質(zhì)屬性當(dāng)成本質(zhì)屬性。比如，學(xué)習(xí)長方形時(shí)，學(xué)生只能認(rèn)識水平位置的長方形，當(dāng)斜著放時(shí)就不認(rèn)識了。在概念教學(xué)時(shí)，數(shù)學(xué)教師要轉(zhuǎn)換概念的表達(dá)方式，從各個(gè)側(cè)面幫助學(xué)生理解概念，使小學(xué)生從變式中理解概念的本質(zhì)屬性，消除非本質(zhì)屬性帶來的干擾。

3.概念的比較和分類

在小學(xué)數(shù)學(xué)的概念教學(xué)中，概念有時(shí)候含義相近近，不過本質(zhì)屬性是有區(qū)別的。像數(shù)和數(shù)字，奇數(shù)和質(zhì)數(shù)，時(shí)間和時(shí)刻，周長和面積等，小學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中很容易混淆這些概念，這就要求教學(xué)過程中要注重概念的比較，避免學(xué)生理解概念時(shí)混亂。

小學(xué)數(shù)學(xué)有著較強(qiáng)的系統(tǒng)性，前后知識聯(lián)系緊密，不過由于受到小學(xué)生的思維水平以及接受水平的限制，一些知識往往分為幾節(jié)課甚至幾個(gè)學(xué)期進(jìn)行學(xué)習(xí)，這就削弱了知識內(nèi)在聯(lián)系。數(shù)學(xué)教師在教學(xué)時(shí)要系統(tǒng)整理有聯(lián)系的概念，幫助小學(xué)生形成網(wǎng)絡(luò)式的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生把概念分類，并明確概念之間的區(qū)別和聯(lián)系，形成一個(gè)概念系統(tǒng)。

總結(jié)：

在小學(xué)數(shù)學(xué)的概念教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師要深入了解小學(xué)生的年齡特征、思維形式，實(shí)行科學(xué)合理的教學(xué)方法，引導(dǎo)小學(xué)生對概念的理解。概念教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生弄清概念的先后順序，還要摸清內(nèi)在聯(lián)系。概念隨著事物的發(fā)展不斷演變，小學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)概念，也要隨著學(xué)習(xí)程度的加深，逐步深化。概念教學(xué)不能僅僅停留于感性認(rèn)識上，還要抽象概括觀察的事物，并揭示概念本質(zhì)，從感性到理性實(shí)現(xiàn)認(rèn)識上地飛躍，形成概念。總之，數(shù)學(xué)教師要結(jié)合小學(xué)生學(xué)習(xí)的特點(diǎn)進(jìn)行概念教學(xué)。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 楊雪英. 新課標(biāo)下數(shù)學(xué)概念教學(xué)的幾點(diǎn)思考[J]. 數(shù)學(xué)之友，2011 （03）.

[2] 葉宇星. 讓數(shù)學(xué)概念靈動起來 ――對小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的思考[J]. 學(xué)生之友（小學(xué)版）（下），2011（08）.

篇2

關(guān)鍵詞：思辨數(shù)學(xué)；算法；概率統(tǒng)計(jì)；直覺思維

1思辨數(shù)學(xué)詞源詮釋

思辨數(shù)學(xué)一詞是荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（Freudenthal，1905—1990）首先提出的。他在名著《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中舉例詮釋了思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的區(qū)別：設(shè)有相同數(shù)量的白酒與紅酒各一杯，取一匙白酒倒入紅酒內(nèi)，使之混合，再取同量的一匙混合酒倒入白酒內(nèi)。試問，白酒杯中所含的紅酒比紅酒杯中所含的白酒多，還是正好相反？答案是：兩種含量一樣多。然而解題方法有兩種，一種是根據(jù)其取法操作，列出算式計(jì)算...另一種是這樣思考的：設(shè)想每個(gè)杯子中的白酒和紅酒是分開的，那么白酒杯中的紅酒正是紅酒杯中所缺少的部分，而它的空缺現(xiàn)在正好被白酒所填補(bǔ)。前一種解法是算法求解，后一種解法是思辨求解]。

顯然，這是兩種思維風(fēng)格迥然不同的解法，解法一是邏輯性的算法求解，屬于算法數(shù)學(xué)；解法二主要是直覺性的思辨求解，屬于思辨數(shù)學(xué)。這里舉例僅僅是為了詮釋概率論中思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的區(qū)別。我們認(rèn)為，思辨數(shù)學(xué)就是動態(tài)地辯證地把握概念和體味推據(jù)（這里把思辨推理的理論依據(jù)簡稱推據(jù)），憑借對概念的直覺和數(shù)學(xué)美的啟迪（而非邏輯性的推理），產(chǎn)生直觀的解題思路方法或做出合情推理決策。換言之，在直覺領(lǐng)引下，圍繞推據(jù)，換位思考，思維在運(yùn)動中覓到解題方法的一套數(shù)學(xué)知識體系。

德國數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家克萊因（KleinF，1849—1925）指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科并不是一系列的技巧，這些技巧只不過是它微不足道的方面，它們遠(yuǎn)不能代表數(shù)學(xué)，就如同調(diào)配顏色遠(yuǎn)不能當(dāng)作繪畫一樣，技巧是將數(shù)學(xué)的激情、推理、美和深刻的內(nèi)涵剝落后的產(chǎn)物?！盵4]克萊因這一論斷，對概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義，把握思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的區(qū)分，它能為教學(xué)提供重心，對于貫徹概率統(tǒng)計(jì)思想方法為主線的教學(xué)大有裨益。

2概率統(tǒng)計(jì)課程中的思辨數(shù)學(xué)內(nèi)涵透析

從思維的邏輯層面透析，概率統(tǒng)計(jì)知識內(nèi)容可以分為兩類，大部分是程序性的，有一些則是思辨性的。算法是程序性的，概率統(tǒng)計(jì)的演算中充斥著算法；然而，在概率演算題中也會遇到思辨求解問題，雖然這類題數(shù)量不多，但解題思維中頗富有理性精神，有著方法論的教育意義。特別值得一提的是，就產(chǎn)生數(shù)理統(tǒng)計(jì)一些重要方法的思想而言，思辨因素起著關(guān)鍵性的作用，從本質(zhì)上講，作為數(shù)理統(tǒng)計(jì)核心內(nèi)容的統(tǒng)計(jì)推斷也隸屬于思辨數(shù)學(xué)的范疇，即思辨數(shù)學(xué)至少包含思辨求解和思辨推斷兩大模塊。現(xiàn)分述如下：

2.1思辨求解問題

若對某些概率問題的題設(shè)條件進(jìn)行分析，抓住題目中的關(guān)鍵概念，由對這些概念的直覺和思辨，就能引發(fā)解題的思AXB路和方法。具體說來，吃透問題的條件和結(jié)論，抓住起決定性作用的思辨因素，運(yùn)用發(fā)散思維或逆向思維，進(jìn)行類比聯(lián)想或換位思考推理，進(jìn)而恰當(dāng)?shù)匾胼o助事件或輔助隨機(jī)變量，就會建構(gòu)和洞察到所研究的數(shù)學(xué)對象中蘊(yùn)涵著的事件之間或隨機(jī)變量之間的某種對稱性、對等性或等可能性的關(guān)系。那么，這些事件、事件關(guān)系所遵從的一般的概率法則、統(tǒng)計(jì)規(guī)律或一些概率原理等就構(gòu)成解題思維的支點(diǎn)，即推據(jù)；思維一旦受到這些推據(jù)以及數(shù)學(xué)中對稱美的直覺啟發(fā)，就會迅速地做出判斷，尋到簡便的解法，或直接給出答案。

2.2.1最大似然法（以離散型隨機(jī)變量為例）

2.2.2最小二乘估計(jì)

回歸分析的基本思想是首先根據(jù)樣本組的分布特征以及對問題的思辨認(rèn)識而先驗(yàn)地選定一個(gè)模型類型，然后求出（估計(jì)出）模型中相應(yīng)參數(shù)。至于對參數(shù)的估計(jì)，一般采用最大似然估計(jì)法，具體到回歸分析上叫做最小二乘法。所謂最小二乘法系利用拉格朗日條件極值原理，對所選模型在所給樣本下，保證誤差最小時(shí)，求得參數(shù)估計(jì)值[6]。說到底它也是一種思辨推斷模式。

2.2.3假設(shè)檢驗(yàn)

先根據(jù)統(tǒng)計(jì)目的對總體提出一個(gè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)0H（也叫原假設(shè)），然后再由一次抽樣的結(jié)果來檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)是否可信，從而做出決策：拒絕還是接受這個(gè)假設(shè)。一方面，我們先假定0H是正確的，在此假定下，某事件A出現(xiàn)的概率很小，比如p(A)=0.05；另一方面，進(jìn)行一次試驗(yàn)，如果事件A出現(xiàn)了，就是說在一次試驗(yàn)中就居然發(fā)生了小概率事件，那么根據(jù)直覺：“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中一般認(rèn)為是不會發(fā)生的。”（小概率事件原理，即推據(jù)）我們不能不懷疑作為小概率事件的前提假設(shè)0H的正確性，因而做出拒絕0H的決策；如果進(jìn)行一次試驗(yàn)，小概率事件沒有出現(xiàn)，則試驗(yàn)結(jié)果與假設(shè)相符，沒有理由拒絕0H，因而只好接受0H。進(jìn)一步歸結(jié)出假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟（略），即是算法程序，使概念的直觀具體性有了一個(gè)邏輯思維的圖式，如果沒有這些邏輯模式，推理將變得沒有質(zhì)量。從根本上看，假設(shè)檢驗(yàn)法是以小概率事件原理為推據(jù)的思辨推斷模式。概言之，最大似然估計(jì)、最小二乘估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)本質(zhì)上都是思辨的產(chǎn)物；從思維方法上講，它們是思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)有機(jī)的統(tǒng)一體；“思辨”當(dāng)頭，“算法”自然就在其中了。

2.3概率統(tǒng)計(jì)中的思辨數(shù)學(xué)之特征分析

2.3.1思辨求解問題與思辨推斷的異同

思辨求解問題的推據(jù)具有確定性和真理性。。然而，思辨推斷的推據(jù)則具有“或然性”，比如最大似然原理中的用詞：“應(yīng)該是”，并非“一定是”；小概率事件原理中的用詞“一般認(rèn)為是不會發(fā)生”，但并非“絕對不會發(fā)生”，可見思辨推斷的結(jié)論則是概率邏輯意義下的必然。比如假設(shè)檢驗(yàn)就是概率性質(zhì)的反證法。故思辨推斷理屬合情推理。

思辨求解與思辨推斷的共同之處，都是主體基于對概率統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識及其結(jié)構(gòu)的透徹了解，基于對整個(gè)問題的理解把握以及已有的知識背景，使主體能跨越邏輯的思考而進(jìn)入直念（即數(shù)學(xué)直觀，形象觀念）[3]，想象和直覺判斷，以推據(jù)為準(zhǔn)繩，迅速解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題。

2.3.2思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的比較

由于思辨數(shù)學(xué)一詞是相對于與算法數(shù)學(xué)的概念提出的，下面我們就其兩者進(jìn)行對比分析：

算法數(shù)學(xué)有具體化、程序化和機(jī)械化特點(diǎn)，又有抽象性、概括性和精確性；思辨數(shù)學(xué)有抽象化、模式化和直念化特點(diǎn)，又帶有假定性、哲理性和啟示性。

算法有算理，比如概率的公理、定理、性質(zhì)等構(gòu)成概率算法求解的基本算理。算理是算法的理論基礎(chǔ)，算法是算理的具體體現(xiàn)；思辨求解和思辨推斷有推據(jù)，比如對稱性、對等性、等可能性、最大似然原理、小概率事件原理等構(gòu)成概率思辨求解和思辨推斷的推據(jù)。推據(jù)是思辨的理論基礎(chǔ)，思辨求解和思辨推斷是推據(jù)的實(shí)際表達(dá)。

與算法相比較，算法求解依據(jù)邏輯思維、邏輯推理，思維是縱向的、條理化的；思辨數(shù)學(xué)則依據(jù)認(rèn)識之直覺，思維是跳躍性的、橫向的和發(fā)散的。思辨求解的推理是非邏輯的；思辨推斷是歸納性質(zhì)的合情推理。

3提出思辨數(shù)學(xué)概念對概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)具有的要義

關(guān)于思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的這種區(qū)分，在教學(xué)法上具有重要意義。傳統(tǒng)的概率教學(xué)著眼于概率算法求解，重視運(yùn)算規(guī)則和方法技巧，注重邏輯思維能力培養(yǎng)，忽視或根本不談概率思辨求解，因?yàn)樵S多概率教材的例題與習(xí)題都鮮見思辨求解類的素材；輕視概率統(tǒng)計(jì)課程的基本概念教學(xué)，因而造成了概率思想、統(tǒng)計(jì)認(rèn)識諸方面知識匱乏和直覺能力的缺失。比如統(tǒng)計(jì)推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的核心，統(tǒng)計(jì)推斷是對統(tǒng)計(jì)總體的未知數(shù)量特征做出概率形式表達(dá)的推理，鑒于思維上推與證的不同而分別提出了參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)，由此構(gòu)成統(tǒng)計(jì)推斷內(nèi)容的兩面。參數(shù)估計(jì)是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對總體參數(shù)所作的“猜想”，而前提是樣本與總體的同分布（即樣本與總體的同質(zhì)性）的假定；假設(shè)檢驗(yàn)即對總體特征做出的一種假設(shè)，然后根據(jù)樣本信息對這一假設(shè)的支持程度做出描述。前提同樣都是樣本與總體的同分布的假定。從哲學(xué)層面講，它們探討的都是共性與個(gè)性的辯證關(guān)系。

從戰(zhàn)略上看，由樣本推斷總體具有歸納性質(zhì)，從戰(zhàn)術(shù)上看，最大似然估計(jì)法與假設(shè)檢驗(yàn)的解題程式中的樣本值nx,x,,x12􀀢又非具體的數(shù)值，因而具有演繹性質(zhì)，所以最大似然估計(jì)法和假設(shè)檢驗(yàn)是歸納與演繹的辯證統(tǒng)一。對于統(tǒng)計(jì)推斷內(nèi)容的教法，目前多數(shù)教學(xué)已落入算法化、程式化的俗套，把參數(shù)的最大似然估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)作為一套處理問題的規(guī)則或算法來教；2003年出版的《Mathematica基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)軟件》一書，把參數(shù)的最大似然估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)按算法編程由計(jì)算機(jī)來做[7]，毫無思想。誠然，數(shù)學(xué)教育不應(yīng)該拒絕計(jì)算機(jī)的滲透，特別是統(tǒng)計(jì)推斷問題常會涉及一些煩瑣的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和計(jì)算，借助于計(jì)算機(jī)可節(jié)省大量的時(shí)間和精力。但是，數(shù)學(xué)方法的內(nèi)核是數(shù)學(xué)思想，由于意識不到統(tǒng)計(jì)推斷是思辨數(shù)學(xué)體系，所以容易忽視產(chǎn)生統(tǒng)計(jì)推斷方法所依賴的統(tǒng)計(jì)推斷思想、策略及其思維活動過程的教學(xué)，以致學(xué)生不能目睹數(shù)學(xué)過程的形象而生動的性質(zhì)，體悟不到統(tǒng)計(jì)推斷方法中蘊(yùn)涵的概率思想，更達(dá)不到思維訓(xùn)練之效。誠然，給學(xué)生一個(gè)可仿效的范例，就足以教會一個(gè)算法，盡管這樣的教學(xué)，學(xué)生學(xué)會了套用統(tǒng)計(jì)推斷的解題步驟，可能會做對若干道數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題，但是對統(tǒng)計(jì)推斷的思想實(shí)質(zhì)和認(rèn)識機(jī)制理解不深。比如，有學(xué)生在用最大似然估計(jì)法解題時(shí)，先把具體的實(shí)測數(shù)據(jù)帶入似然函數(shù)的表達(dá)式，再作取對數(shù)、求導(dǎo)、求極值點(diǎn)的運(yùn)算；有的學(xué)生在假設(shè)檢驗(yàn)解題中，在寫到最后一步：“拒絕H0”或“接受H0”時(shí)就擱筆了，把“即認(rèn)為...”這句關(guān)鍵的陳述語省略了不寫。不難想到，他們對樣本的二重性以及最大似然法所使用的辯證邏輯思維領(lǐng)悟不透徹；對統(tǒng)計(jì)推斷所表達(dá)的非決定論的因果關(guān)系規(guī)律認(rèn)識不到位。一句話，對最大似然估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)方法的本質(zhì)思想，缺少深層的思考。傳統(tǒng)教學(xué)的結(jié)果只會給學(xué)生留下這樣的印象：數(shù)理統(tǒng)計(jì)是裝著一筐子的“算法”。這種只強(qiáng)調(diào)算法與規(guī)則的數(shù)學(xué)課程，正如只強(qiáng)調(diào)語法和拼寫的寫作課程一樣，都是一種本末倒置。

任何一門數(shù)學(xué)學(xué)科都是由概念和技巧支撐的；若能區(qū)別概率統(tǒng)計(jì)教材中思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)，區(qū)分或認(rèn)識思辨數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，這就意味著預(yù)先設(shè)定將它們作為思維訓(xùn)練來教，其意義在于強(qiáng)調(diào)思辨因素，強(qiáng)調(diào)概率統(tǒng)計(jì)思想方法形成的思維活動的過程，自然也是強(qiáng)調(diào)了以概念為本的課程教學(xué)模式。

3.1凸顯以概率論為基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)思想以深化統(tǒng)計(jì)認(rèn)識

毫無疑問，概率論是統(tǒng)計(jì)的運(yùn)載工具，統(tǒng)計(jì)思想是統(tǒng)計(jì)方法的靈魂。按照思辨數(shù)學(xué)模式講授統(tǒng)計(jì)推斷，能夠更好地揭示和表達(dá)統(tǒng)計(jì)思想，深化統(tǒng)計(jì)認(rèn)識。因?yàn)樨瀼厝握摷矗骸霸谀撤N假定（假設(shè)）...之下，一方面...另一方面...，依推據(jù)則有...”的思辨推斷模式，勢必強(qiáng)調(diào)深刻理解概念和推據(jù)，充分展示換位思考中的思辨原理與辯證思維方法，這就凸顯了以概率論為基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)推斷思想。比如假設(shè)檢驗(yàn)，如果統(tǒng)計(jì)假設(shè)被理解為構(gòu)成概率計(jì)算的基礎(chǔ)的話，那么，看來極不可能的某個(gè)事件發(fā)生了，那就有悖于常理，于是統(tǒng)計(jì)假設(shè)認(rèn)為是小概率的事件的發(fā)生，將是一個(gè)反對該假設(shè)的證據(jù)，并且這種概率越小，其證據(jù)越顯得強(qiáng)有力。又由于在統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的邏輯中，前提與結(jié)論之間的邏輯蘊(yùn)涵不再是必然的，而是一種概率蘊(yùn)涵。換句話說，概率解釋中的解釋前提是假說，所以得到的邏輯必然的推論是可能的概率解釋。而在概率解釋中，對個(gè)別事實(shí)解釋的概率性與統(tǒng)計(jì)規(guī)律在每一個(gè)別情況下無法實(shí)現(xiàn)這一規(guī)律聯(lián)系著，因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)規(guī)律是大數(shù)定律，它僅在大量觀察或多次試驗(yàn)中才能出現(xiàn)。因此在統(tǒng)計(jì)規(guī)律上所作的關(guān)于個(gè)別事實(shí)的結(jié)論，只能解釋這一事實(shí)的可能性，而不是它的必然性。因此，“接受”中的“納偽”和“拒絕”中的“棄真”這兩類錯(cuò)誤不可避免的發(fā)生充分說明了這一點(diǎn)。

3.2強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思辨對培育直覺能力具有獨(dú)特功效

數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)思辨性。弗賴登塔爾指出：“算法是好的，數(shù)學(xué)中的常規(guī)也是不可避免的?！盵1]誠然，對數(shù)學(xué)來說算法具有極大的重要性，代數(shù)、微積分、概率中都有算法。當(dāng)前教學(xué)的強(qiáng)烈趨勢就是盛行算法化[1]。將一個(gè)領(lǐng)域算法化是更容易超越該領(lǐng)域的一種方式[1]。然而，現(xiàn)代數(shù)學(xué)之不同于古老數(shù)學(xué)，在于它強(qiáng)調(diào)的是思辨的因素而不是算法[1]。最引人注目的新生事物，也就是引起現(xiàn)代化過程發(fā)生的事物——集合論、抽象代數(shù)、分析學(xué)、拓?fù)洹际撬急娴漠a(chǎn)物。它們是沖破算法的僵化的外殼噴射而出的[1]。同時(shí)弗賴登塔爾還指出：算法數(shù)學(xué)與思辨數(shù)學(xué)的關(guān)系是辯證的，不能把它們看作是新與舊、高與低的對立。從培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的層面看，算法數(shù)學(xué)與思辨數(shù)學(xué)好比“算術(shù)和幾何正是作為互相的直接對立面在智力上發(fā)展起來的，但這并不表明因?yàn)橄矚g其中一個(gè)就應(yīng)該把另一個(gè)貶低。相反，教學(xué)應(yīng)該將這種發(fā)展繼續(xù)下去”[8]，教學(xué)應(yīng)該像重視算法數(shù)學(xué)一樣重視思辨數(shù)學(xué)，但問題在于目前的數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀，人們有些重算法而輕思辨的傾向。概率統(tǒng)計(jì)的思辨求解和思辨推斷解決問題的重要策略和特點(diǎn)是：對具體問題作具體分析，以已有知識和經(jīng)驗(yàn)為背景，在直覺領(lǐng)引下發(fā)掘問題中蘊(yùn)含著的思辨因素，尋找到推據(jù)或生成推據(jù)，以推據(jù)為支點(diǎn)，憑借直覺展開思辨推算或推斷。其思維方式是直覺的。從心理學(xué)視角看，思辨數(shù)學(xué)是直覺思辨的產(chǎn)物，它是思維對那種隱藏于數(shù)學(xué)對象深層的數(shù)學(xué)事物關(guān)系間的和諧性與規(guī)律性的感受，正是這種感受把知識空間投影和凈化成那幅心智圖像。顯意識和潛意識溝通形成頓悟，進(jìn)而達(dá)到直覺思維的目標(biāo)。

因此，強(qiáng)調(diào)思辨數(shù)學(xué)，必然注重培育直覺能力。思辨求解不僅能增加和豐富學(xué)生概率解題的方法策略，而且對其直覺思維乃至創(chuàng)新能力的培養(yǎng)大有裨益。克萊因說過：“在某種意義上講，數(shù)學(xué)的進(jìn)展主要?dú)w功于那些以直覺能力著稱的人多于那些以嚴(yán)謹(jǐn)證明著稱的人?！?/p>

3.3透過思辨求解法感悟數(shù)學(xué)方法的奇異美

思辨求解法的產(chǎn)生離不開直覺，數(shù)學(xué)直覺本質(zhì)上就是“美的意識或美感”。美的意識力或鑒賞能力越強(qiáng)，發(fā)現(xiàn)和辨認(rèn)隱蔽的和諧關(guān)系的直覺能力也就越強(qiáng)。數(shù)學(xué)審美意識是產(chǎn)生數(shù)學(xué)直覺、爆發(fā)數(shù)學(xué)靈感的“刺激素”。

思辨求解法的思想性強(qiáng)，其方法直觀，運(yùn)算簡捷，甚至用不著計(jì)算就能直接獲得答案。從思辨求解法產(chǎn)生的心理機(jī)制來看，其思維空間是動態(tài)的；每一個(gè)具體的思辨性解法，無不聯(lián)系著主體解題的思維運(yùn)作：數(shù)形結(jié)合，動靜聯(lián)想，等價(jià)語意轉(zhuǎn)換，整體性把握思考，以及受到數(shù)學(xué)美的啟迪等。它把數(shù)學(xué)表達(dá)式的對稱美、數(shù)學(xué)關(guān)系的和諧美、數(shù)學(xué)方法的簡潔美、數(shù)學(xué)思想的思辨美發(fā)揮的淋漓盡致。奇妙的解法閃爍著智慧之光，常給人以精神上的愉悅和滿足。

“奇異性與思辨性是密切相關(guān)的，奇異性的結(jié)果會導(dǎo)致數(shù)學(xué)的新進(jìn)展，而思辨能引起人們的思索，調(diào)動人們的想象，幫助人們對未知事物作深入地理解、把握和預(yù)見，促使人們?nèi)プ非髷?shù)學(xué)中內(nèi)在旋律?！奔醋非髷?shù)學(xué)美的旋律。

［參考文獻(xiàn)］

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篇3

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；有效提高；實(shí)踐探究

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】B 【文章編號】1008-1216（2016）06B-0080-01

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識之本，更是學(xué)生數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn)。讓學(xué)生弄清概念的產(chǎn)生、聯(lián)系、過程、本質(zhì)及運(yùn)用，應(yīng)成為數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效目標(biāo)。對教師來說，分析學(xué)情，吃透教案，才能讓學(xué)生更有效地理解概念，從而提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決生活中實(shí)際問題的能力。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的現(xiàn)狀

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念占據(jù)了大量的篇幅，比如概念、定律、性質(zhì)、法則、公式等，這些不僅是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，也是學(xué)習(xí)其他理論知識的基礎(chǔ)。因此在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)模式中，概念教學(xué)成為首選。目前，概念教學(xué)在我國小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中已經(jīng)得到了推廣與應(yīng)用，蘇教版數(shù)學(xué)教材就以概念教學(xué)為主線，使用了大量的篇幅引導(dǎo)、延伸基礎(chǔ)概念，取得了很好的教學(xué)效果。案例一：在《除法的初步認(rèn)識》教學(xué)中，學(xué)生被分為六人一小組，每人手中有六張卡片。老師要求學(xué)生將卡片平均分成三份，每個(gè)學(xué)生都將卡片平分成三份。這樣學(xué)生就從小組活動中對除法有了初步的認(rèn)識，并且能用除法解決一些簡單的實(shí)際問題， 初步培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)和解決問題的能力。案例二：在《角的初步認(rèn)識》教學(xué)中，教師拿出一個(gè)三角形詢問學(xué)生“這是什么形狀”，引導(dǎo)學(xué)生在生活中尋找角，比如墻角、橋梁、屋頂?shù)龋箤W(xué)生在生活實(shí)踐中對角有形象生動地了解。通過這些案例可以看出，概念教學(xué)更有利于循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生理解理論知識。但是，由于我國概念教學(xué)模式的不成熟或者應(yīng)用過程中存在的問題，概念教學(xué)的有效性大打折扣，影響學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提高。

二、提高小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)有效性中存在的問題

（一）傳統(tǒng)教學(xué)模式的影響

概念教學(xué)是通過加強(qiáng)學(xué)生對事物概念的理解來引導(dǎo)其辨別事物，或者進(jìn)行歸類，宗旨是加強(qiáng)理解。但是，由于傳統(tǒng)教學(xué)模式根深蒂固的影響，概念教學(xué)逐漸變了味道。調(diào)查研究顯示，很多教師在課堂中通常是讓學(xué)生將數(shù)學(xué)概念背下來，通過實(shí)訓(xùn)加強(qiáng)學(xué)生的解題能力。這種教學(xué)方式并非概念教學(xué)，依然是讓學(xué)生死記硬背，對概念似懂非懂，嚴(yán)重影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，不利于教學(xué)質(zhì)量的提高。

（二）教師的教學(xué)水平較低

小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，擁有顯著的教學(xué)優(yōu)勢。但是，其教學(xué)優(yōu)勢能否凸顯完全在于教師的駕馭能力。調(diào)查研究顯示，我國小學(xué)數(shù)學(xué)教師的綜合素質(zhì)較低，不能充分運(yùn)用概念教學(xué)模式，在課堂中面對概念知識不能循序漸進(jìn)引導(dǎo)學(xué)生，對概念的總結(jié)能力比較低，往往過于倉促，難以引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（三）教學(xué)方式與內(nèi)容單一

目前我國小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中雖然運(yùn)用了概念教學(xué)模式，但是教學(xué)過程中的內(nèi)容和方式顯得過于單一。比如，有些教師僅僅將數(shù)學(xué)涉及到的概念、定律、性質(zhì)、法則、公式進(jìn)行教學(xué)，其他內(nèi)容依然是死記硬背。同時(shí)，教學(xué)方式過于單一，很多教師一堂課下來都是“填鴨式”的教學(xué)，與學(xué)生沒有互動，不利于引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，嚴(yán)重影響了教學(xué)質(zhì)量的提升。

三、提高小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)有效性的具體措施

（一）轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)觀念

首先，教育界應(yīng)該積極轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)觀念，改變傳統(tǒng)死記硬背的教學(xué)模式，樹立培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力、理解能力、實(shí)踐能力的教學(xué)理念。同時(shí)，學(xué)校還應(yīng)該深化教師對概念教學(xué)模式的認(rèn)識，充分發(fā)揮其教學(xué)優(yōu)勢，促使學(xué)生理解掌握數(shù)學(xué)知識，提高小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性。

（二）提高教師的綜合素質(zhì)

教師的綜合素質(zhì)是影響教學(xué)質(zhì)量的直接因素，因此我國應(yīng)該進(jìn)一步提高教師的整體素質(zhì)，主要通過兩個(gè)途徑：首先，提高教師的入職門檻，提高教師的綜合素質(zhì)。其次，加強(qiáng)教師入職后期教育，建立健全教師的培訓(xùn)與考核體系，同時(shí)為教師搭建交流討論的平臺，豐富教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的提高。

（三）豐富教學(xué)方式與內(nèi)容

我國應(yīng)該豐富小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的方式與內(nèi)容。比如，在課堂中，教師可以通過教材，結(jié)合生活中的實(shí)例，或者為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境，循序漸進(jìn)引導(dǎo)學(xué)生理解事物概念?；蛘咄ㄟ^社會實(shí)踐，在提高學(xué)生實(shí)踐能力的同時(shí)加強(qiáng)對事物的理解。此外，教師還應(yīng)該對概念教學(xué)進(jìn)行延伸與應(yīng)用，不應(yīng)該僅僅限于書本知識，這樣有利于提高學(xué)生對概念的理解與掌握能力，從而有利于學(xué)習(xí)效率的提高。

綜上所述，近年來，隨著概念教學(xué)模式在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的推廣與應(yīng)用，促進(jìn)了教學(xué)質(zhì)量的提高，為新教材改革提供了新的線索，比如蘇教版數(shù)學(xué)教材。但是，我國在概念教學(xué)的推廣與應(yīng)用過程中依然存在許多問題有待解決。因此，我國還應(yīng)該積極借鑒國外先進(jìn)的教學(xué)理念，并結(jié)合自身特點(diǎn)，不斷發(fā)展創(chuàng)新，提高小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效性，促進(jìn)我國教育事業(yè)的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

篇4

一、創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，引入概念

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上?！薄稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的這一理念，著眼于學(xué)生終身學(xué)習(xí)的愿望和能力，要求概念教學(xué)要從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和心理發(fā)展規(guī)律選材，題材要廣泛，呈現(xiàn)形式要豐富多彩，充滿學(xué)生樂于接觸的、有價(jià)值的數(shù)學(xué)題材。在概念教學(xué)時(shí)創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)而有吸引力的學(xué)習(xí)情境尤為重要，它可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和動機(jī)，讓學(xué)生在自然的情境中產(chǎn)生積極主動地學(xué)習(xí)新知識的愿望。

概念的引入方式要恰當(dāng)，要根據(jù)不同的概念創(chuàng)設(shè)不同的情境。創(chuàng)設(shè)情境引入概念的方式很多：創(chuàng)設(shè)故事情境引入，使學(xué)生興趣盎然地進(jìn)行新課學(xué)習(xí)。動手操作情境引入，一些有數(shù)學(xué)背景的玩具和游戲不僅能愉悅、陶冶學(xué)生的身心，還能激發(fā)學(xué)生濃厚的探究興趣。

教師在設(shè)計(jì)具體情境時(shí)切忌單刀直入，全盤托出，而應(yīng)該根據(jù)小學(xué)生的年齡特征，緊密地聯(lián)系學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，從舊到新，由淺入深，循序漸進(jìn)地引入。

二、加強(qiáng)實(shí)踐探究，建構(gòu)概念

當(dāng)學(xué)生感知概念后，為了讓學(xué)生準(zhǔn)確把握概念，必須通過比較、分析、綜合、概括等思維活動和學(xué)習(xí)手段，剔除知識的非本質(zhì)屬性，抽取其基本屬性，認(rèn)真分析概念的內(nèi)涵和外延，并找準(zhǔn)概念中的重點(diǎn)難點(diǎn)給學(xué)生講解，幫助學(xué)生構(gòu)建自己正確、清晰的知識框架。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純依賴模仿記憶。動手實(shí)踐、自主探索和合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。

現(xiàn)代心理學(xué)認(rèn)為：知識并不能簡單地由教師或其他人傳授給學(xué)生，而只能由每個(gè)學(xué)生依托自己已有的知識和經(jīng)驗(yàn)主動地加以建構(gòu)。

數(shù)學(xué)概念的抽象性決定了學(xué)生要想獲得正確的概念必須有一個(gè)主動、復(fù)雜的思維過程。教師并不能把現(xiàn)成的概念原封不動地、簡單地“灌”或“塞”給學(xué)生，不能只重視結(jié)論的記憶而忽視對概念的理解。在教學(xué)中，我們要關(guān)注學(xué)生的探究與發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生動手操作，主動參與結(jié)論獲得的過程。如我們可以借助操作活動幫助學(xué)生建立“平均分”的概念。讓學(xué)生把八根小棒分成兩份，交流不同的分法，然后引導(dǎo)學(xué)生將幾種分法進(jìn)行分類。讓學(xué)生通過觀察、比較后，發(fā)現(xiàn)“4根與4根”的分法的本質(zhì)特征是“每份的根數(shù)一樣多”，并指出這種分法叫平均分。

三、借助生活經(jīng)驗(yàn)，理解概念

在概念教學(xué)中，教師應(yīng)盡可能地將數(shù)學(xué)知識與學(xué)生在日常生活的、熟悉的、具體的材料相聯(lián)系，這樣有利于抽象的數(shù)學(xué)概念具體化、形象化，便于學(xué)生理解，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的思維和探索新知的欲望。如：開始學(xué)習(xí)“角”，教師憑借常見的直觀實(shí)物（五角星、三角板等），幫助學(xué)生理解“角”的意義。

四、聯(lián)系實(shí)際運(yùn)用，拓展概念

數(shù)學(xué)概念既然來源于生活，就必須回歸生活。教師要設(shè)計(jì)富有實(shí)用性、生活性的習(xí)題，讓學(xué)生用所掌握的知識思考“是怎樣做的，為什么要這樣做，還可以怎樣做”等問題，使學(xué)生的聰明才智得以充分發(fā)揮。學(xué)生對新學(xué)概念的掌握不是一次能完成的，需要由具體到抽象、再由抽象到具體地多次重復(fù)。教學(xué)中除了要重視數(shù)學(xué)概念的形成和獲得外，還要加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐意識。組織情境練習(xí)既能使學(xué)生靈活地運(yùn)用概念、鞏固知識，又能使學(xué)生愉快地學(xué)習(xí)，在實(shí)踐中主動體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值和魅力。

篇5

[關(guān)鍵詞] 新課改數(shù)學(xué) 教學(xué)方法

1.明確數(shù)學(xué)教學(xué)目的，注重學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)。

作為數(shù)學(xué)教師，必須對教學(xué)目的有明確的認(rèn)識，必須全面、深刻地掌握數(shù)學(xué)教學(xué)目的，并在教學(xué)過程中，經(jīng)常以此來檢查和評價(jià)自己的教學(xué)水平和教學(xué)效果，從而不斷改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)方法。通過激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)，調(diào)動其全部心理活動的積極性。讓學(xué)生意志在克服困難中表現(xiàn)，也在經(jīng)受挫折、克服困難中發(fā)展，逐步養(yǎng)成學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。學(xué)生通過這種方式學(xué)會了運(yùn)用知識解決問題，并從中體驗(yàn)到成功的樂趣，從而產(chǎn)生了進(jìn)一步學(xué)習(xí)的愿望。作為教師就應(yīng)該認(rèn)真研究學(xué)生的這種心理傾向，并通過這種途徑培養(yǎng)學(xué)生的求知欲望，引導(dǎo)學(xué)生形成良好的意識傾向，要充分相信每一位學(xué)生的潛能，注重學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)。

2.改革課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步提高教學(xué)效果。

改革課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，課堂上多給學(xué)生留出一些讓他們自主學(xué)習(xí)和討論的空間，使他們有機(jī)會進(jìn)行獨(dú)立思考、相互討論，并發(fā)表各自的意見；利用教師的主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生積極主動地參與教學(xué)過程。數(shù)學(xué)課堂上學(xué)生的主要活動是通過動腦、動手、動口參與數(shù)學(xué)思維活動，在教師的主導(dǎo)下，堅(jiān)持學(xué)生是探究的主體，引導(dǎo)學(xué)生對知識的發(fā)生、形成、發(fā)展全過程進(jìn)行探究活動。讓學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并逐步培養(yǎng)他們分析問題、解決問題的能力。

由于長期以來，許多學(xué)校的課堂教學(xué)存在一個(gè)嚴(yán)重問題，即只注重教師與學(xué)生之間的“教”與“學(xué)”，而忽視了學(xué)生與學(xué)生之間的交流和學(xué)習(xí)，從而導(dǎo)致學(xué)生自主學(xué)習(xí)空間萎縮。表現(xiàn)為教師權(quán)威高于一切，對學(xué)生要求太嚴(yán)太死。課堂氣氛緊張、沉悶，缺乏應(yīng)有的活力。形成了教師教多少，學(xué)生學(xué)多少，教師“主講”，學(xué)生“主聽”的單一教學(xué)模式。違背了“教為主導(dǎo)、學(xué)為主體”的原則。

學(xué)生在學(xué)習(xí)上依賴性增強(qiáng)，缺乏獨(dú)立思考問題和解決問題的能力，最終導(dǎo)致厭學(xué)情緒，致使學(xué)習(xí)效率普遍降低。因此，要進(jìn)一步提高教學(xué)效果，就必須發(fā)揮學(xué)生的主體作用，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，就必須做到：創(chuàng)設(shè)情境，活躍思維精彩的課堂開頭，往往給學(xué)生帶來新異、親切的感覺，不僅能使學(xué)生迅速地由抑制到興奮，而且，還會使學(xué)生把學(xué)習(xí)當(dāng)成一種自我需要，自然地進(jìn)入學(xué)習(xí)新知識的情境；進(jìn)行獨(dú)立思考和自主探索。鼓勵(lì)學(xué)生合作交流為了促使學(xué)生合作交流，在教學(xué)組織形式和教學(xué)方法上要變革，由原來單一的班級授課制轉(zhuǎn)向班級授課制、小組合作學(xué)習(xí)多種教學(xué)的自制形式轉(zhuǎn)變。 轉(zhuǎn)貼于

3. 傳授一些聽課技能，采用多樣化的評價(jià)方式。

數(shù)學(xué)能力實(shí)際上是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中聽、說、讀、寫、想等方面的能力，它們是數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)活動的前提和不可缺少的學(xué)習(xí)能力，也是提高數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)效率的保證。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，“聽”就是學(xué)生首先要聽課，同時(shí)也要聽同學(xué)們對數(shù)學(xué)知識的理解和課后的感受，這就需要有“聽”的技能。因此，教師要隨時(shí)了解周圍學(xué)生對數(shù)學(xué)課知識要點(diǎn)的理解及聽課的效果，同時(shí)，教師也可以向?qū)W生傳授一些聽課技能。

在教學(xué)中，評價(jià)應(yīng)得到重視，評價(jià)不僅要重視學(xué)生對知識、技能的掌握情況，還要更多地關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的表現(xiàn)。在教學(xué)中，學(xué)生是否積極主動地參與學(xué)習(xí)活動，是否能結(jié)合具體情境發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題，是否樂于與他人合作，是否能通過獨(dú)立思考獲得解決問題的思路，是否有反思自己思考過程的意識等，都應(yīng)成為評價(jià)學(xué)生的重要指標(biāo)。評價(jià)要采取定性與定量相結(jié)合的方式，更多地關(guān)注學(xué)生已經(jīng)掌握了什么，有哪些進(jìn)步，具備了什么能力等，從而使評價(jià)結(jié)果更有利于學(xué)生樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

總之，隨著我國教育事業(yè)的不斷進(jìn)步和發(fā)展，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)緊跟時(shí)代的步伐，大力推進(jìn)課程、教材、教法的改革，教師必須轉(zhuǎn)變教育觀念，掌握新的教學(xué)基本功，為最終提高新課程的教學(xué)而努力。

[參考文獻(xiàn)]

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關(guān)鍵詞：心理學(xué)；數(shù)學(xué)概念；記憶

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

數(shù)學(xué)是由數(shù)學(xué)概念、命題、數(shù)學(xué)思想方法構(gòu)成的一個(gè)完整的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。數(shù)學(xué)概念是建構(gòu)數(shù)學(xué)這一完整結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的基石，也是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和前提。學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解掌握程度是其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容掌握好壞的重要標(biāo)志。如何進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，怎樣才能讓學(xué)生完成對數(shù)學(xué)概念的實(shí)質(zhì)性的掌握過程，就成為我們需要認(rèn)真思考的問題。

走進(jìn)中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，大多數(shù)教師對數(shù)學(xué)概念的講授都是讓學(xué)生多讀幾遍、背下來，幾分鐘后檢查背誦結(jié)果，這樣的教學(xué)過程與數(shù)學(xué)課堂本身的特點(diǎn)背道而馳，同時(shí)也不符合新課程改革的教學(xué)理念。

一、對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識

在心理學(xué)層面上，概念被定義為一種反映事物一般的和本質(zhì)的屬性或聯(lián)系的思維方式，是用來對物體、事件和特性進(jìn)行分組的心理類別。數(shù)學(xué)概念作為數(shù)學(xué)學(xué)科中的特有概念，是人腦對現(xiàn)實(shí)對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，也可以認(rèn)為數(shù)學(xué)概念其實(shí)就是一種數(shù)學(xué)思維方式。大部分?jǐn)?shù)學(xué)概念是以屬概念加種差的方式定義的。屬概念就相當(dāng)于概念的外延，即對象的“質(zhì)”的特征，而種差則相當(dāng)于概念的內(nèi)涵，即對象的“量”的范圍。另外一少部分?jǐn)?shù)學(xué)概念屬于強(qiáng)制性定義，如整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)、π的值、e的值等。數(shù)學(xué)概念是具體性與抽象性的辯證統(tǒng)一，有些數(shù)學(xué)概念是對真實(shí)事物的直接抽象，具有直觀的特點(diǎn)，而有些數(shù)學(xué)概念則凌駕于已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之上，對已有概念進(jìn)行再抽象。

數(shù)學(xué)中有許多的概念是“思維的自由想象和創(chuàng)造的產(chǎn)物”，它們與真實(shí)世界的距離是非常遙遠(yuǎn)的。正由于數(shù)學(xué)概念高度抽象的特點(diǎn)，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程中，總是忽略對數(shù)學(xué)概念的記憶，認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)科最重要的是邏輯思維，對數(shù)學(xué)概念理解了就行，不需要記憶，卻不知道記憶是最基本的認(rèn)知能力的層次，有記憶才會有思維，有思維才會有想象。如果在數(shù)學(xué)概念掌握不到位的情況下去解題，就如同“無源之水，無本之木”。數(shù)學(xué)概念作為建構(gòu)數(shù)學(xué)大廈的基石，記憶大量的概念是很有必要的，而記憶切忌“死記硬背”，因?yàn)榧词拱迅拍畋诚聛砹?，也不可能對其有?shí)質(zhì)性的理解，在實(shí)際應(yīng)用過程中也只能生搬硬套，不能靈活運(yùn)用，所以對數(shù)學(xué)概念一定要在理解的基礎(chǔ)上記憶。

二、從心理學(xué)角度看數(shù)學(xué)概念的記憶

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一少部分強(qiáng)制性定義的數(shù)學(xué)概念是需要學(xué)生機(jī)械記憶的，但大部分的數(shù)學(xué)概念都是需要學(xué)生有意義識記的，也就是在理解的基礎(chǔ)上記憶。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為記憶是過去的經(jīng)驗(yàn)在人腦中的反映――是人腦對感知過的事物、思考過的問題、體驗(yàn)過的情緒和做過的動作的反映。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，對數(shù)學(xué)概念的記憶遵循編碼―存儲―提取的過程。這三個(gè)階段的任何一個(gè)階段出現(xiàn)問題都將影響記憶的效果。

記憶的第一階段――編碼，它是信息進(jìn)入記憶系統(tǒng)進(jìn)行存儲的過程。編碼過程中對信息的加工水平直接影響著記憶的程度，編碼是從表層到深層的連續(xù)統(tǒng)一體，加工水平越深，記憶越深刻，記憶效果越好。

以初中數(shù)學(xué)概念“數(shù)軸”為例，規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫作數(shù)軸。如果只對這個(gè)信息進(jìn)行表層加工，需要注意原點(diǎn)、正方向、單位長度和直線四個(gè)關(guān)鍵詞，對初中生而言，認(rèn)知負(fù)荷較大而且不易記住。如果對這個(gè)信息進(jìn)行中間加工，將數(shù)軸歸為已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的“直線”這一類概念之中，相對于表層加工階段而言，認(rèn)知負(fù)荷減少，記憶效果就會好一些。可如果對這個(gè)信息進(jìn)行深層加工，將四個(gè)關(guān)鍵詞以符號的形式直觀表現(xiàn)出來（畫一條直線，箭頭指向表示正方向，平分表示單位長度，位置為原點(diǎn)），認(rèn)知負(fù)荷最小且一目了然，數(shù)軸的概念也已了然于心。

記憶的第二階段――存儲，它是指如何保存信息以及在記憶中如何對信息進(jìn)行表征。文章以語義網(wǎng)絡(luò)理論對記憶的存儲進(jìn)行闡述，心理學(xué)家提出編碼后的信息可以被想象成一個(gè)代表不同分類或概念節(jié)點(diǎn)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，新編碼的信息進(jìn)入記憶系統(tǒng)后被安放在這個(gè)復(fù)雜語義網(wǎng)絡(luò)中的適當(dāng)位置，新信息會繼續(xù)同周圍網(wǎng)絡(luò)中的相關(guān)節(jié)點(diǎn)逐漸產(chǎn)生聯(lián)系，從而使得網(wǎng)絡(luò)語義系統(tǒng)越來越龐大。

以初中數(shù)學(xué)概念“正比例函數(shù)”為例，在學(xué)習(xí)正比例函數(shù)之前，學(xué)生的記憶系統(tǒng)中已形成了由函數(shù)、一次函數(shù)構(gòu)成的語義網(wǎng)絡(luò)，在學(xué)習(xí)正比例函數(shù)的過程中，只需將正比例函數(shù)的概念放在該語義網(wǎng)絡(luò)中恰當(dāng)?shù)奈恢眉纯?。正比例函?shù)的概念不但被安置在已有語義網(wǎng)絡(luò)恰當(dāng)?shù)奈恢?，還將會與日后學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)、二次函數(shù)等概念產(chǎn)生新的聯(lián)系。這個(gè)理論可以很好地解釋死記硬背的缺陷，因?yàn)樗烙浻脖诚聛淼臄?shù)學(xué)概念不能被很好地納入已有的語義網(wǎng)絡(luò)之中，通常只會是以表層加工而不是深層加工的方式形成短時(shí)記憶，不能得到有效的存儲。相反，經(jīng)過精細(xì)的信息加工，將新概念同已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的概念聯(lián)系起來，就很容易被記憶系統(tǒng)所認(rèn)可并得到存儲。

記憶的第三階段――提取，它是指在記憶系統(tǒng)中進(jìn)行搜索，并找出需要的信息。從記憶系統(tǒng)中提取數(shù)學(xué)概念則體現(xiàn)在解題過程中對數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用上，只有靈活地將數(shù)學(xué)概念運(yùn)用于解題過程中，對數(shù)學(xué)概念的記憶才有意義。而記憶的提取失敗主要原因是遺忘。著名的心理學(xué)家艾賓浩斯提出記憶的遺忘曲線理論，他認(rèn)為，大部分遺忘發(fā)生在學(xué)習(xí)之后不久的時(shí)間里。繼艾賓浩斯之后，許多人用無意義材料和有意義材料以及不同的學(xué)習(xí)形式，對遺忘現(xiàn)象進(jìn)行研究，都證實(shí)了艾賓浩斯遺忘曲線的普遍性。因此，對新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念要進(jìn)行及時(shí)回顧并應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題過程中。

三、數(shù)學(xué)概念的記憶策略

根據(jù)對數(shù)學(xué)概念記憶的心理^程的探討，筆者提出了以下幾點(diǎn)記憶策略。

1.理解概念，拒絕死記硬背

對新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念要盡可能地進(jìn)行“深層次加工”，充分理解概念的含義并試著用自己理解的數(shù)學(xué)符號來形象地表示數(shù)學(xué)概念，用自己的語言準(zhǔn)確地表述，將新概念內(nèi)化為自己的東西。

2.積極構(gòu)建概念的語義網(wǎng)絡(luò)

盡可能多地將新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念與記憶系統(tǒng)中已有的概念建立聯(lián)系，形成更飽滿的語義網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，既有助于新概念的記憶，又可以在運(yùn)用過程中很輕松地從記憶系統(tǒng)中提取出來。

3.對新概念進(jìn)行及時(shí)復(fù)習(xí)

根據(jù)艾賓浩斯的遺忘曲線可以知道，在學(xué)習(xí)后的短時(shí)間內(nèi)，學(xué)習(xí)者會遺忘掉大部分的學(xué)習(xí)內(nèi)容，所以及時(shí)對新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行有效復(fù)習(xí)，將有助于記憶。

數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，在沒有足夠的數(shù)學(xué)概念記憶儲備的狀態(tài)下進(jìn)行數(shù)學(xué)解題，就像是建高樓大廈沒有磚，劃船比賽沒有水一樣無能為力。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，對數(shù)學(xué)概念的記憶是至關(guān)重要的一步。本文從記憶的“編碼”“存儲”和“提取”三個(gè)心理學(xué)過程對數(shù)學(xué)概念的記憶進(jìn)行了闡述，并提出了幾點(diǎn)記憶策略，希望對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)提供一定的幫助。

參考文獻(xiàn)：

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關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念的教學(xué)；特征；想法

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）18-205-01

概念的課堂教學(xué)大致經(jīng)歷以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：概念的引入、概念的生成、概念的剖析及辨析、相關(guān)概念的聯(lián)系與區(qū)別、概念應(yīng)用舉例、概念的鞏固練習(xí)。

一、概念的引入

概念的引入是概念課教學(xué)的起始步驟，是形成概念的基礎(chǔ)。在概念課的引入上，要樹立起讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)的觀念，如果能讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，對學(xué)習(xí)新概念的必要性產(chǎn)生需求，并主動發(fā)現(xiàn)新概念是最佳途徑。對于情境的設(shè)計(jì)，要結(jié)合概念的特點(diǎn)恰當(dāng)?shù)剡x取，特點(diǎn)不同，引入形式也就會存在差異：我們提倡借助生動、豐富的實(shí)際問題引入概念，能夠與學(xué)生的生活密切結(jié)合，這樣往往比較具體、形象，學(xué)生容易理解，也比較容易從中提煉出概念的本質(zhì)屬性，下面介紹概念引入的三種想法：

1、聯(lián)系概念的現(xiàn)實(shí)原理引入新概念

2、從具體到抽象引入新概念

例：對于“用字母表示數(shù)”的教學(xué)，教師展示熟悉的生活實(shí)例，確立了一個(gè)學(xué)生熟悉的認(rèn)知對象，由學(xué)生熟悉的鋪地用的各種形狀、各種顏色的地磚鋪地時(shí)的圖案入手。讓學(xué)生初步體會到表示任意性、一般性的問題時(shí)需要一個(gè)新的表示數(shù)的方法，體會到這類問題不用字母表示不行了，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)“字母表示數(shù)”的必要性的學(xué)習(xí)情節(jié)，使學(xué)生認(rèn)識到“字母表示數(shù)”的重要性，從而激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步探索有關(guān)內(nèi)容的欲望，學(xué)生自己認(rèn)為重要的、有用的東西，他們才能百分之百的經(jīng)歷、主動、積極地投入到所要做的事情中來，這樣的學(xué)習(xí)才是最有效果的。

3、用類比的方法引入概念

類比不僅是一種重要形式，而且是引入新概念的重要方法。

二、概念的剖辨

概念生成之后，應(yīng)用概念解決問題之前，往往要進(jìn)行概念剖析，即用實(shí)例（包括正例與反例）引導(dǎo)學(xué)生分析關(guān)鍵詞的含義，包括對概念特性的考察，可以達(dá)到明確概念、再次認(rèn)識概念本質(zhì)的目的，還可以從中體會概念中所呈現(xiàn)的轉(zhuǎn)化問題的方法，這是最基本、最重要的方法。在概念剖析練習(xí)中，進(jìn)一步體會概念的內(nèi)涵與外延，認(rèn)識函數(shù)的本質(zhì)。此外，在剖析概念時(shí)通常要對概念的多種表示語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)語言主要是文字?jǐn)⑹?、符號表示、圖形表示，要會三者的翻譯，同時(shí)更重要的是強(qiáng)調(diào)符號感。

三、相關(guān)概念異同

數(shù)學(xué)概念不是孤立存在的，概念間都有著千絲萬縷的聯(lián)系，概念教學(xué)還應(yīng)該承擔(dān)著建立與相關(guān)概念的聯(lián)系的任務(wù)，教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生試著對概念進(jìn)行適度的聯(lián)系與發(fā)散，努力找出概念間一些體現(xiàn)共性的東西，以使學(xué)生形成功能良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

四、概念的例習(xí)

概念的形成是一個(gè)由個(gè)別到一般的過程，而概念的運(yùn)用是一個(gè)由一般到個(gè)別的過程，它們是學(xué)生掌握概念的兩個(gè)階段。通過運(yùn)用概念解決實(shí)際問題，可以加深、豐富和鞏固學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的掌握，并且在概念的運(yùn)用過程中培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要注意概念的形成過程，也要注意概念的應(yīng)用。根據(jù)不同概念的特點(diǎn)，采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段，激勵(lì)學(xué)生實(shí)現(xiàn)對概念的理解，才能使學(xué)生學(xué)得好、學(xué)得牢。這一階段，主要是選用有代表性的簡單例子，使學(xué)生形成用概念做判斷的具體步驟。

當(dāng)學(xué)生在解決問題的過程中遇到困難時(shí)，讓學(xué)生養(yǎng)成“不斷回到概念中去，從基本概念出發(fā)思考問題、解決問題”的習(xí)慣，另外，加強(qiáng)概念聯(lián)系性的教學(xué)，從概念的練習(xí)中尋找解決問題的新思路。

五、概念的背景

數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)概念的背景、歷史與文化是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的組成部分，是向?qū)W生滲透德育教育的好載體。許多數(shù)學(xué)概念都是有其歷史背景，都蘊(yùn)含著悠久的歷史與文化，教學(xué)中我們要讓學(xué)生充分受到優(yōu)秀文化的熏陶，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)和素質(zhì)。

六、數(shù)學(xué)概念的注意

篇8

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；概念教學(xué)；階段；數(shù)學(xué)思維；層次分析

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）09-0153

概念是客觀事物本質(zhì)屬性、特征在人們頭腦中的反映。數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)概念的教學(xué)，正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的前提，是學(xué)好定理、公式、法則和數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)，搞清概念是提高解題能力的關(guān)鍵。在新一輪課改理念的引領(lǐng)下，結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐，就數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有關(guān)問題與大家共同探討。

一、新舊理念下數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式的層次分析

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)大多采用“屬+種差”的概念同化方式進(jìn)行。通常分為以下幾個(gè)步驟：1. 揭示概念的本質(zhì)屬性，給出定義、名稱和符號；2. 對概念的進(jìn)行特殊分類，揭示概念的外延；3. 鞏固概念，利用概念解決的定義進(jìn)行簡單的識別活動；4. 概念的應(yīng)用與聯(lián)系，用概念解決問題，并建立所學(xué)概念與其他概念間的聯(lián)系。

這種教學(xué)過程簡明，使學(xué)生可以比較直接地學(xué)習(xí)概念，節(jié)省時(shí)間，被稱為是“學(xué)生獲得概念的最基本方式”。但是，僅從形式上做邏輯分析讓學(xué)生理解概念是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。數(shù)學(xué)概念具有過程――對象的雙重性，既是邏輯分析的對象，又是具有現(xiàn)實(shí)背景和豐富寓意的數(shù)學(xué)過程。因此，必須返璞歸真，揭示數(shù)學(xué)概念的形成過程，讓學(xué)生從概念的現(xiàn)實(shí)原型、概念的抽象過程、數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)作用、形式表述和符號化的運(yùn)用等多方位理解一個(gè)數(shù)學(xué)概念，使之符合學(xué)生主動建構(gòu)的教育原理。

美國教育心理學(xué)家布魯納曾指出：“獲得的知識如果沒有完滿的結(jié)構(gòu)將它聯(lián)系在一起，那是一個(gè)多半會被遺忘的知識。一串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促的可憐的壽命?！本蛿?shù)學(xué)概念教學(xué)而言，素質(zhì)教育提倡的是為理解而教。新課改理念下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)要經(jīng)過四個(gè)階段：1. 活動階段。2. 探究階段。3. 對象階段。4. 圖式階段。

以上四個(gè)階段反映了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過程中真實(shí)的思維活動。其中的“活動“階段是學(xué)生理解概念的一個(gè)必要條件，通過”活動“讓學(xué)生親身體驗(yàn)、感受直觀背景和概念間的關(guān)系：”探究“階段是學(xué)生對”活動“進(jìn)行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、概括過程，學(xué)生在頭腦對活動進(jìn)行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì)：”對象“階段是通過前面的抽象認(rèn)識到了概念本質(zhì)，對其進(jìn)行”壓縮“并賦予形式化的定義及符號，使其達(dá)到精致化，成為一個(gè)思維中的具體的對象，在以后的學(xué)習(xí)中以此為對象進(jìn)行新的活動：”圖式“的形成是要經(jīng)過長期的學(xué)習(xí)活動進(jìn)一步完善，起初的圖式包含反映概念的特例、抽象過程、定義及符號，經(jīng)過學(xué)習(xí)，建立起與其它概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心理圖式。

二、新課改理念下的概念與法則的教學(xué)案例

1. 代數(shù)式概念

代數(shù)式（字母表示數(shù)）概念一直是學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)過程中的難點(diǎn)，有很多學(xué)生學(xué)過后只能記住代數(shù)式的形式特征，不能理解字母表示數(shù)的意義。代數(shù)式的本質(zhì)在于將求知數(shù)和數(shù)字可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算。認(rèn)識這一點(diǎn)，需要有以下四個(gè)層次：

（1）通過操作活動，理解具體的代數(shù)式

問題一：讓學(xué)生用火柴棒按下面的方式搭正方形，并請?zhí)顚懞孟卤恚?/p>

問題二：有一些矩形，長是寬的3倍，請?zhí)顚懴卤恚?/p>

通過以上兩個(gè)問題，讓學(xué)生初步體會“同類意義”的數(shù)表示的各種關(guān)系。

（2）探究階段，體驗(yàn)代數(shù)式中過程

針對活動階段的情況，可提出一些問題讓學(xué)生討論探究：

①問題一中3n+1，與具體的數(shù)有什么樣的關(guān)系？

②把各具體字母表示的式子作為一個(gè)整體，具有什么樣的特征和意義？（需經(jīng)反復(fù)體驗(yàn)、反思、抽象代數(shù)式特征：一種運(yùn)算關(guān)系；字母表示一類數(shù)等）。

這一階段還包括列代數(shù)式和對代數(shù)式求值，可設(shè)計(jì)下題讓學(xué)生進(jìn)一步體會代數(shù)式的特征：每包書有12冊，n包書有 冊；溫度由t℃下降2℃后是 ℃；一個(gè)正方形的邊長是x，那么它的面積是 ；如果買x平方米的地毯（每平方米a元），又付y立方米自來水費(fèi)（每立方米b元），共花去 元錢？

（3）對象階段，對代數(shù)式的形式化表述

這一階段包括建立代數(shù)式形式定義、對代數(shù)式的化簡、合并同類項(xiàng)、因式分解及解方程等運(yùn)算。學(xué)生在進(jìn)行運(yùn)算中就意識到運(yùn)算的對象是形式化的代數(shù)式而不是數(shù)，代數(shù)式本身體現(xiàn)了一種運(yùn)算結(jié)構(gòu)關(guān)系，而不只是運(yùn)算過程。這一階段，學(xué)生必須理解字母的意義，識別代數(shù)式。

（4）圖式階段，建立綜合的心理圖式

通過以上三個(gè)階段的教學(xué)，學(xué)生在頭腦中應(yīng)該建立起如下的代數(shù)式的心理表征：具體的實(shí)例、運(yùn)算過程、字母表示一類數(shù)的數(shù)學(xué)思想、代數(shù)式的定義，并能加以運(yùn)用有理數(shù)加法法則：

①運(yùn)算操作：計(jì)算一個(gè)足球隊(duì)在一場足球比賽時(shí)的勝負(fù)可能結(jié)果的各種不同情形：

（+3）+（+2）――+5 （-2）+（-1）――-3

（+3）+（-2）――+1 （-3）+（+2）――-1

（+3）+0――+3 ……

（其中每個(gè)和式中的兩個(gè)有理數(shù)是上、下半場中的得分?jǐn)?shù)）。

②探究規(guī)律：把以上算式作為整體綜合進(jìn)行特征分析：同號相加、異號相加、一個(gè)數(shù)與零相加等的過程和結(jié)果對照總結(jié)規(guī)律，理解運(yùn)算意義。

③形成對象：把各種規(guī)律綜合在一起成為一完整的有理數(shù)加法法則，并產(chǎn)生有理數(shù)和的模式：有理數(shù)+有理數(shù)=①符號②數(shù)值這一階段還包括按照有理數(shù)和的模式及具體的運(yùn)算律進(jìn)行任意的有理數(shù)和的運(yùn)算和代數(shù)式求值的運(yùn)算等。

④形成圖式：有理數(shù)加法法則以一種綜合的心理圖式建立在學(xué)生的頭腦中，其中有具體的足球比賽的實(shí)例、有抽象的操作過程、有完整的運(yùn)算律和形成的模式。而且通過以后的學(xué)習(xí)獲得和其他概念、規(guī)則的區(qū)別與聯(lián)系。

三、兩種教學(xué)模式下學(xué)生學(xué)習(xí)方式的對比分析

與新課改理念相比，傳統(tǒng)的教學(xué)模式下學(xué)生的學(xué)習(xí)缺少“活動”階段，對概念的形成過程沒有充分體驗(yàn)，學(xué)生數(shù)學(xué)概念的建立靠教師代替快體驗(yàn)、快抽象。反映出的情況有：

1. 過快的抽象過程使得只能有一少部分學(xué)生進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)，難以引發(fā)全體學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，大部分學(xué)生理解不了數(shù)學(xué)概念，只能靠死記硬背。例如學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)運(yùn)算很長時(shí)間，還經(jīng)常出現(xiàn)符號運(yùn)算錯(cuò)誤，這就是學(xué)生對有理數(shù)運(yùn)算沒有理解而造成的。

2. 由教師代替學(xué)生快體驗(yàn)、快抽象出數(shù)學(xué)概念，即使是能跟隨教師進(jìn)行有意義學(xué)習(xí)的學(xué)生其學(xué)習(xí)活動也是不連貫的，建構(gòu)的概念缺乏完整性。例如學(xué)生學(xué)習(xí)了代數(shù)式的概念，經(jīng)常出現(xiàn)a+a+a×2=3a×2，25x-4=21x，5yz-5z=y等錯(cuò)誤，這是因?yàn)閷W(xué)生沒有進(jìn)行必要的“活動”，使“探究”的體驗(yàn)不完整需用造成的。又如在求解方程中出現(xiàn)（x+2）2=1=x2+4x+4=1=……等錯(cuò)誤，說明學(xué)生還停留于運(yùn)算過程層面，對方程對象的結(jié)構(gòu)特征不理解。

3. 學(xué)生建構(gòu)概念的圖式層面是學(xué)習(xí)的最高階段，在現(xiàn)有教學(xué)環(huán)境下很多學(xué)生難以達(dá)到這一層面。例如，為什么要學(xué)習(xí)解方程？解方程的本質(zhì)是什么？

四、新課改理念下數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略

新課改理念下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)是由學(xué)生活動、探究到對象、圖式的學(xué)習(xí)過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識形成的規(guī)律性。為此，筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐對數(shù)學(xué)概念教學(xué)采取以下策略：

1. 教師要把“教”建立在學(xué)生“學(xué)”的活動中

為了使學(xué)生建構(gòu)完整的數(shù)學(xué)知識，首先要設(shè)計(jì)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動。這需要教師創(chuàng)設(shè)問題情境，設(shè)計(jì)時(shí)要注意以下幾個(gè)方面：（1）能揭示數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實(shí)背景和形成過程；（2）適合學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，使學(xué)習(xí)活動能順利展開；（3）適當(dāng)數(shù)量的問題，使學(xué)生有充足活動體驗(yàn)；（4）注意趣味性，活動形式可以多種多樣，引起全體學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2. 體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識形成中的數(shù)學(xué)思維方法

數(shù)學(xué)思維方法是知識產(chǎn)生的靈魂，把握數(shù)學(xué)知識形成中的數(shù)學(xué)思維方法，是學(xué)生展開思維、建構(gòu)概念的主線。學(xué)生學(xué)習(xí)中要給予提示、建議并在總結(jié)中歸納。另外，要設(shè)計(jì)能引起學(xué)生反思的提問，如“你的結(jié)果是什么？”“你是怎樣得出的？”“你為什么怎樣做？”……使學(xué)生能順利完成由“活動”到“探究”，“探究”到“對象”的過渡。

3. 數(shù)學(xué)對象的建立需經(jīng)多次反復(fù)

一個(gè)數(shù)學(xué)概念由“探究”到“對象”的建立，有時(shí)既困難又漫長（如函數(shù)概念）?！疤骄俊钡健皩ο蟆钡膲嚎s、抽象需要經(jīng)過多次反復(fù)，循序漸進(jìn)，螺旋上升，直至學(xué)生真正理解?！皩ο蟆钡慕⒁⒁夂喚毜奈淖中问胶头柋硎荆箤W(xué)生在頭腦中建立起數(shù)學(xué)知識的直觀結(jié)構(gòu)形象。加強(qiáng)知識間的聯(lián)系和應(yīng)用，幫助學(xué)生在頭腦中建立起完整的數(shù)學(xué)知識的心理圖式。

篇9

【關(guān)鍵詞】信息；負(fù)熵；自組織系統(tǒng)

談到信息，我們就想到了信息論。信息論事關(guān)于信息的本質(zhì)和傳輸規(guī)律的科學(xué)的理論，是研究信息的計(jì)量、發(fā)送、傳遞、交換、接收和儲存的一門新興學(xué)科。信息論事由美國貝爾電話研究所的香濃創(chuàng)立的。信息論中提到的信息從廣義上講是指不同物質(zhì)在運(yùn)動過程中發(fā)出的各種信號；從狹義上講是各種物質(zhì)在運(yùn)動中所反映出來的數(shù)據(jù)、指令、消息、情報(bào)圖像、信號等。

信息的本質(zhì)問題，不僅是一個(gè)科學(xué)問題，而且是一個(gè)哲學(xué)問題。人類進(jìn)入了“信息時(shí)代”，我們的社會日益轉(zhuǎn)型為一個(gè)“信息社會”。我們的生活中無時(shí)無刻不充實(shí)著信息，簡單的說每天的天氣預(yù)報(bào)就是給予我們有關(guān)天氣狀況的信息。不過，雖然人們天天都在接觸、利用信息，信息資源也變成了當(dāng)今社會建設(shè)中最寶貴的資源，人們還是對何謂信息不甚了了，感到其難以捉摸。這說明我們還缺乏一個(gè)明確、恰切的信息概念的定義。本文結(jié)合分析信息概念的本質(zhì)從哲學(xué)的層面上提出一個(gè)信息的定義。

我們知道最初的信息概念是由信息論的創(chuàng)立者香農(nóng)提出的，他把信息定義為用來消除不確定性的東西，具體地說就是在信宿中用來消除對于在信源中發(fā)出的消息的不確定性的東西。這里提到的信源就是信息的來源，信宿是信息的接收者。比如，前段提到的天氣，當(dāng)我們接收到天氣預(yù)報(bào)中的天氣情況的時(shí)候我們從不確定一天的天氣怎么樣變?yōu)榇_定。這第一個(gè)信息概念的內(nèi)容反映出它發(fā)生于通訊過程中的背景，運(yùn)用這個(gè)概念來理解廣泛存在于我們當(dāng)今社會中的信息現(xiàn)象肯定是不夠的。

在探討信息概念時(shí)，我們需要對人們在生活和科學(xué)研究中使用“信息”一詞所指稱的廣泛的現(xiàn)象進(jìn)行概括，這樣最終我們會發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)基本對象，其中一個(gè)屬于客觀世界本身所具有的性質(zhì)，另一個(gè)則產(chǎn)生于生活主體和客觀世界相互作用的關(guān)系之中?？刂普摰膭?chuàng)始人維納就從這兩個(gè)意義上闡述過信息。一方面他說：“信息就是組織程度的度量”，是“負(fù)熵”，負(fù)熵即熵減少，是熵函數(shù)的負(fù)向變化量。這里理解為熵是系統(tǒng)混亂程度的度量而信息就是減少這種不確定性或者說這種混亂的東西，另一方面又說：“信息是我們適應(yīng)外部世界，并且使這種適應(yīng)為外部世界所感到的過程中，同外部世界進(jìn)行交換的內(nèi)容的名稱?！焙笠环N信息是不能脫離接受者的解釋結(jié)構(gòu)而存在的，維納舉例講道：音樂對于懂音樂的人來說會產(chǎn)生這種“在語義學(xué)上有意義的信息”，對于不懂音樂的人來說則不會。

信息可作如下定義：信息是客觀世界中物質(zhì)和能量存在和變動的有序形式，和自組織系統(tǒng)對這個(gè)形式的能動的反映及改組。其中前一個(gè)表語表述了信息概念的第一層次內(nèi)涵，或者說廣義內(nèi)涵，后一個(gè)表語表述了信息概念的第二層次內(nèi)涵，或者說狹義內(nèi)涵。

先說信息概念的第一層次內(nèi)涵。維納曾經(jīng)說：“信息就是信息，不是物質(zhì)也不是能量”。那么信息究竟是什么呢？它是物質(zhì)和能量運(yùn)動的有序形式。

我們知道，客觀世界中的物質(zhì)和能量是保持著一定的數(shù)量、根據(jù)能量守恒定律我們知道這些東西即不能創(chuàng)造也不能消滅的，如果我們把物質(zhì)和能量看作為實(shí)體性的東西，而把信息看作為它們表現(xiàn)出來的屬性。物質(zhì)和能量具體存在的形式可以變化。物質(zhì)和能量通過不同的組合和內(nèi)部的運(yùn)動方式及其數(shù)量的不同可能會出現(xiàn)不同的表現(xiàn)形式，信息概念的第一層次內(nèi)涵就是物質(zhì)和能量存在和運(yùn)動所表現(xiàn)出的這些具體形式。簡單的從事物上來說桌子和凳子都是木質(zhì)，但是他們表現(xiàn)出來的一個(gè)是桌子，而另一個(gè)是凳子。在這里我們要對“形式”的含義作廣泛的理解，它是實(shí)體的一切可分辨的屬性的總稱，包括事物的結(jié)構(gòu)形式、運(yùn)動狀態(tài)以及相互作用的方式等一切確定性。之后我們再說信息的度量問題。一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)的物質(zhì)、能量分布的程度愈復(fù)雜，其所含信息量愈是多，亦即其組織性、有序性愈是高，這說明它的物質(zhì)、能量運(yùn)動的形式愈是復(fù)雜、有機(jī)。一個(gè)系統(tǒng)所包含的信息量，相當(dāng)于使該系統(tǒng)的物質(zhì)和能量從某種初始的完全均勻的無序狀態(tài)過渡到有組織的有序狀態(tài)而應(yīng)當(dāng)輸入系統(tǒng)中的信息量。

上述所說信息是物質(zhì)和能量存在和運(yùn)動所表現(xiàn)出的這些具體形式。所以我們得到的信息只是我們所接觸的事物的物質(zhì)和能量表現(xiàn)出來的形式，信息量則是它們的復(fù)雜有序程度的表現(xiàn)，所以我們說物質(zhì)和能量是不能創(chuàng)造和消失的，而信息卻可以用信息量來描述它的多少程度。

再說信息概念的第二層次內(nèi)涵：信息是自組織系統(tǒng)對客觀世界中物質(zhì)和能量運(yùn)動的有序形式所作的能動的反映及改組。這里需要說明一下什么是“自組織系統(tǒng)”。簡單地說，自組織系統(tǒng)是能夠抵抗環(huán)境中的熵增趨勢，自動地從無序向有序發(fā)展的系統(tǒng)。其中無序的是不包含信息的，而有序的則包含信息。

信息是生活主體和客觀環(huán)境相互交換的內(nèi)容，是控制系統(tǒng)用來控制受控對象的東西。比如，前文中提到的天氣預(yù)報(bào)就是我們說接收到的與氣溫狀況有關(guān)的而對我們的生活有用的消息，但是當(dāng)我們已經(jīng)知道了這些信息之后，我們再看到同樣的天氣預(yù)報(bào)，他就已經(jīng)是一個(gè)不含有信息的消息了，再者我們?nèi)タ刂埔恍C(jī)械設(shè)備的時(shí)候要像這些設(shè)備發(fā)出一定的指令，這也是信息。

篇10

空集解集不等于不屬于不包含于描述法集合論在數(shù)學(xué)中占有一個(gè)獨(dú)特的地位，它的基本概念已滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。最后一個(gè)在數(shù)學(xué)所有分支領(lǐng)域都造詣深厚、整個(gè)地改變了數(shù)學(xué)科學(xué)的狀況，在一切方向上打開了新的道路、對20世紀(jì)和當(dāng)今的數(shù)學(xué)造成極其深遠(yuǎn)的影響的世界著名數(shù)學(xué)家、天體力學(xué)家、數(shù)學(xué)物理學(xué)家、科學(xué)哲學(xué)家龐加萊曾說過：“借助集合論概念，我們可以建造整個(gè)數(shù)學(xué)大廈”。而集合論的研究對象就是集合，由此可以看出掌握好集合非常重要。筆者們反復(fù)討論后，結(jié)合多年學(xué)習(xí)和教學(xué)實(shí)踐，對集合中一些概念提出了全新的、有趣的理解，供同仁參考。

一、空集、解集的新理解以及應(yīng)用

教材中第7頁介紹了空集的概念，即不含任何元素的集合叫做空集。筆者們結(jié)合多年教學(xué)實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生總誤認(rèn)為空集不是集合。筆者們也看到一些資料對實(shí)數(shù)0、空集 和 ｛0｝有一些強(qiáng)調(diào)。比如，文獻(xiàn)第12頁強(qiáng)調(diào)：實(shí)數(shù)0和空集是兩個(gè)不同的概念，不能把0和 混為一談；再比如，文獻(xiàn)第9頁強(qiáng)調(diào)：不要把數(shù)0或集合 ｛0｝與 混淆，等等。筆者們結(jié)合多年教學(xué)實(shí)踐，經(jīng)過反復(fù)討論，認(rèn)為這些強(qiáng)調(diào)能起到一定的作用，但是我們發(fā)現(xiàn)仍有一大批學(xué)生（尤其是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生）極容易混淆0和，或者時(shí)間長了，就算他們記住了0和 不一樣，也說不出為什么不一樣。還有一部分學(xué)生，分不清 ｛0｝和 是不是一樣。

針對上述問題，我們提出一種全新的解決方案：換一個(gè)角度去理解空集這個(gè)概念。從語文的角度看，“空集”，這兩個(gè)漢字中有一個(gè)“集”字，“集”是集合的簡稱，所以空集也是集合。用這種方法，可以輕易讓學(xué)生理解并記住空集也是集合，而不用死記硬背。與此同時(shí)，既然空集是一個(gè)集合，而0只是一個(gè)數(shù)字，所以，很自然地，0和 不一樣。

按照這種思路，還可以讓學(xué)生很容易地發(fā)現(xiàn)并理解集合 ｛0｝和空集 不一樣?！翱占边@兩個(gè)字里除了“集”字之外，還有一個(gè)“空”字?！凹笔羌系暮喎Q，再結(jié)合“空”字，所以空集不但是一個(gè)集合，而且這個(gè)集合里面是空空的，連0這個(gè)元素都沒有，集合 ｛0｝里面不是空空的，還有一個(gè)元素0，所以很容易得出空集 和 ｛0｝不一樣。

我們發(fā)現(xiàn)上面理解空集的思維模式，還可以幫助學(xué)生理清一些題目的解題思路甚至幫助學(xué)生提高做題答案的準(zhǔn)確性。下面舉一例進(jìn)行說明。

例題：用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎静坏仁?2x+6

解析：此題是求解集的。按照上述理解空集的思路，我們很容易觀察出“解集”也是由“解”和“集”兩個(gè)漢字組成。從“解”這個(gè)漢字的角度，我們首先要把不等式 2x+6

二、觸類旁通，輕松理解并記住符號“ ≠”“ ”以及“”

從小學(xué)到初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，大家都知道“等于”的符號是“=”，“不等于”的符號是“ ≠”。我仔細(xì)觀察一下，會發(fā)現(xiàn)一件事：“不等于”比“等于”多一個(gè)漢字，而“不等于”的符號“ ≠”正好比“等于”的符號“=”多一撇“”?！安粚儆凇北取皩儆凇币捕嘁粋€(gè)漢字，按照理解“不等于”的符號“ ≠”比“等于”的符號“=”多一撇“”的方法，我們很自然猜想“不屬于”的符號是不是比“屬于”的符號也多一撇“”呢？事實(shí)上，不屬于的符號“ ”確實(shí)比屬于的符號“ ∈”多一撇“”！按照這種思考問題的方法，我們還可以輕松理解為什么不包含于“ ”的符號比包含于“ ”的符號也多一撇“”。因?yàn)椤安话凇币脖取鞍凇倍嘁粋€(gè)漢字！筆者們經(jīng)過反復(fù)討論，結(jié)合多年學(xué)習(xí)和教學(xué)實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)這種理解概念的方法，對學(xué)生記憶非常有幫助。雖然數(shù)學(xué)中有些符號是人為規(guī)定的，沒有理由，只能記憶?？墒枪P者覺得，作為老師，如果可以適當(dāng)?shù)貛椭鷮W(xué)生減輕記憶負(fù)擔(dān)，讓他們騰出更多的時(shí)間去學(xué)習(xí)更多的、更新的知識我們就應(yīng)該去做，因?yàn)檫@也正好符合我們最近幾年來一直倡導(dǎo)的為學(xué)生“減負(fù)”的目標(biāo)。

三、對集合“描述法”的有趣記憶方法

集合的常用表示方法有兩種：列舉法和描述法。經(jīng)過觀察，易發(fā)現(xiàn)描述法和列舉法形式上最大的區(qū)別是列舉法的表達(dá)式{ }中沒有一條豎線“ |”，而描述法的表達(dá)式{|}中有一條豎線“ |”。我們下面引進(jìn)一種新思路，來讓學(xué)生很輕松地記住描述法的表達(dá)式的形式并且輕松地區(qū)分列舉法和描述法的表達(dá)形式?！懊枋龇ā?，這三個(gè)漢字中，有一個(gè)“述”字，“述”和“豎”同音，它們的漢語拼音都為“ ”，而漢字“豎”是豎線的簡稱，所以描述法里面有一條豎線，這正好和描述法的形式{|}相吻合，因?yàn)閧|}有一條豎線“ |”。而“列舉法”這三個(gè)漢字中沒有漢語拼音為“ ”的字，所以，列舉法的表達(dá)式中沒有豎線“ |”，這也正好和列舉法的表達(dá)式{ }相吻合。

一生培養(yǎng)了一大批世界級數(shù)學(xué)家、科學(xué)家的當(dāng)今國際著名數(shù)學(xué)大師、著名教育家、美國國家科學(xué)院院士、法國科學(xué)院外籍院士、首批中國科學(xué)院外籍院士、南開數(shù)學(xué)研究所名譽(yù)所長陳省身教授曾指出：“數(shù)學(xué)是思考的產(chǎn)物。首先要能夠思考起來，用自己的見解和別人的見解交換，會有很好的效果?！惫P者們通過這篇文章對高中數(shù)學(xué)里集合中的一些概念提出了全新的、有趣的理解，旨在與同仁們一起探討，共同進(jìn)步，更好地教好學(xué)生。

參考文獻(xiàn)：

\[1\]劉紹學(xué).高中數(shù)學(xué)必修1\[M\].北京：人民教育出版社，2007，1.

\[2\]王后雄.教材完全解讀高中數(shù)學(xué)必修1\[M\].北京：中國青年出版社，2013，5.