導(dǎo)語(yǔ)：大學(xué)物理學(xué)與高等數(shù)學(xué)銜接研究一文來(lái)源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

摘要：大學(xué)物理學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間有著十分密切的內(nèi)在聯(lián)系，一定基礎(chǔ)的高等數(shù)學(xué)知識(shí)是學(xué)好大學(xué)物理學(xué)的關(guān)鍵。然而，對(duì)于大一新生，高等數(shù)學(xué)基本知識(shí)的欠缺已成為學(xué)生理解知識(shí)及提高教學(xué)效果的主要障礙。論文探究了高等數(shù)學(xué)中的微積分、矢量等知識(shí)如何與大學(xué)物理課程的銜接，并結(jié)合一些具體的案例進(jìn)行了說(shuō)明，以求提高教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：大學(xué)物理；高等數(shù)學(xué)；銜接；案例

一引言

大學(xué)物理學(xué)是理工類(lèi)專(zhuān)業(yè)必修的基礎(chǔ)課程，而這門(mén)課程是用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)來(lái)描述的。物理學(xué)的每一次進(jìn)步都離不開(kāi)數(shù)學(xué)的運(yùn)用[1]。故好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是學(xué)好物理的關(guān)鍵。然而，大學(xué)物理和高等數(shù)學(xué)這兩門(mén)課程是各自單獨(dú)授課，對(duì)于大一新生而言，在講大學(xué)物理中的力學(xué)部分時(shí)，高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)、微分、積分、矢量還未來(lái)得及學(xué)。高等數(shù)學(xué)知識(shí)的欠缺已成為學(xué)生理解知識(shí)及提高教學(xué)效果的重大障礙[2]。因此，如何將大學(xué)物理與高等數(shù)學(xué)相銜接，如何在實(shí)際的大學(xué)物理教學(xué)中盡量做到具體的物理問(wèn)題滲透高等數(shù)學(xué)的思想，彌補(bǔ)新生對(duì)高等數(shù)學(xué)理解的不很透徹，做到高數(shù)與物理這兩門(mén)課的融會(huì)貫通是每一位教大學(xué)物理教師值得思考的問(wèn)題[3，4]。

二大學(xué)物理與高等數(shù)學(xué)相銜接的探究

（一）課前高數(shù)知識(shí)的補(bǔ)充。筆者經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，認(rèn)為十分有必要在講完緒論之后,拿出大約四個(gè)學(xué)時(shí),來(lái)給學(xué)生補(bǔ)充微積分和矢量運(yùn)算等內(nèi)容。起到磨刀不誤砍柴工的效果。在補(bǔ)充高等數(shù)學(xué)知識(shí)的課堂教學(xué)過(guò)程中,主要是講解高等數(shù)學(xué)中微積分的思想，明白導(dǎo)數(shù)、微分、積分、矢量的定義及本質(zhì)。實(shí)際上大多數(shù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出都與物理息息相關(guān)，在講解微積分和矢量運(yùn)算的思想時(shí)要結(jié)合物理中的實(shí)際應(yīng)用來(lái)講解、結(jié)合具體的公式來(lái)應(yīng)用。例如：導(dǎo)數(shù)是反映函數(shù)因變量相對(duì)于自變量變化的快慢程度，即：函數(shù)的變化率。強(qiáng)調(diào)的是這個(gè)變化率是極限條件下的變化率。在講解導(dǎo)數(shù)定義時(shí)可假設(shè)在二維直角坐標(biāo)系中有一條任意的曲線，曲線上有A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)分別為11A(x，y)，22B(x，y)。假設(shè)自變量變化了21∆x(∆x=x−x)，因變量隨之變化了21∆y(∆y=y−y)false，其變化率k=∆y∆x?？山Y(jié)合圖形講解，當(dāng)自變量的變化∆x→0時(shí)，即：2x無(wú)限靠近1x，在此極限情況下∆x可表示為dx，因變量的變化∆yfalse可表示為dy。教師要強(qiáng)調(diào)的是1x處的導(dǎo)數(shù)，強(qiáng)調(diào)∆x與dx的區(qū)別與聯(lián)系，即：dx是∆x的極限形式。在講解的過(guò)程中沒(méi)有必要過(guò)多地說(shuō)明域和極限的存在的概念等。在此極限情況下x1處的導(dǎo)數(shù)可表示為：10limxxxyyx=∆→∆′=∆，導(dǎo)數(shù)也稱(chēng)之為微商。既要強(qiáng)調(diào)商，也要強(qiáng)調(diào)微。這樣就很容易引出導(dǎo)數(shù)的定義和思想。在講完導(dǎo)數(shù)的定義和思想之后，馬上結(jié)合曲線的切線問(wèn)題，結(jié)合變速直線運(yùn)動(dòng)的平均速度和某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度問(wèn)題進(jìn)行實(shí)際的應(yīng)用。沒(méi)必要過(guò)多地糾纏極限的實(shí)際求法，但要強(qiáng)調(diào)極限的思想。結(jié)合導(dǎo)數(shù)的常用公式，強(qiáng)調(diào)這些公式只是一種工具。沒(méi)必要過(guò)多去推導(dǎo)這些常用公式的由來(lái)。多年的教學(xué)實(shí)踐證明，學(xué)生很快能接受導(dǎo)數(shù)知識(shí)。有了導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，再來(lái)講解微分的概念。微分的思想是在某一點(diǎn)，自變量有微小變化時(shí)，函數(shù)大體上改變了多少。例如在x1點(diǎn)，當(dāng)自變量有微小的∆x變化時(shí)，函數(shù)大體上改變了∆y，當(dāng)自變量的變化∆x→0時(shí)，即可表示為dx，函數(shù)在1x點(diǎn)的變化∆y可以表示為dy，導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系是dy=f′(x)dx。強(qiáng)調(diào)f′(x)是導(dǎo)數(shù)，反映的是在點(diǎn)1x附近的變化率。同樣，結(jié)合在講導(dǎo)數(shù)時(shí)的二維曲線來(lái)說(shuō)明。在講完微分的定義和思想之后，馬上結(jié)合正方形金屬薄片受熱后面積的改變量，從而具體說(shuō)明微分的思想。假設(shè)正方形金屬薄片初始邊長(zhǎng)為x0，受熱膨脹后的邊長(zhǎng)由0x變?yōu)?x+∆x，邊長(zhǎng)增加了∆x，那么薄片的面積增加了多少呢？結(jié)合圖形，薄片的面積增加量為222000∆A=(x+∆x)−x=2x⋅∆x+(∆x)，學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題很容易解答。當(dāng)∆x為dx時(shí)，即：∆x→0，由于2(∆x)為二階小量，可以忽略不計(jì)，因此，薄片的面積增加量可表示為0dA=2x⋅dx，很自然的理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系dy=f′(x)dx。有了微分的知識(shí)接著講積分的概念。此知識(shí)點(diǎn)中強(qiáng)調(diào)的是微元的思想?？山Y(jié)合曲邊梯形面積來(lái)講解積分的思想。計(jì)算曲邊梯形的面積，一個(gè)簡(jiǎn)單的法子就是用矩形面積近似取代曲邊梯形面積。矩形的數(shù)目越多，越接近于曲邊梯形面積。教師要具體講解好微元的概念。結(jié)合圖形，第i個(gè)矩形的寬度為+1-iiii∆x（）∆x=xx，高度近似為()ifζ，其中iii+1x≤ζ≤x，則第i個(gè)矩形的面積為()iii∆A=fζ⋅∆x。至此，學(xué)生理解沒(méi)有問(wèn)題。當(dāng)0i∆x→時(shí)，高度近似用()ifx代替，因此第i個(gè)矩形的面積為用微分來(lái)表示為()iidA=fx⋅dx，在此要讓學(xué)生建立起微元idA的概念。曲邊梯形總的面積即為這些微元的和1()niiiAfζx==∑⋅∆。當(dāng)0i∆x→時(shí)，曲邊梯形總的面積即為()baA=∫fxdx。體現(xiàn)了積分就是求和的思想，體現(xiàn)了微元疊加的思想。經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐證明，通過(guò)大約四個(gè)學(xué)時(shí)的高數(shù)知識(shí)補(bǔ)充，學(xué)生很快就能建立微積分、微元、矢量的思想，為開(kāi)始講解大學(xué)物理中的力學(xué)打下了一定的基礎(chǔ)。（二）悟物窮理，突出高等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用滲透。在大約四個(gè)學(xué)時(shí)的高數(shù)知識(shí)補(bǔ)充中，強(qiáng)調(diào)的是微積分、矢量的基本思想。在實(shí)際的大學(xué)物理教學(xué)中盡量做到具體的物理問(wèn)題滲透高等數(shù)的學(xué)思想，做到高數(shù)與物理這兩門(mén)課的融會(huì)貫通。在大學(xué)物理的具體問(wèn)題中，微元的思想被廣泛運(yùn)用。從力學(xué)中物體的變速運(yùn)動(dòng)，變力做功，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量到電磁學(xué)中的場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)、能量的疊加等都是微元思想的體現(xiàn)。有位移元、時(shí)間元、質(zhì)量元、電荷元、電流元等等。微元的作用就是無(wú)限分割，取極限，分割成一個(gè)個(gè)無(wú)窮小的單位，即將物理量分解為單位元，即：高數(shù)中自變量的變化∆x→0時(shí)的微元dy，從而達(dá)到近似的、等效的“理想”狀態(tài)。微元近似為穩(wěn)恒量或離散量。物理的整個(gè)過(guò)程就是這些微元的疊加，疊加過(guò)程就是求和過(guò)程，也是積分過(guò)程。例如：求軸與盤(pán)平面垂直并通過(guò)盤(pán)心，質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l的均勻圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。質(zhì)量離散物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義為：2=iiJ∑rm，根據(jù)補(bǔ)充高數(shù)時(shí)所講的求和就是積分的思想，質(zhì)量連續(xù)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可表示為：2J=∫rdm。對(duì)于此題連續(xù)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，首先要求學(xué)生理解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的微元dJ，而2dJ=rdm，這樣微元又變?yōu)閐m，dm=ρdV=ρldS。對(duì)于微元dS的求解，在此關(guān)鍵運(yùn)用了極限的思想。在講解時(shí)結(jié)合圖形，取一個(gè)半徑為1r的內(nèi)圓，當(dāng)內(nèi)圓半徑1r增加一個(gè)微量∆r時(shí)，形成的外圓半徑為r+∆r，這樣形成一個(gè)內(nèi)半徑為1r，外半徑為1r+∆r的圓環(huán)。整個(gè)圓盤(pán)的面積就是這些無(wú)限多個(gè)圓環(huán)的疊加。最后，落腳點(diǎn)就是求這個(gè)圓環(huán)的面積1∆S。運(yùn)用微分極限的思想，當(dāng)半徑增量∆r→0時(shí)，∆r可表示為dr。圓環(huán)的內(nèi)、外半徑都近似為1r。將這個(gè)圓環(huán)用剪刀剪斷，拉直，近似形成一個(gè)長(zhǎng)度為12πr，寬度為dr的矩形。這些無(wú)窮小的圓環(huán)單位，等效于“理想”狀態(tài)的矩形。關(guān)鍵是要學(xué)生明白這個(gè)矩形是如何在極限情況下得到的。這個(gè)圓環(huán)對(duì)應(yīng)的近似矩形面積為：11dS=2πrdr。一般地，去掉角標(biāo)，任意內(nèi)半徑為r的圓環(huán)所對(duì)應(yīng)的面積微元為dS=2πrdr。可以讓學(xué)生根據(jù)此面積微元公式計(jì)算整個(gè)圓盤(pán)的面積：202=RS=π∫rdrR。結(jié)果與以往的、求圓的面積公式獲得一致。學(xué)生對(duì)此非常驚訝！也更加明白微分的極限思想。將面積微元dS、質(zhì)量微元dm、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的微元dJ代入公式2J=∫rdm中，同時(shí)根據(jù)密度公式：2mmVRlρ==π，即可得到圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：320122RJ=∫ρπl(wèi)rdr=mR。還有，例如：速度、加速度等等，這些例子充分體現(xiàn)了高數(shù)中微元、極限、疊加的思想，是解決復(fù)雜物理問(wèn)題的手段，做到了高數(shù)與物理這兩門(mén)課的融會(huì)貫通。教師要引導(dǎo)新生勤于思考，悟物窮理；在教學(xué)中要始終體現(xiàn)微元思想，時(shí)刻提醒學(xué)生注意微元思想。

三總結(jié)

總之，大學(xué)物理課需要用高等數(shù)學(xué)來(lái)描述，而通過(guò)對(duì)大學(xué)物理學(xué)的學(xué)習(xí)可以對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的思想和方法會(huì)有著更深層次的理解，兩者相互促進(jìn)，相互滲透。教師要做好大學(xué)物理學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接,以消除大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和大學(xué)物理時(shí)的障礙，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高教學(xué)效益。

參考文獻(xiàn)

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作者:鄧文武 單位:湖北科技學(xué)院