導(dǎo)語(yǔ)：高中生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)策略一文來(lái)源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢(xún)客服老師，歡迎參考。

摘要：針對(duì)一類(lèi)優(yōu)化問(wèn)題，建立了完整的數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)整數(shù)規(guī)劃的耦合求解，得到了這類(lèi)問(wèn)題的最優(yōu)解。通過(guò)討論該類(lèi)問(wèn)題在目標(biāo)函數(shù)的選取和維度的推廣，進(jìn)一步提升了探究該類(lèi)問(wèn)題的深度和廣度。提出高中生數(shù)學(xué)建模能力提升需要數(shù)學(xué)老師與信息技術(shù)老師共同參與的觀點(diǎn)，這為能力的培養(yǎng)提供了一種可操作的新思路。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；案例研究；整數(shù)規(guī)劃；能力培養(yǎng)

隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的頒布，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，尤其是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的研究進(jìn)入了新階段。以中國(guó)知網(wǎng)為例，筆者嘗試以“數(shù)學(xué)建模”與“核心素養(yǎng)”為關(guān)鍵詞進(jìn)行主題搜索，發(fā)現(xiàn)發(fā)文量在2019年出現(xiàn)井噴式增長(zhǎng)，達(dá)到113篇。同時(shí)，2020年，發(fā)文量也達(dá)到了105篇。這對(duì)比于2017年（26篇）、2018（22篇）年有了顯著的增長(zhǎng)。在這些文章中，既有對(duì)針對(duì)教師的教材教法研究，也有對(duì)學(xué)生的認(rèn)知與學(xué)習(xí)研究。譬如，黃健[1]等人系統(tǒng)地回顧了20世紀(jì)以來(lái)中國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)建模內(nèi)涵的發(fā)展。其工作指出，數(shù)學(xué)模型一詞自1996年首次提出后得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，逐步從不完備的“四階段循環(huán)”發(fā)展成較為成熟的“七階段循環(huán)模型”。但是自21世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)建模的發(fā)展也存在著高中階段與義務(wù)教育階段的不平衡性和缺乏情感態(tài)度描述等問(wèn)題。鄭葉群[2]在總結(jié)了數(shù)學(xué)建模含義、作用和過(guò)程的基礎(chǔ)上，從引導(dǎo)建模設(shè)計(jì)、建模融入教學(xué)、開(kāi)展建?；顒?dòng)、注重學(xué)科聯(lián)系四方面宏觀地討論了高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滲透于課堂教學(xué)的措施。彭乃霞[3]等人以人教版教材中“貨艙進(jìn)出港時(shí)間問(wèn)題”的三角模型為例，詳細(xì)討論了數(shù)學(xué)建模過(guò)程的教學(xué)設(shè)計(jì)并且提出建模教學(xué)的關(guān)鍵在于科學(xué)選取素材的觀點(diǎn)。王志俊[4]等人通過(guò)宜居城市評(píng)價(jià)、標(biāo)槍尺寸問(wèn)題和景區(qū)游覽路線設(shè)計(jì)問(wèn)題等的案例分析，提出了數(shù)學(xué)建模素材可以從大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中獲取的觀點(diǎn)。盧建玲[5]結(jié)合核心素養(yǎng)的目標(biāo)建構(gòu)和學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)認(rèn)知特點(diǎn)，詳細(xì)地提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的建構(gòu)路徑。其工作具體指出強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模教學(xué)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是擎起核心素養(yǎng)之柱。大多數(shù)研究者對(duì)數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)是以自然語(yǔ)言形式表達(dá)卻并沒(méi)有給出明確的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。這與課程標(biāo)準(zhǔn)中“對(duì)現(xiàn)實(shí)情景中從數(shù)學(xué)視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題”[6]的描述有著本質(zhì)區(qū)別。本文以一類(lèi)優(yōu)化問(wèn)題為例，具體給出數(shù)學(xué)模型建構(gòu)與求解的詳細(xì)過(guò)程，并對(duì)該類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行深入探究，旨在將新課標(biāo)中數(shù)學(xué)建模的能力培養(yǎng)落地生根。

一、問(wèn)題的提出及分析

本文研究的問(wèn)題如下：某水管有兩種型號(hào)，分為A型水管和B型水管。每種管的原料管長(zhǎng)有4米和6米兩種，其中4米A型水管5000根，6米A型水管9000根，4米B型水管2000根，6米B型水管2000根。根據(jù)實(shí)際需求，需要截取1.5m的A型水管6500根，1.8m的A管12000根，1.2m的A型水管8000根，1.4m的B型水管6000根，1.7m的B型水管4200根，1m的B型水管2800根。設(shè)每種原料水管的價(jià)格和長(zhǎng)度成正比，請(qǐng)根據(jù)上述的實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型，尋找經(jīng)濟(jì)效果最優(yōu)的下料方案。眾所周知，數(shù)學(xué)模型通?？梢苑譃槲⒎址匠棠Ｐ汀?yōu)化模型、初等概率模型、圖論模型、評(píng)價(jià)模型等[7]。區(qū)別于其他模型種類(lèi)，優(yōu)化模型可以通過(guò)“最優(yōu)”“最佳”等字眼分辨出來(lái)，因而該問(wèn)題就屬于優(yōu)化模型。同時(shí)，優(yōu)化模型又可以繼續(xù)細(xì)分為線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃等。線性規(guī)劃是高中生最為熟悉的形式，其要求是目標(biāo)函數(shù)與約束條件均是線性形式。二維線性規(guī)劃是高中教學(xué)的重難點(diǎn)，其可以通過(guò)圖解法(梯度下降法)進(jìn)行求解，具體方法是通過(guò)尋找目標(biāo)函數(shù)的幾何意義繼而求得最優(yōu)解。非線性規(guī)劃較于線性規(guī)劃，求解的難度更大。但是高中生對(duì)于一類(lèi)具有特殊幾何意義的目標(biāo)函數(shù)是會(huì)求解的，譬如，幾何意義為兩點(diǎn)確定的直線的斜率和兩點(diǎn)間的距離等。整數(shù)規(guī)劃相較于線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃，要求變量取值為整數(shù)或更為嚴(yán)格的正整數(shù)。通常高中教學(xué)中，整數(shù)規(guī)劃是先在忽略整數(shù)約束的基礎(chǔ)上，即在不一定滿(mǎn)足整數(shù)條件的全局最優(yōu)解附近尋找最優(yōu)的整數(shù)解。顯然，這樣一個(gè)過(guò)程看似在算理上正確，然而在算法上卻缺少理論支撐。該問(wèn)題是針對(duì)水管優(yōu)化下料提出，是一個(gè)典型的優(yōu)化類(lèi)問(wèn)題，它涉及到單水管的切割過(guò)程和水管間的組合過(guò)程。解決方案涉及到上述兩個(gè)過(guò)程的耦合，這便是該問(wèn)題的困難所在。如果考慮任一過(guò)程，則顯然都是整數(shù)規(guī)劃，具體表現(xiàn)為單水管的切割問(wèn)題涉及到一個(gè)不等式組的整數(shù)求解問(wèn)題和水管間的組合下料過(guò)程?；谔岢鰡?wèn)題的順序性，應(yīng)先解決單水管的切割問(wèn)題，再基于求解結(jié)果進(jìn)行水管間的組合下料問(wèn)題。下面對(duì)于該問(wèn)題給出詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程，以便于讀者更好地理解。

二、數(shù)學(xué)模型的建立與求解

（一）單水管切割模型

單水管切割模型的目標(biāo)就是對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)度的水管按照的要求進(jìn)行劃分割，所以不難得到分割后的長(zhǎng)度應(yīng)該小于或者等于分割前的長(zhǎng)度，需要注意的是兩者之差就是分割廢料。該約束條件如下式所示：            （1）這里的是第種水管的個(gè)數(shù)，并且有。但是如僅有（1）限制，則可能出現(xiàn)一根水管未充分利用的情況。最為極端的就是，即一根水管未切割就是一種切割方案，這顯然是不合理的。為此，需要增加限制條件來(lái)避免類(lèi)似的情況發(fā)生。不難想到，最佳的切割方式是任意一種水管再多切割一段都不行，即結(jié)合（1）和（2），得到一個(gè)不等式組，需要注意的是該不等式組關(guān)注的是非負(fù)整數(shù)解。通?？梢酝ㄟ^(guò)遍歷搜索來(lái)求解，即檢驗(yàn)每一個(gè)可能的值。就本題而言，對(duì)于的約束條件如下：                   這里的表示取整。該算法是一種經(jīng)典循環(huán)算法，這符合高中生的知識(shí)認(rèn)知水平，也有利于提高其程序設(shè)計(jì)能力。筆者通過(guò)Matlab編程求解，得到米的型水管切割方式如表 1 所示。通過(guò)修改參數(shù)，可以得到其他情況的切割方式。

（二）水管間組合下料模型

在上文中，我們已經(jīng)順利地求解出了水管的切割方式。下面就是對(duì)于切割方式進(jìn)行組合，使得各長(zhǎng)度的水管總數(shù)達(dá)到要求。不妨設(shè)有種方式，對(duì)應(yīng)的數(shù)量為。需要注意的是，這里的為型水管的需求量。同時(shí)，注意到對(duì)于一種長(zhǎng)度的水管總數(shù)是有限制的，即所用根數(shù)必須小于或等于總數(shù)量這樣，基于各種數(shù)量限制的水管安排就完成了數(shù)學(xué)模型的建立。但是分量形式的表達(dá)過(guò)于繁瑣，這里基于矩陣?yán)碚搶⑵溥M(jìn)行整合。不妨令為切割方式矩陣，以表1為例這里的表示矩陣的轉(zhuǎn)置。同樣的，數(shù)量、需求也可以用矩陣表示，即下面我們尋找目標(biāo)函數(shù)，正如題中所言：尋找經(jīng)濟(jì)效果最佳的下料方式，“經(jīng)濟(jì)效果最佳”就是本題的目標(biāo)函數(shù)。但是“經(jīng)濟(jì)效果最佳”卻出現(xiàn)了分歧，譬如，可以理解為使用的總米數(shù)最少，也可以理解為總浪費(fèi)最少。這兩種理解方式均具有其合理性，這里采用第一種理解方式，即目標(biāo)函數(shù)為由于本題僅涉及兩種規(guī)格的水管，就采用以示區(qū)別。結(jié)合（5）（8）和（9），我們就得到了完整的優(yōu)化模型，下面就將關(guān)注求解。對(duì)于整數(shù)規(guī)劃而言，最為普遍的方法就是分支定界法。其基本思想是對(duì)有約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題的所有可行解空間進(jìn)行搜索。該算法在具體執(zhí)行時(shí)，把全部可行的解空間不斷分割為越來(lái)越小的子集（稱(chēng)為分支），并為每個(gè)子集內(nèi)的解的值計(jì)算一個(gè)下界或上界（稱(chēng)為限界）。在每次分支后，對(duì)凡是界限超出已知可行解值的子集不再做進(jìn)一步分支。這樣，解的許多子集（即搜索樹(shù)上的許多結(jié)點(diǎn)）就可以不予考慮，從而縮小了搜索范圍。這一過(guò)程一直進(jìn)行到找出可行解為止，該可行解的值不大于任何子集的界限。這種算法一般可以求得最優(yōu)解[7]。相較于之前的循環(huán)算法，分支定界法對(duì)于高中生而言更具有啟發(fā)意義。為了解決該類(lèi)問(wèn)題，需要介紹LINGO軟件。LINGO是由美國(guó)LINDO系統(tǒng)公司(Lindo System Inc.)推出的求解優(yōu)化模型的軟件，其具有簡(jiǎn)單的模型表示、方便的數(shù)據(jù)輸入和輸出選擇、強(qiáng)大的求解器等優(yōu)勢(shì)。筆者通過(guò)LINGO編程求解得了如表2和表3所示的最終結(jié)果。

三、討論與總結(jié)

在上文中，我們?cè)敿?xì)地介紹了數(shù)學(xué)模型的建立與求解過(guò)程。這樣一個(gè)解題過(guò)程能帶給學(xué)生、老師怎樣的收獲是一個(gè)值得思考的問(wèn)題。這種收獲不單單是解題能力解題技巧的提升，更為重要的是解題思想的總結(jié)。譬如，如何將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題的組合；在該問(wèn)題的基礎(chǔ)上能否繼續(xù)延拓；如何將題目與其他題目甚至其他學(xué)科建立聯(lián)系等。這也是本節(jié)要討論的主要問(wèn)題。正如上文所述，對(duì)于題干中“經(jīng)濟(jì)最優(yōu)”的理解產(chǎn)生了歧義，這種歧義勢(shì)必將對(duì)解題產(chǎn)生巨大的影響。但是這兩種理解都具有其合理性，如果單純考慮一個(gè)最優(yōu)而忽略另一個(gè)最優(yōu)，那么對(duì)問(wèn)題的分析和解決就不夠透徹。因此，在實(shí)際問(wèn)題中，往往優(yōu)化目標(biāo)通常都是由多個(gè)目標(biāo)組成而不是單目標(biāo)組成的。多目標(biāo)優(yōu)化的概念就應(yīng)運(yùn)而生了，同時(shí)也伴隨著一個(gè)新的問(wèn)題，多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題如何處理。處理方式中最為常見(jiàn)的就是歸一化以后進(jìn)行加權(quán)，進(jìn)而將多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化處理。同時(shí)需要注意的是，多目標(biāo)優(yōu)化往往不再關(guān)注全局最優(yōu)解，通常只需要關(guān)注局部最優(yōu)解。同樣的，維度方向的拓展也是一個(gè)值得思考的問(wèn)題。本題可數(shù)學(xué)抽象為線段進(jìn)行處理，這是一維的情況。這里提出一個(gè)新的問(wèn)題，這樣的處理方式能否在平面（二維）和空間（三維）中仍然適用？以二維空間為例，不難將問(wèn)題抽象為在一個(gè)幾何圖形內(nèi)放置多個(gè)幾何圖形的問(wèn)題。其中，一種特殊情況就是在一個(gè)矩形內(nèi)放置多個(gè)矩形。進(jìn)一步分析，不難得到這樣的約束條件，各矩形的面積之和小于等于大矩形的面積之和。這里就產(chǎn)生了一個(gè)新的問(wèn)題，矩形有著其固定的形狀，即使是面積之和滿(mǎn)足條件，也可能存在平面內(nèi)無(wú)法擺放的問(wèn)題。矩形在空間中的放置方式也存在這不確定性，這也為這類(lèi)問(wèn)題增添了不少難度?？偟膩?lái)說(shuō)，一維的情形在二維、三維下的推廣，往往需要添加某些合理的條件繼而結(jié)論成立?？紤]到實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性，模型的求解是問(wèn)題解決的重點(diǎn)和難點(diǎn)。該過(guò)程往往需要計(jì)算機(jī)輔助， 這種輔助不僅僅是簡(jiǎn)單的套用現(xiàn)成的算法，更重要的是針對(duì)模型設(shè)計(jì)并實(shí)踐一種算法。它將使模型求解簡(jiǎn)單化，達(dá)到從大量煩瑣的計(jì)算中解放出來(lái)的目的。為了促進(jìn)高中數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，筆者認(rèn)為該過(guò)程需要數(shù)學(xué)教師與信息技術(shù)教師的共同參與。數(shù)學(xué)教師對(duì)高中數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)應(yīng)在介紹傳統(tǒng)算法的基礎(chǔ)上，而信息技術(shù)老師應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生求解模型的算法設(shè)計(jì)能力。需要注意的是，應(yīng)結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平，引導(dǎo)學(xué)生把握現(xiàn)實(shí)世界中研究對(duì)象的結(jié)構(gòu)特征，借助系統(tǒng)思維在橫向或縱向上將問(wèn)題的整體分解成層次分明的若干個(gè)部分，并根據(jù)它們之間的制約關(guān)系進(jìn)行耦合。這也說(shuō)明了數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)不單單是一種數(shù)學(xué)化思考問(wèn)題的培養(yǎng)，更是一種自動(dòng)化處理問(wèn)題能力的培養(yǎng)。信息技術(shù)教師不僅自身具有更強(qiáng)的編程能力，也對(duì)于算法設(shè)計(jì)和程序?qū)崿F(xiàn)的教學(xué)方法、教學(xué)過(guò)程也更具經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)，基于信息技術(shù)課程教學(xué)，同學(xué)也可以通過(guò)實(shí)踐加深對(duì)算法的理解。這對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，尤其是模型求解能力的提升有很大的幫助。因此，信息技術(shù)老師的參與也尤為重要。綜上所述，本文基于水管優(yōu)化切割問(wèn)題，建立了一類(lèi)整數(shù)優(yōu)化模型。通過(guò)切割方案和水管安排兩個(gè)優(yōu)化模型的耦合，解決了一類(lèi)經(jīng)典的一維優(yōu)化問(wèn)題。這一過(guò)程，既含有高中的方程理論、矩陣?yán)碚摰认嚓P(guān)知識(shí)，也涉及到了大學(xué)的具體求解方法和數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用。這對(duì)于從算理分析到算法分析的轉(zhuǎn)變提供了一個(gè)很好的案例。通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的分析，引出了多目標(biāo)優(yōu)化的概念，繼而提出全局最優(yōu)與局部最優(yōu)的觀念。此外，通過(guò)維度推廣的分析，得到了該工作需要考慮和處理一些新的問(wèn)題。最為重要的是，本文提出高中數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)需要信息技術(shù)老師的參與，這對(duì)于高中生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)和拓展提供了一種可操作的新思路。

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作者：金龔逸 陸經(jīng)緯 朱鵬