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動力學(xué)問題在國民經(jīng)濟和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展中有著廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域。最經(jīng)常遇到的是結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題，它有兩類研究對象。一類是在運動狀態(tài)下工作的結(jié)構(gòu)，另一類是承受動力荷載作用的工程結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)受載荷處于平衡狀態(tài)時，是靜止不動的；結(jié)構(gòu)有變形，而位移是不隨時間而改變的，載荷和內(nèi)部應(yīng)力也不隨時間而變化，這是靜力問題。結(jié)構(gòu)受載荷沒達到平衡狀態(tài)，或由于結(jié)構(gòu)的彈性和慣性而圍繞平衡位置振動時，其位移、應(yīng)力等都是時間的函數(shù)，各點有位移還有速度和加速度，這是一種動力問題。有限元方法可以用來分析連續(xù)結(jié)構(gòu)的動力問題[70]。

2.4.1結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程[71]

對于動態(tài)結(jié)構(gòu)而言，所受的外力（包括體力、面力、集中力、慣性力和阻尼力）和產(chǎn)生的位移都是時間的函數(shù)。應(yīng)用達倫貝爾原理，把結(jié)構(gòu)的慣性力加入平衡方程中，就可以將彈性的結(jié)構(gòu)的動力問題轉(zhuǎn)化為靜力平衡問題來處理。

用有限元法求解彈性結(jié)構(gòu)的動力問題，也是把結(jié)構(gòu)離散成有限個單元的集合體，并取出任意單元，此時單元上任意點的位移都是時間的函數(shù)，以表示單元上的節(jié)點位移向量，再利用單元的位移插值公式，寫出單元的上任意點的位移函數(shù)：

(2-11)

其中，為形函數(shù)，是位移的插值函數(shù)，與時間無關(guān)。

則速度和加速度函數(shù)為：

(2-12)

(2-13)

其中，、為單元節(jié)點的速度和加速度列陣。

將單元內(nèi)慣性力與阻力作為體積分布載荷分配到單元各節(jié)點上，分別記為、，有

將式（2-11）、（2-13）代入上式，有

令(2-14)

稱為單元質(zhì)量矩陣；

令(2-15)

稱為單元阻尼矩陣。

按達倫貝爾原理，將慣性力、阻力作為載荷，單元疊加得到彈性結(jié)構(gòu)的動力平衡方程：

(2-16)

令、

則方程（2-16）改寫為：

(2-17)

彈性結(jié)構(gòu)的振動本身是連續(xù)體的振動，位移是連續(xù)的，具有無限多個自由度。經(jīng)有限元離散化后，單元內(nèi)的位移按假定的位移形式來變動，可用節(jié)點位移插值表示。這樣，連續(xù)系統(tǒng)的運動就離散化為有限個自由度系統(tǒng)的運動。盡管如此，結(jié)構(gòu)動力有限元計算量比靜力的大得多。為保證計算的方便、快捷并滿足一定計算精度的要求，可以采用合理的計算方法和計算程序；宜可從力學(xué)角度簡化動力方程，如通過集中質(zhì)量矩陣、靜力縮聚、主副自由度、模態(tài)綜合等方法已達到降階和簡化方程的目的。

2.4.2動力方程的求解方法[58,59,60,61]

一般的連續(xù)結(jié)構(gòu)都可以用有限元方法化為有限自由度系統(tǒng)問題，并列出相應(yīng)的動力方程。在給定的節(jié)點載荷作用下，求解動力方程，可歸納為兩種方法。一是通過求解大型的矩陣特征值問題確定結(jié)構(gòu)的動力特性，經(jīng)模態(tài)矩陣變換，化為互不耦合的N個單自由度問題，逐個求解并迭加，稱振型迭加法。這需要算出系統(tǒng)的各階振型，而且也僅適用于線性系統(tǒng)和簡單的阻尼情況。二是用數(shù)值計算直接積分多自由度系統(tǒng)的微分方程，寫成矩陣形式用計算機逐步求解，這可用于一般阻尼的情況，并且可按增量法，用逐段線性化的方法求解非線性系統(tǒng)問題。

（1）振型迭加法

對于多個自由度系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)可以用各個振型動力反應(yīng)的線性組合來表示，即

(2-18)

式中，為位移向量；為廣義的坐標(biāo)向量；矩陣為振型矩陣，振型矩陣中第列向量即為系統(tǒng)的第個振型向量。將（2-18）式代入系統(tǒng)的動力方程式（2-17），并左乘振型向量后，可得

(2-19)

利用振型關(guān)于質(zhì)量和剛度矩陣的正交性，并假定阻尼矩陣也滿足正交性條件，可以得到：

(2-20)

式中、分別為振型質(zhì)量和振型剛度，為振型阻尼，根據(jù)假定也滿足正交性條件，即，當(dāng)采用瑞利阻尼時，很明顯，，這個條件是自然滿足的；稱為振型節(jié)點荷載。

逐個求解（2-20）式，即可得到個廣義坐標(biāo)，代入式（2-11），即將得到了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的反應(yīng)。用振型分解法求得的節(jié)點位移是時間的函數(shù)，由它插值的單元內(nèi)部位移、應(yīng)力、應(yīng)變的計算與靜力計算一樣，不同的是這些量都是時間的函數(shù)。

用振型分解法求解結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力反應(yīng)時有兩個明顯的優(yōu)點：一是個相互耦連的方程利用振型正交性解耦后相互獨立，變成了個自由度方程，使計算過程大大簡化。二是只需按要求求解少數(shù)幾個振型的方程，就可以得到滿意的解答，因為在大多數(shù)情況下，結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)主要是前面幾個低階振型起控制作用。

（2）直接積分法

在結(jié)構(gòu)動力計算中，常用的直接積分法有中心差分法、線性加速度法、法和法等等。

1）、中心差分法

中心差分法的基本思路是將動力方程式中的速度向量用位移的某種組合來表示，將微分方程組的求解問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組的求解問題，并在時間歷程內(nèi)求出每個微小時段的遞推公式，進而逐步求的整個時程的反應(yīng)。

對于動力方程（2-17）各階微分可以用中心差分表示為

(2-21)

(2-22)

式中為均勻的時間步長，、和分別為時刻及其前、后時刻的節(jié)點位移向量。將式b、c代入a式后可得到一個遞推公式如下：

(2-23)

上式即為中心差分法的計算公式，在求得結(jié)構(gòu)的和后，就可以根據(jù)t時刻及t-Δt時刻的結(jié)點位移，按（2-23）式推算出t+Δt時刻的結(jié)點位移；并可逐步推出t+2Δt，t+3Δt，…，tend各時刻的結(jié)點位移。式（2-23）對于t=0的時刻并不適用，因為一般運動的初始條件給出的是初始位移和初始速度，而難以給出前一個Δt時刻的位移，無法直接按式（2-23）進行第一步的計算，因此，這時就要利用其他條件建立中心差分的計算公式，

=(2-24)

(2-25)

再利用t=0時刻的動力方程：

(2-26)

由（2-24）、（2-25）、（2-26）三式，可以求得、和。求解的方程式如下：

(2-27)

這個方程式中的、和都是已知的，因此可以解出。而后就可以按式（2-24）解出和，…。這是一種將時間段劃分為若干個相同的時段后的逐步求解方法，求解出的量均是每個時刻結(jié)點的位移，因此，很適合于像有限元方法這樣以結(jié)點位移來計算單元內(nèi)部位移、應(yīng)力和應(yīng)變的各種數(shù)值求解問題。

2）線性加速度法

這個方法的基本思路是把整個振動時程分成很多個時間間隔，并假定在范圍內(nèi)加速度按直線規(guī)律變化，在此基礎(chǔ)上計算出時刻內(nèi)的增量位移、增量速度和增量加速度，一步一步地求得整個時程的反應(yīng)。

將動力方程式寫成增量形式的方程：

(2-28)

用時刻的和表示和，代入（2-28）并整理后得

在求出后，及可按下式求出：

(2-30)

這樣，t時刻的位移、速度和加速度可按下式求出：

(2-31)

重復(fù)上述步驟，可根據(jù)體系的初始條件，一步一步地求得各時刻（1,2,…,n）時系統(tǒng)的動力位移、速度和加速度反應(yīng)。

3）Wilson-θ法

數(shù)值計算方法的一個基本要求是算法的收斂性好，上一節(jié)介紹的線性加速度法當(dāng)體系自振周期較短而計算步長較大時，有可能出現(xiàn)計算過程發(fā)散的情況，即計算的反應(yīng)數(shù)值越來越大，直至溢出（overflow），對于多自由度系統(tǒng)，其最小的自振周期可能很小，此時，計算步長Δt必須取得很小才能保證計算不發(fā)散。對于結(jié)構(gòu)抗震分析來說，Δt需要選得比地面運動中高頻分量的周期以及結(jié)構(gòu)的自振周期小很多（例如10倍以上），才能保證必要的精確度。因此，線性加速度法是一種條件收斂的算法。

Wilson-θ法是在線性加速度法基礎(chǔ)上改進得到的一種無條件收斂的數(shù)值方法，它的基本假定仍然是加速度按線性變化但其范圍延伸到時間步長為θΔt的區(qū)段，只要參數(shù)θ取得合適（θ≥1.37），就可以取得收斂的計算結(jié)果。當(dāng)然，Δt取得較大時，計算誤差也將較大。

在時刻t+θΔt，多自由度系統(tǒng)的運動方程式為

[M]{(t+Δt)}+[C]{(t+Δt)}+[K]{(t+Δt)}={P(t+Δt)}

(2-32)

根據(jù)Wilson-θ法的基本假定，加速度反應(yīng)在[t,t+θΔt]上線性變化，即在此區(qū)段上運用線性加速度法得到的公式，并將時間步長改為θΔt，即可求得時刻t+θΔt時的加速度反應(yīng)為

{(t+Δt)}=

(2-33)

在[t,t+θΔt]時段內(nèi)采用內(nèi)插法，可以求得t+Δt時刻的加速度為

{(t+Δt)}={(t)}+

={(t+Δt)}+

=(2-34)

根據(jù)線性加速度法的基本關(guān)系式，利用{(t+Δt)}可得

(2-35)

{}(2-36)

式（2-35）、（2-36）即為用Wilson-θ法計算結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)的公式。

4）Newmark-β法

Newmark-β法的基本假定是：

{δ(t+Δt)}={δ(t)}+(2-37)

其中，γ和β是按積分的精度和穩(wěn)定性要求而調(diào)整的參數(shù)。研究表明，當(dāng)γ>=0.5,β>=0.25(0.5+γ)2時，Newmark-β法是無條件穩(wěn)定的。

由式（2-37），可利用{：

{(t+t)}=

(2-38)

{}

(2-39)

考慮到t+Δt時刻的動力方程，有：

[M]{（t+Δt）}＋[C]{(t+Δt)}+[K]{}={P(t+t)}(2-40)

將式（2-39）代入上式，可得：

（2-41）

式中

求解方程（2-41），可得{δ（t+Δt）},然后由式（2-39）可解出{}和{}。以此類推，可求出各時刻的位移、速度和加速度。

2.4.3結(jié)構(gòu)體系自振周期、振型計算

結(jié)構(gòu)的自由振動問題可以歸納為求解廣義特征值問題[66,76]，廣義特征值為1/ω2，廣義特征向量為結(jié)構(gòu)的固有振型。

忽略結(jié)構(gòu)的阻尼影響，結(jié)構(gòu)的自由振動方程為：

(2-42)

假設(shè)位移向量，由上式得：

(2-43)

式中：[K]、[M]分別為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣、質(zhì)量矩陣；

、分別為結(jié)構(gòu)各質(zhì)點的位移、加速度；

ω為結(jié)構(gòu)自由振動的圓頻率。

一般地振型向量≠0，由齊次線性方程組解的理論得：

（2-44）

由式（2-44）得到n個不同的圓頻率ω1、ω2、ω3、…、ωn，將圓頻率代入方程（2-43）可得到固有振型{A}1、{A}2、…、{A}n。

由于非對稱框架結(jié)構(gòu)隔震系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣為非對角矩陣，程序中求解自振頻率及振型采用廣義雅可比法。