導(dǎo)語(yǔ)：古怪的定義教案一文來(lái)源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢(xún)客服老師，歡迎參考。

“自然數(shù)和正偶數(shù)，哪一種數(shù)更多？”（正偶數(shù)是指能被2整除，大于零的自然數(shù)。本文中規(guī)定0不是自然數(shù)。）“自然數(shù)和正偶數(shù)一樣多，因?yàn)閷和2n對(duì)應(yīng)就可以得到自然數(shù)到正偶數(shù)的一個(gè)一一對(duì)應(yīng)。既然每一個(gè)不同的自然數(shù)都對(duì)應(yīng)而且只對(duì)應(yīng)一個(gè)不同的正偶數(shù)，所以自然數(shù)和正偶數(shù)一樣多?！痹S多朋友會(huì)這樣說(shuō)，這當(dāng)然是對(duì)的；但是也有許多朋友會(huì)覺(jué)得奇怪，并非所有的自然數(shù)都是正偶數(shù)，而所有的正偶數(shù)卻都是自然數(shù)，它們?cè)趺磿?huì)一樣多呢？特別是，自然數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)該是正偶數(shù)的兩倍才對(duì)！

關(guān)于用一一對(duì)應(yīng)的方法來(lái)判斷兩個(gè)集合之間的大小關(guān)系，已經(jīng)有許多文章談過(guò)了，我只在這里再簡(jiǎn)單地重復(fù)一遍：

給定兩個(gè)集合A和B，

1)如果存在A到B的一個(gè)單射f:A→B（也就是說(shuō)A和B的一個(gè)子集有一一對(duì)應(yīng)），那么我們稱(chēng)A的“基數(shù)”（或“勢(shì)”）不大于B的“基數(shù)”，簡(jiǎn)稱(chēng)A不大于B，或A中元素個(gè)數(shù)不多于B中元素；

2)如果存在A到B的一個(gè)一一對(duì)應(yīng)f:A→B，那么我們稱(chēng)A和B的“基數(shù)”相同，簡(jiǎn)稱(chēng)A和B一樣大，或A中元素個(gè)數(shù)和B中元素個(gè)數(shù)相同；

3)（施羅德-伯恩斯坦定理）如果A不大于B，且B不大于A，那么A和B一樣大。

由這個(gè)定義可以得出一些推論：

1)任何一個(gè)無(wú)限集都至少和自然數(shù)集合一樣大；

2)兩個(gè)集合的并集同這兩個(gè)集合中比較大的那個(gè)一樣大，特別地，兩個(gè)同樣大小的集合的并集和它們本身一樣大；

3)兩個(gè)集合的積集同這兩個(gè)集合中比較大的那個(gè)一樣大。

但是這種判斷集合大小的方法得出的結(jié)論，比如說(shuō)上面所說(shuō)的“自然數(shù)和正偶數(shù)一樣多”，甚至于“自然數(shù)和有理數(shù)一樣多”，或者“一條直線上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)和一個(gè)平面上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)一樣多”，總會(huì)讓不熟悉集合論的人感到很別扭，一個(gè)集合的一部分怎么會(huì)和自己一樣大？歐幾里得的第五公理說(shuō)：“整體大于部分?！痹凇稁缀卧尽分?，公理的地位要高于公設(shè)，前者是“放之四海而皆準(zhǔn)”的，而后者卻只是幾何（也就是當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)）中的“不證自明”的命題。歐幾里得也搞錯(cuò)了？數(shù)學(xué)家們?yōu)槭裁床话凑辗洗蠹抑庇X(jué)的方法來(lái)規(guī)定集合的大??？他們似乎喜歡故意發(fā)明出一些和常識(shí)相悖的稀奇古怪的概念和方法，讓人上當(dāng)后自己卻在暗地里竊竊偷笑別人的不高明。

這可就冤枉了數(shù)學(xué)家們，如果有既符合常識(shí)和直覺(jué)，又嚴(yán)格且有用的關(guān)于集合大小的定義，數(shù)學(xué)家一定是非常樂(lè)意接受的。但是如果這種“常識(shí)”只是象愛(ài)因斯坦所言的，是“十八歲以前所積累的偏見(jiàn)”，那么就不適合于作為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義了。我想首先討論一下數(shù)學(xué)家被迫采用一一對(duì)應(yīng)的方式來(lái)比較集合大小的原因。