導(dǎo)語：如何才能寫好一篇高一函數(shù)的單調(diào)性，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最核心的概念，函數(shù)和方程思想是重要的思想方法。高中函數(shù)的性質(zhì)是指函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性，課程標(biāo)準(zhǔn)要求為：通過以學(xué)過的函數(shù)，特別是二次函數(shù)理解函數(shù)的單調(diào)性，最大（?。┲导皫缀我饬x，結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義，了解函數(shù)的周期性。

一、數(shù)學(xué)的抽象性必須以具體為基礎(chǔ)

函數(shù)的性質(zhì)在教學(xué)過程中的安排：大綱版教材，高一上學(xué)期學(xué)習(xí)“函數(shù)”這一章節(jié)單獨學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性，高一下學(xué)期學(xué)習(xí)“三角函數(shù)”這一章，借助正弦函數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)出函數(shù)的奇偶性和周期性。在課標(biāo)人教版高中數(shù)學(xué)教材中，高一上學(xué)期學(xué)習(xí)“集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)”這一章節(jié)學(xué)習(xí)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，高一下學(xué)期學(xué)習(xí)“三角函數(shù)”這一章，借助正弦函數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)出函數(shù)的周期性。

二、直觀化是從具體上升到抽象的輔助手段

數(shù)形結(jié)合使抽象的概念關(guān)系得以直觀化、形象化，有利于分析發(fā)現(xiàn)和理解概念，故講授函數(shù)性質(zhì)要充分利用函數(shù)圖象。在講授函數(shù)的單調(diào)性時，我們要充分利用已學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)，特別是二次函數(shù)的圖象來認識函數(shù)的單調(diào)性，使單調(diào)性得以直觀體現(xiàn)，并經(jīng)歷由圖形化理解、關(guān)系化理解再到離散化理解三個階段。

三、抽象性要以具體性為歸宿

從抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容進一步過渡到實踐，即過渡到更廣泛、更豐富的具體對象，是認識事物更關(guān)鍵、更本質(zhì)的階段。

四、從抽象到抽象是對學(xué)生抽象思維能力的檢驗

篇2

函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個性質(zhì)，是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個用數(shù)學(xué)符號語言刻畫的概念，為進一步學(xué)習(xí)函數(shù)其他性質(zhì)提供了方法依據(jù)．

對于函數(shù)單調(diào)性，學(xué)生的認知困難主要在兩個方面：（1）用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學(xué)生是比較困難的；（2）單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據(jù)以上的分析和教學(xué)大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點和難點．

二、教學(xué)目標(biāo)的確定

根據(jù)本課教材的特點、教學(xué)大綱對本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學(xué)目標(biāo)．重視單調(diào)性概念的形成過程和對概念本質(zhì)的認識；強調(diào)判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成．

三、教學(xué)方法和教學(xué)手段的選擇

本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課，采用教師啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，通過創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法．本節(jié)課使用了多媒體投影和計算機來輔助教學(xué)，為學(xué)生提供直觀感性的材料，有助于學(xué)生對問題的理解和認識．

四、教學(xué)過程的設(shè)計

為達到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點，突破難點，教學(xué)上采取了以下的措施：

（1）在探索概念階段， 讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對函數(shù)單調(diào)性定義的三次認識，使得學(xué)生對概念的認識不斷深入．

篇3

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)、單調(diào)性、最值

中圖分類號：G633.6

在初中教材中，對二次函數(shù)作了較詳細的研究，由于初中學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機械的，很難從本質(zhì)上加以理解。進入高中以后，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，要對他們的基本概念和基本性質(zhì)（圖象以及單調(diào)性、奇偶性、有界性）靈活應(yīng)用，對二次函數(shù)還需再深入學(xué)習(xí)。下面我把自己在多年的職高數(shù)學(xué)教學(xué)中對二次函數(shù)在高一數(shù)學(xué)中具體應(yīng)用做一個小結(jié)。

一、可以幫助學(xué)生進一步深入理解函數(shù)概念

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點來闡明函數(shù)，這時就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來加以更深認識函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射 :AB，使得集合B中的元素 與集合A的元素X對應(yīng)，記為 這里 表示對應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對函數(shù)的概念有一個較明確的認識，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學(xué)生進一步處理如下問題：

類型I：已知 ，求

這里不能把 理解為 時的函數(shù)值，只能理解為自變量為 的函數(shù)值。

類型Ⅱ：設(shè) ,求

這個問題理解為，已知對應(yīng)法則 下，定義域中的元素 的象是 ，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對應(yīng)法則。

一般有兩種方法：

(1)把所給表達式表示成 的多項式。

，再用 代 得

(2)變量代換：它的適應(yīng)性強，對一般函數(shù)都可適用。

令 ，則 從而

二、進一步論證了二次函數(shù)的單調(diào)性與圖象。

在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時，必須讓學(xué)生對二次函數(shù) 在區(qū)間 及 上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎(chǔ)上，與此同時，進一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺地利用圖象學(xué)次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。

類型I：函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，求：實數(shù) 的取值范圍

解：因為函數(shù) 的圖象的對稱軸為直線 ，且在區(qū)間 上單調(diào)遞減，所以

，即

類型Ⅱ：畫出下列函數(shù)的圖象，并通過圖象研究其單調(diào)性。

這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對值記號的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖象。

三、巧妙求二次函數(shù)的最值

解決二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，核心是對函數(shù)圖象的對稱軸與給定區(qū)間的相對位置關(guān)系的討論，一般分為對稱軸在區(qū)間的左邊、中間、右邊三種情況。

1、 正向型

正向型指已知二次函數(shù)的解析式和定義域，求其最值。對稱軸與定義域的相對位置關(guān)系的討論是解決此類問題的關(guān)鍵，此類問題包括三種情形：軸定，區(qū)間定；軸定，區(qū)間變；軸變，區(qū)間定。

軸定，區(qū)間定

類型I：已知函數(shù) ，當(dāng) 時，求最大值和最小值。

解：

當(dāng) 時， ，則當(dāng) 時， 取得最小值 ，當(dāng) 時， 取得最大值 。

軸定，區(qū)間變

類型Ⅱ：設(shè)函數(shù) ， ，求函數(shù) 的最小值。

解： ， ， ，對稱軸為 。

當(dāng) ，即 時，函數(shù) 在區(qū)間 為減函數(shù)，所以最小值為

當(dāng) ，即 時，在對稱軸為 處取得最小值，最小值為

當(dāng) 時，函數(shù) 在區(qū)間 為增函數(shù)，所以最小值為

綜上可知， ，

，

，

軸變，區(qū)間定

類型Ⅲ：求函數(shù) 在 上的最大值

解： 的對稱軸為

當(dāng) ，即 時， 在 上的最大值為

當(dāng) ，即 時， 在 上的最大值為

當(dāng) ，即 時， 在 上的最大值為

綜上可知， ，

，

，

2、 逆向型

逆向型指已知二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，求函數(shù)解析式或區(qū)間中的參數(shù)值。

已知函數(shù) 在區(qū)間 上有最大值 ，求實數(shù) 的值。

解：

當(dāng) 時，函數(shù) 在區(qū)間 上的值為常數(shù) ，不符合題意，舍去

當(dāng) 時，函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，最大值為 ，解得

當(dāng) 時，函數(shù) 在區(qū)間 上是減函數(shù)，最大值為 ，解得

綜上可知， 的值為 或

篇4

關(guān)鍵詞： 高考數(shù)學(xué) 概念教學(xué) 基本思路 單調(diào)性

筆者繼2011年高考閱卷后又有幸參加了江蘇省2015年數(shù)學(xué)高考閱卷，批閱的正好是19題.第（1）問是含參的三次函數(shù)單調(diào)性討論的基礎(chǔ)題，預(yù)測本問得分率應(yīng)該不低.而實際批改時情況卻很糟糕，最終此問均分不過四點幾分.主要問題有：（1）求完導(dǎo)后無思路;（2）不知道a對進行分類討論;（3）單調(diào)區(qū)間亂放并.針對本小題出現(xiàn)的問題，筆者進行了反思，并結(jié)合平時教學(xué)中的措施和體會，談?wù)勅绾螐睦斫飧拍詈驼莆栈舅悸穬蓚€方面讓學(xué)生不功虧于基礎(chǔ)題，以期拋磚引玉.

一、治療區(qū)間亂放并，理解概念是良藥

19題（1）問主要錯誤之一是單調(diào)區(qū)間亂放并.教師在平時教學(xué)中對此問題已是苦口婆心，然而盲點依然“逍遙法外”.是學(xué)生笨嗎？這個問題真的很難？都不是.是學(xué)生沒有真正理解單調(diào)性定義中的“任意”.而“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！”――中國科學(xué)院李邦河院士（數(shù)的概念的發(fā)展.《數(shù)學(xué)通報》，2009，8）.因此，重視概念教學(xué)毋庸置疑.筆者針對單調(diào)性定義的理解作了如下習(xí)題教學(xué)設(shè)計：

例1：畫出下列函數(shù)圖像，并寫出單調(diào)區(qū)間：

（1）y=-x+2; （2）y=（x≠0）

設(shè)計意圖：本例來源于課本，旨在反映單調(diào)性是局部性質(zhì)：即函數(shù)在某個區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，但在整個定義域上不一定是單調(diào)函數(shù).但（2）是學(xué)生的一個盲點，而且正確與否直接反映學(xué)生對單調(diào)性定義的理解與否.所以不可操之過急，要動之以情.以下記錄的是筆者精心設(shè)計的片段：

生1：（2）中函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間也為（-∞，0）∪（0，+∞）.

師：此函數(shù)圖像在整個定義域上都是單調(diào)遞減嗎？請從左往右仔細觀察圖像.

生2：函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間有兩個：（-∞，0）和（0，+∞）.函數(shù)圖像整體上從左往右看不是下降的.

師：很好.從形的角度解釋本題的兩個單調(diào)減區(qū)間之間不能放并.所以同學(xué)們要養(yǎng)成畫草圖看單調(diào)性的習(xí)慣.同學(xué)們能否再從單調(diào)減區(qū)間定義出發(fā)說明不能放并呢？

生3：在區(qū)間（-∞，0）∪（0，+∞）中取-1和2，-1

師：很好.通過找到一個反例，發(fā)現(xiàn)與單調(diào)減區(qū)間定義中的“任意”矛盾.從數(shù)的角度再次說明這兩個減區(qū)間之間不能放并.所以本題答案：單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0）和（0，+∞）.放并就變成一個了.

練習(xí)1：根據(jù)下列函數(shù)圖像，寫出單調(diào)區(qū)間.

（1） （2）

（3） （4）

答案：（1）增區(qū)間為（-∞，0]和（0，+∞）

（2）增區(qū)間為R

（3）增區(qū)間為（-∞，0]∪（0，+∞）

（4）減區(qū)間為（-∞，-2.5）和[1，+∞），增區(qū)間為[-2.5，1]

設(shè)計意圖：由于高一學(xué)生基本初等函數(shù)圖像模型掌握較少，因此可以設(shè)計性地給出函數(shù)圖像，在豐富學(xué)生的圖形庫的同時，通過練習(xí)對比：圖（1）（4）不能放并，圖（2）（3）要放并，讓學(xué)生從形的角度真正理解“并”的去留，而并非教師口中通常所說的單調(diào)區(qū)間不能放并.

練習(xí)2：（蘇教版必修1課后練習(xí)P408）判斷下列說法是否正確：

（1）若定義在R上的函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞）上也是單調(diào)增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù).

（2）若定義在R上的函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上也是單調(diào)增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù).

設(shè)計意圖：練習(xí)1是從圖形直觀感知，練習(xí)2旨在讓學(xué)生自己通過畫圖并適當(dāng)進行代數(shù)說理進行判斷正誤.如果學(xué)生能將練習(xí)1中的四個圖納為己用，解決練習(xí)2，那么體現(xiàn)的不僅是學(xué)生圖形庫的豐富，而且是在靈活應(yīng)用中對單調(diào)性的認識上升到了理性層次.

二、重重障礙不可怕，基本思路定心丸

19題（1）問中通過設(shè)置參數(shù)考察了分類討論的思想，這是高中重要的思想方法之一，它體現(xiàn)了思維的嚴謹性和全面性，對思維的要求較高.然而將這樣的思想方法放在第一問，是不是意味著第一問就變成了難題呢？非也.

數(shù)學(xué)中很多問題都有其解決的基本思路，有時我們認為一個問題較難，只是因為在基本思路的某一步或某幾步中設(shè)置了一些障礙.例如用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性的基本思路如下：

S1：求定義域

S2：求f′（x）

S3：判斷方程f′（x）=0在定義域內(nèi)是否有根

S4：列表畫草圖

S5：寫出單調(diào)區(qū)間

出現(xiàn)求完導(dǎo)后無思路的情況顯然是未掌握用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性的基本思路，若再添加幾個參數(shù)干擾，則自然無所適從.而不知道對a的范圍進行討論的考生大多數(shù)沒有列表，不然就會考慮到0與-a是如何分割定義域的，分類討論自然水到渠成.考生如果理解單調(diào)性的定義，養(yǎng)成畫草圖的習(xí)慣，那么不論是從形還是數(shù)的角度都不會亂放并的.所以，掌握了基本思路，即使在多個步驟設(shè)置障礙，也不會黔驢技窮.

數(shù)學(xué)中還有很多其他類問題都有解決的基本思路，如：二次函數(shù)求最值、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值、解一元二次不等式.這些問題中都可以通過設(shè)置參數(shù)考察分類討論思想增加難度，但仍然屬于基礎(chǔ)題.令人不解的是，栽在這幾類問題上的學(xué)生每屆都有.如果教師授予的是基本思路，并在平時教學(xué)設(shè)計中多體現(xiàn)障礙可能出現(xiàn)在哪幾步，那么學(xué)生做此類問題時定有“會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”之感.

高考中，基礎(chǔ)題是學(xué)生踏進象牙塔的前提.如何助學(xué)生不失江山于基礎(chǔ)，筆者認為平時教學(xué)中要注重概念教學(xué).除了重視概念的生成外，還要針對概念理解中的盲點，精心設(shè)計，充分發(fā)揮教材例題和習(xí)題的作用.此外，教師還要教給學(xué)生解決某一類問題的基本思路，讓學(xué)生認識到障礙可能出現(xiàn)在哪幾步中，給學(xué)生一顆定心丸.這樣，學(xué)生才能在高考中穩(wěn)操勝券地拿下基礎(chǔ)題.

參考文獻：

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數(shù)學(xué)教學(xué)過程總是充滿了矛盾，如教與學(xué)的矛盾、學(xué)生認知特點與數(shù)學(xué)學(xué)科特點的矛盾、學(xué)生認知發(fā)展水平與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的矛盾等.有矛盾才能有發(fā)展，其中，學(xué)生現(xiàn)有的知識基礎(chǔ)、能力水平與教學(xué)要求之間的矛盾是數(shù)學(xué)教學(xué)的決定性動力.作為教師，應(yīng)努力做到敏銳地發(fā)現(xiàn)、深刻地認識各種矛盾，進而在教學(xué)中科學(xué)合理地暴露、“創(chuàng)設(shè)”甚至“激化”矛盾，以幫助學(xué)生在解決矛盾的過程中發(fā)展自己的認知結(jié)構(gòu)、提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這可以充分體現(xiàn)出教師的專業(yè)水平、教學(xué)能力與教學(xué)智慧.

“函數(shù)的單調(diào)性”是反映函數(shù)變化規(guī)律的一個最基本的性質(zhì)，是學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)概念后研究的第一個函數(shù)性質(zhì)，也是學(xué)生在高中階段遇到的第一個用數(shù)學(xué)符號語言刻畫的概念，對學(xué)生進一步學(xué)習(xí)函數(shù)的其它性質(zhì)具有示范和引領(lǐng)作用.本節(jié)課匯集了數(shù)學(xué)教學(xué)的諸多矛盾，如何在教學(xué)中處理好這些矛盾，特別是其中的主要矛盾，對每個數(shù)學(xué)教師都是一項極具挑戰(zhàn)性的任務(wù).筆者認為，“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)，關(guān)鍵是要深刻認識、科學(xué)處理以下“三個矛盾”.1 “上升”、“下降”、“單調(diào)”等名詞的數(shù)學(xué)意義與學(xué)生的生活理解之間的矛盾

“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)，通常是從現(xiàn)實生活入手——展示某地某天的氣溫變化圖、舉出生活中描述“升降”變化規(guī)律的成語（如蒸蒸日上、每況愈下、此起彼伏）并畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象等，然后讓學(xué)生觀察得到：函數(shù)圖象有的呈上升趨勢，有的呈下降趨勢，有的在一個區(qū)間內(nèi)呈上升趨勢，而在另一個區(qū)間內(nèi)呈下降趨勢，此時教師指出：函數(shù)圖象的“上升”“下降”反映了函數(shù)的一個基本性質(zhì)——單調(diào)性，接下來引導(dǎo)學(xué)生用自然語言進行描述，并體驗單調(diào)性是函數(shù)的局部特征（教師可在此處提前介紹“增函數(shù)”、“減函數(shù)”、“單調(diào)區(qū)間”等名詞）.

這里，“上升”、“下降”、“單調(diào)”的數(shù)學(xué)意義與學(xué)生在日常生活中的理解有一定的“矛盾”：在生活中，若從A到B是“上升”，則從B到A就是“下降”，如同“上坡”“下坡”那樣，僅僅考慮了鉛垂方向；而在數(shù)學(xué)中，若x增大時y也隨之增大，則稱函數(shù)y=f（x）“上升”，若x增大時y隨之減小，則稱函數(shù)y=f（x）“下降”，是水平與鉛垂這兩個方向的“合成”.在生活中，“單調(diào)”是指“重復(fù)而缺少變化”；而在數(shù)學(xué)中，“單調(diào)”是指“隨著自變量的增大，函數(shù)值始終增大或始終減小”，是不斷變化的.對此，有些學(xué)生可能會因區(qū)分不清而產(chǎn)生錯誤理解.例如，對于函數(shù)y=x2（x≥0），有學(xué)生認為：x由小到大時，y是“上升”的，x由大到小時，y是“下降”的；又如，對于函數(shù)y=2，有學(xué)生認為它是“單調(diào)”的，理由是“y始終沒有變化”.

因此，在本節(jié)課的教學(xué)中，教師應(yīng)明確地指導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)名詞與日常概念區(qū)分開：

（1）對于同一段函數(shù)圖象來說，在數(shù)學(xué)上它究竟是“上升”還是“下降”，應(yīng)該是確定的，不能產(chǎn)生歧義.因此，我們選擇x軸正方向作為參照，從左往右，沿著圖象“策馬前行”，函數(shù)圖象的“上升”“下降”就有了統(tǒng)一的規(guī)則和統(tǒng)一的結(jié)論；

（2）數(shù)學(xué)上的“單調(diào)”，其本身也含有“重復(fù)而缺少變化”的意味，但它不是指函數(shù)值始終保持不變，而是指函數(shù)在某個區(qū)間“上升”“下降”（或“增加”“減少”）具有不變的規(guī)律性，反映的是一種“變中的不變性”，當(dāng)然也顯得“單調(diào)”.

2 學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)和認知習(xí)慣與新知學(xué)習(xí)的必要性之間的矛盾

我們知道，“精確定量思維方式”是數(shù)學(xué)教育所能給予學(xué)生的最重要和最基本的數(shù)學(xué)素質(zhì)，也是培養(yǎng)學(xué)生理性精神的最好體現(xiàn).在高中階段，“函數(shù)的單調(diào)性”定義之所以要進一步符號化（形式化），正是基于數(shù)學(xué)精確化、嚴謹性的要求.只有這樣，學(xué)生才可以通過準(zhǔn)確的計算進行推理論證，以保證結(jié)論的嚴密性，在此過程中逐漸培養(yǎng)并形成“算法的思維”.

然而，學(xué)生在初中已經(jīng)接觸過一次、二次、反比例函數(shù)，對函數(shù)的單調(diào)性已經(jīng)初步有了直觀形象的認識：圖象從左往右上升（y隨x的增大而增大）是增函數(shù)，圖象從左往右下降（y隨x的增大而減?。┦菧p函數(shù).他們會覺得這種定義通俗易懂、易于接受，用它解決函數(shù)的單調(diào)性問題時也沒遇到過什么困難，進而產(chǎn)生疑問：為什么還要費盡周折地去學(xué)習(xí)符號化（形式化）定義呢？豈不是“多此一舉”！學(xué)生一旦在心理上排斥新知，那么教與學(xué)的效果都將大打折扣，這是一個很重要的問題.

因此，在學(xué)習(xí)抽象的定義之前，教師應(yīng)針對性地設(shè)置“認知沖突”，以便讓學(xué)生充分體驗到學(xué)習(xí)新知的必要性，增強研究的興趣和積極主動性.例如，可讓學(xué)生依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的圖象特征或自然語言描述，嘗試判斷函數(shù)y=x+1x在[1，+∞）內(nèi)的單調(diào)性.由于學(xué)生對該函數(shù)的圖象性質(zhì)并不熟悉，因此無法判斷函數(shù)圖象呈現(xiàn)什么樣的變化趨勢，也難以根據(jù)函數(shù)解析式描述其變化規(guī)律.此時，學(xué)生就會自然意識到自己知識上的欠缺，認識到用精確的數(shù)學(xué)語言刻畫定義的必要性，從而進入一種“憤悱狀態(tài)”，產(chǎn)生較強勁的學(xué)習(xí)動力.

3 學(xué)生現(xiàn)有的思維水平與函數(shù)單調(diào)性定義的思維要求之間的矛盾

這是本節(jié)課教學(xué)的核心矛盾.剛進入高一的學(xué)生，其思維處于從經(jīng)驗型水平向理論型水平轉(zhuǎn)變的階段，仍然偏于簡單化、直 觀化，邏輯思維水平不高，抽象概括能力不強.函數(shù)單調(diào)性的定義，是數(shù)學(xué)概念形式化的典型案例，具有高度的抽象性.從“隨著x增大，y也增大”這一自然語言轉(zhuǎn)換到“對于某區(qū)間上任意的x1<；x2，有f（x1）<；f（x2）”這一數(shù)學(xué)符號語言，跳躍性較大，學(xué)生非常不習(xí)慣，特別是為什么要用“任意”二字，在區(qū)間上“任意”取兩個大小不等的x1<；x2，通過比較f（x1）與f（x2）的大小來刻畫函數(shù)的單調(diào)性，學(xué)生更是感到難以理解，容易產(chǎn)生思維障礙.

為此，教師應(yīng)精心設(shè)置一系列問題，讓學(xué)生充分參與函數(shù)單調(diào)性定義的符號化過程，感悟數(shù)學(xué)的研究方法，積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.首先，要緊緊抓住新舊知識間的內(nèi)在聯(lián)系，使得形式化定義是在文字語言描述的基礎(chǔ)上自然“生長”出來的，而不是“天上掉下個林妹妹”.其次，對于單調(diào)性概念中“自變量不可能被窮盡”這一本質(zhì)（也是難點），應(yīng)及時喚醒學(xué)生已有經(jīng)驗，使他們自然想到用“任意”突破“無限”.最后，對于學(xué)生中出現(xiàn)的錯誤認識，應(yīng)引導(dǎo)他們結(jié)合具體例子（最好是由學(xué)生自己舉出）、分別用圖形語言和文字語言進行辨析，以逐步形成對概念正確、全面而深刻的理解.

以下是筆者施教這一環(huán)節(jié)時的具體設(shè)計：

問題1 如何用符號化的數(shù)學(xué)語言來表述“當(dāng)x增大時，函數(shù)值f（x）隨之增大”？

教師引導(dǎo)學(xué)生分析其中的關(guān)鍵詞“增大”的含義及其符號表示，得出：增大，刻畫的是一種相對性，說明第二個量比第一個量大，它是兩個數(shù)值之間的大小比較.因此，可將x的第一個取值記為x1，第二個值記為x2，則將文字語言“當(dāng)x增大時，函數(shù)值f（x）隨之增大”用符號語言表示即為“當(dāng)x1<；x2時，f（x1）<；f（x2）”.

問題2 能否取滿足x1<；x2的若干組具體數(shù)值，只要驗證相應(yīng)的f（x1）<；f（x2）均成立，就可以斷定函數(shù)f（x）的單調(diào)性？

教師應(yīng)盡量放手讓學(xué)生思考討論，若學(xué)生作肯定回答，則追問“為什么”；

若學(xué)生作否定回答，則讓其舉出反例，以不斷完善學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，必要時教師應(yīng)進行引導(dǎo)：

以函數(shù)f（x）=x2（x∈R）為例，由于自變量x的取值“無限”，因此，不論驗證多少次也無法窮盡.雖然當(dāng)-1<；2<；3<；…時，有f（-1）<；f（2）<；f（3）<；…，但這并不能保證f（x）=x2（x∈R）的圖象從左往右始終“上升”.可見，具體驗證是不可靠的.

問題3 在此之前，你有沒有遇到過“無法窮盡”的情況？當(dāng)時是怎么處理的？

教師引導(dǎo)學(xué)生回憶“子集”的證明方法：設(shè)A、B是兩個無窮集合，要證明AB，逐一驗證A中的每一個元素都屬于B是不可能的，于是，為了突破“無限”這個障礙，就一般性地“任取”一個元素x∈A，只要能證明x∈B就行了.

至此，學(xué)生不難理解，在函數(shù)f（x）的單調(diào)性中，x1、x2也應(yīng)該是“任意”的.

問題4 設(shè)區(qū)間D是函數(shù)f（x）的定義域I內(nèi)的某個區(qū)間，如何用x1，x2，f（x1），f（x2）來刻畫函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)、減函數(shù)呢？

學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)符號語言表達單調(diào)增（減）函數(shù)的定義，師生共同修正.在此過程中，學(xué)生可能會有一定的模仿的成分，這也是一種內(nèi)化的過程，對初學(xué)者來說是正常的，也是必要的.

問題5 請你嘗試利用上述定義判斷函數(shù)y=x+1x在[1，+∞）內(nèi)的單調(diào)性.

這是對前述“遺留問題”的呼應(yīng)，由學(xué)生盡量獨立完成，教師可在“作差”、“變形”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)適時予以指導(dǎo)，解決該問題后，師生共同概括出用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟.顯然，由之前的“不能”到現(xiàn)在的“能”，既加深了學(xué)生對定義的理解與掌握，也體現(xiàn)了定義的應(yīng)用價值，學(xué)生從中可以獲取成功的學(xué)習(xí)體驗和心理上的滿足感.

問題6 判斷下列說法是否正確，并說明理由.

（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為[0，+∞），若取x1=0，且對于任意的x2>；0，都有f（x2）>；f（0），則f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)；

（2）下圖是三個分段函數(shù)（定義域均為R）的圖象，它們都是R上的增函數(shù)；

（3）反比例函數(shù)y=1x的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）.

篇6

摘要：實施素質(zhì)教育，要求之一就是在教學(xué)中要面向全體學(xué)生。但就目前各校各班的學(xué)生狀況看，就學(xué)習(xí)成績而言，參差不齊，且差異較大。那么，在課堂教學(xué)中，如何設(shè)計教學(xué)過程，才能真正體現(xiàn)面向全體，才能使不同層次的學(xué)生都得到發(fā)展和開發(fā)，都能獲得較大的收益，這就是我們在課堂教學(xué)中必須認真考慮的一個問題?！暗推瘘c、多層次”教學(xué)法，給出了一種嘗試。

關(guān)鍵詞：低起點、多層次、面向全體。

一、問題的提出：

據(jù)大連市現(xiàn)行的初升高招生政策，即使是重點高中，每屆學(xué)生的入學(xué)成績也是參差不齊，且成績差異較大。即對高一新生而言，原有基礎(chǔ)不等，又由于初升高試題重考察學(xué)生能力不夠，使得有些靠初中用功學(xué)習(xí)而升入重點高中的學(xué)生，因高中學(xué)習(xí)理性要求較初中強或因?qū)W習(xí)方法不當(dāng)而不適應(yīng)，又要產(chǎn)生一些入學(xué)成績較高不適應(yīng)高中學(xué)習(xí)的成績差生，而實施素質(zhì)教育要求在教學(xué)中要面向全體學(xué)生，那么，如何設(shè)計教學(xué)過程，才能真正體現(xiàn)這一點呢？對此，我做了“低起點、多層次”教學(xué)試驗，收到了較好的效果。

二、“低起點、多層次”及其做法

所謂“低起點”，就是在分析教學(xué)內(nèi)容和了解學(xué)生的基礎(chǔ)上，適當(dāng)放低教學(xué)過程的起點，使全班學(xué)生從教學(xué)過程開始，都能進入到教學(xué)活動中去。

所謂“多層次”，就是在分析教材知識結(jié)構(gòu)與學(xué)生認識發(fā)展過程的基礎(chǔ)上，將教學(xué)內(nèi)容及其所要達到的教學(xué)目標(biāo)分解為若干個由低到高的梯度較小而又層次分明的問題，使絕大多數(shù)學(xué)生都能在這些問題的引導(dǎo)下，一步一個臺階上到本節(jié)教學(xué)所要達到的基本目標(biāo)，同時又使學(xué)習(xí)基礎(chǔ)好的學(xué)生能上到盡可能高的層次，達到較高的教學(xué)目標(biāo)。

“低起點、多層次”教學(xué)思想用一句話來表示就是：適當(dāng)放低教學(xué)起點，適當(dāng)增多教學(xué)層次，盡可能提高課堂效益。這種做法，尤其適用于專題教學(xué)和拓寬引用方面的教學(xué)。

具體做法是：

（一）分析與新課相關(guān)的舊知識有哪些，了解差生對這些舊知識掌握情況。從學(xué)生實際出發(fā)，確定本節(jié)課教學(xué)過程的起點，一般說來，這個起點要比傳統(tǒng)教學(xué)過程起點低，使成績差生都能接受。上課時，從這個適當(dāng)放低了的起點出發(fā)，把全班學(xué)生都吸引到教學(xué)活動中來。

（二）剖析教學(xué)內(nèi)容及其要達到的教學(xué)目標(biāo)的層次和學(xué)生認識發(fā)展過程的階段結(jié)構(gòu)，按照由低到高、由淺入深、由單一到綜合的順序，安排教學(xué)層次，包括教師講課的層次和學(xué)生活動的層次。

（三）根據(jù)教學(xué)層次安排，設(shè)計或選配相應(yīng)的啟發(fā)性問題、例題和練習(xí)題，使之形成梯度較小，層次分明的臺階，上課時，教師引導(dǎo)學(xué)生沿著這些臺階逐步掌握本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，達到自己力所能及的目標(biāo)。

（四）對于學(xué)生可能出現(xiàn)的困難和較高層次的問題，在備課時要準(zhǔn)備補充性問題，以便使學(xué)生“啟而不發(fā)”時，再上一個臺階，讓學(xué)生能借助這個臺階攀上教學(xué)的較高層次。

（五）上課時注意學(xué)生的反饋信息，根據(jù)學(xué)生認識過程發(fā)展的實際情況及時調(diào)整某些不完全符合實際的教學(xué)層次，同時注意掌握各教學(xué)層次的節(jié)奏使其與大多數(shù)學(xué)生相適應(yīng)。

（六）每節(jié)課都要安排有盡可能高的層次問題，作為機動內(nèi)容，供學(xué)習(xí)基礎(chǔ)好的學(xué)生研究，如果課堂時間不夠，就留給學(xué)生課外研究。

三、“低起點、多層次”課例：

課題：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

教學(xué)目的：

l、使學(xué)生進一步掌握函數(shù)單調(diào)性定義；

2、使學(xué)生初步掌握求函數(shù)單調(diào)區(qū)的方法；

3、使學(xué)生了解復(fù)合函數(shù)及其單調(diào)性。

起點：己掌握的函數(shù)圖象的作法及函數(shù)單調(diào)性定義。

教學(xué)過程：

l、復(fù)習(xí)：

（l）函數(shù)單調(diào)性的定義及其主要作用：用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的單調(diào)性的步驟；

（2）判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的單調(diào)性已知道的方法（①定義；②圖象：）門）單調(diào)區(qū)間與函數(shù)定義域的關(guān)系；

（4）單調(diào)函數(shù)的圖象特征。

2、引入新課：

通過上節(jié)學(xué)習(xí)，上要解決了用單調(diào)性的定義證明某函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性問題，在此基礎(chǔ)上，這節(jié)來學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的另一類問題——求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

例題：

(l) 作出函數(shù)f(x)－X－X’（X∈R）的圖象，并根據(jù)圖象指出它的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性。

分析：根據(jù)學(xué)生掌握的作函數(shù)圖象的能力，略加引導(dǎo)學(xué)生便會作出圖象，從而即可寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

說明：利用函數(shù)圖象可求函數(shù)單調(diào)區(qū)間。

(2) 己知函數(shù)y=f(x)

①求它的定義域；②利用函數(shù)單調(diào)性定義探索它的單調(diào)區(qū)間。

分析：利于②根據(jù)題目要求，則不難知道如何入手。

說明：

l. 求單調(diào)區(qū)間應(yīng)注意的問題（要考慮定義域；單增（或減）區(qū)間不只一個時的寫法）；

2. 利用函數(shù)單調(diào)性定義求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

(3) 己加f(x)、g(x)在R上是增函數(shù)，求證 f[g(x)]在R上也是增函數(shù)，又問f(x)與g(x)在R上一增一減時，結(jié)論如何。

分析：①先通過具體例了說明f[g(x)]的意義，并給出復(fù)合函數(shù)一說；②根據(jù)學(xué)生實際完成這個證明是可行的；③啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生概括出得到的結(jié)論。

l

（4）利用 門）得到的結(jié)論求函數(shù)y一二廠丁 的單調(diào)區(qū)間。

分析：①把所給函數(shù)視為哪兩個函數(shù)的復(fù)合，為什么？

（l“y一 7；2”u—x‘干 1，會求它們的單調(diào)廠問）

②求函數(shù)單調(diào)區(qū)問是求訟的變化范作I？如何山X的4刨飼求得X的范m。說明：利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)岡。

3、小結(jié)：

（1）以上介紹了求函數(shù)單調(diào)廠問的＿斥十基本方法（圖象、定義、復(fù)合函數(shù)），對于只體題目，要注意題目要求（要求證明的最好用定義）沒要求的要從方便考慮。

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)注意的問題。

4、練習(xí)：分層次給出，考慮篇幅，略。

5、作業(yè)：分必作題和選作題，略。

四、收獲與體會

通過開展“低起點、多層次”教學(xué)實踐，已取得較好效果。首先是激發(fā)了學(xué)生的興趣，促進了成績差生學(xué)習(xí)成功，使差生建立了自信心、自尊心、勝任感、成功欲和學(xué)習(xí)興趣，從而為提高整體水平掃清了障礙；其次提高了課堂的教學(xué)效率，使不同程度的學(xué)生學(xué)習(xí)成績有所提高。再次是使本人摸索到了備課和上課的規(guī)律，能分層次地啟發(fā)學(xué)生思考問題，教和學(xué)密切配合，課堂教學(xué)質(zhì)量有所提高。

體會是：

l、與傳統(tǒng)教學(xué)相比較，“低起點、多層次”教學(xué)有以下好處：①由于起點低，學(xué)生學(xué)有所得，逐漸對本學(xué)科的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了興趣，為實現(xiàn)成績差生學(xué)習(xí)上的轉(zhuǎn)化創(chuàng)造了條件；②由于增多了教學(xué)層次，減緩了坡度，從而減少了差生學(xué)習(xí)上的困難，使他們能保持學(xué)習(xí)的積極性；③由于教學(xué)層次分明，一步一個臺階，便于啟發(fā)學(xué)生思考，促進了教學(xué)方法的改進；④由于實行多層次安排教學(xué)，避免了簡單重復(fù)，增大了課堂容量，提高了課堂效益；⑤由于教學(xué)層次的科學(xué)安排，隨著教學(xué)活動由低到高的發(fā)展，學(xué)生的學(xué)習(xí)與探究能力相應(yīng)地得到提高；③由于每節(jié)都安排了盡可能高的層次問題，優(yōu)生也受益匪淺；③實行“低起點、多層次”教學(xué)，促進了教師專研教材、了解學(xué)生，有利于教師掌握備課和上課的規(guī)律，對培養(yǎng)和提高教師有促進作用；③實行“低起點、多層次”教學(xué)，把對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)寓于教學(xué)的層次安排之中，在幫助學(xué)生掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的科學(xué)方法方面有一定的作用。

2、“低起點、多層次”教學(xué)思想是面向全體學(xué)生，因材施教，貫徹啟發(fā)式原則，實施素質(zhì)教育等教學(xué)思想的具體化，解決課堂教學(xué)中統(tǒng)一施教與學(xué)生程度參差不齊的矛盾，能使教學(xué)過程更加符合學(xué)生的認識規(guī)律，還能很好地發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用與學(xué)生的主體作用，使教與學(xué)更加緊密地協(xié)調(diào)配合，從而提高課堂教學(xué)的效益，使素質(zhì)教育在教學(xué)中得到很好地實施。

主要參考文獻：

l、《精心設(shè)計問題，提高教學(xué)質(zhì)量》，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2000年l～2期

2、《教學(xué)方法》和《教學(xué)模式》——教師教學(xué)基本功

3、李興懷《素質(zhì)教育與數(shù)學(xué)教學(xué)》，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，1996年6期

篇7

一、 關(guān)鍵點1：必須使學(xué)生深刻理解并把握函數(shù)概念的本質(zhì)

實踐表明，由于函數(shù)概念的抽象性，“變量”概念的復(fù)雜性以及函數(shù)符號的抽象性，使函數(shù)概念成為中學(xué)生感到最難學(xué)的數(shù)學(xué)概念之一. 學(xué)習(xí)了集合理論后，教材運用集合與映射的觀點重新定義了函數(shù)：函數(shù)是非空數(shù)集上的映射. 而映射是一對一，多對一的對應(yīng). 于是在康托集合論的基礎(chǔ)上來理解函數(shù)，別有一片天地. 之前的函數(shù)概念：在某一運動變化過程中有兩個變量x，y，當(dāng)x在某一給定范圍內(nèi)任意取值時，在某一對應(yīng)法則f的作用下，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么y就叫做x的函數(shù)，其中x叫自變量，x的取值范圍構(gòu)成的集合就是定義域，y的對應(yīng)值的集合是值域，這種運動變化觀點下的函數(shù)定義稱為傳統(tǒng)定義，而現(xiàn)在建立在集合與映射觀點之上的函數(shù)定義稱之為近代定義.

事實上，函數(shù)的本質(zhì)是兩個變量之間的一種特殊的對應(yīng)關(guān)系，有三個要素：定義域，值域和對應(yīng)法則，通?？杀硎緸閒：AC，A代表定義域，C代表值域，f指的是對應(yīng)法則，函數(shù)就是建立在兩個非空數(shù)集A，C上的一種對應(yīng)關(guān)系，有判別兩個函數(shù)是否表示同一函數(shù)的問題. 如 ①f（x）=x，g（t）=■；雖然表示自變量的字母不一樣，但因為g（t）=■=t，和f（x）=x的定義域和對應(yīng)法則都一樣，因而值域肯定一樣，g（t）與f（x）表示同一函數(shù)；②f（x）=■，g（x）=x+2；因為②中的兩函數(shù)雖然化簡后的解析式一樣，但因定義域不同，故就不是同一函數(shù)；③f（x）=x，g（x）=■；這兩個函數(shù)，雖然定義域相同，但g（x）=x，與f（x）=x的對應(yīng)法則不同，也不是同一個函數(shù). 三要素中只要有一項不同就不是同一函數(shù)，這種題型有助于我們理解函數(shù)的本質(zhì).

對于一個具體的函數(shù)關(guān)系，我們首先要把握一個重要的原則，就是定義域優(yōu)先. 定義域是函數(shù)的一條生命線，在求函數(shù)值域，判斷函數(shù)的周期性或奇偶性時必須首先考慮函數(shù)的定義域. 如求f（x）=loga（x2-2x-3）的單調(diào)區(qū)間，學(xué)生們常常會忽視定義域，有時在求解過程中還要注意定義域的變化.

例1 已知f（x+■）=x2+■，求f（x-1）.

錯解：由已知得：f（x+■）=（x+■）2-2.

f（x）=x2-2.

f（x-1）=（x-1）2-2=x2-2x-1.

剖析：在使用直接拼配法或換元法求函數(shù)解析式時，沒有考慮定義域變化.

正解：由已知得f（x+■）=（x+■）2-2.

x+■≥2，f（x）=x2-2（x≥2）.

從而. f（x-1）=（x-1）2-2=x2-2x-1（x≥3或x≤-1）

分段函數(shù)的學(xué)習(xí)更能幫助我們理解函數(shù)的本質(zhì)，分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是多個函數(shù).

例2 求分段函數(shù)y=2x+3，x≥0，x2-1，x

錯解：當(dāng)x≥0時，y=2x+3≥3；當(dāng)x-1. 故原函數(shù)的值域為：當(dāng)x≥0時，值域為y■≥3；當(dāng)x-1.

剖析：分段函數(shù)是借助于幾個不同的表達式來表示的，它是一個函數(shù)，而不能誤認為是幾個函數(shù)，在處理分段函數(shù)的問題時，要分段處理，其函數(shù)的值域應(yīng)是各個分段函數(shù)的并集，同時各個分段的“斷點”要注意處理好.

正解：x≥0時，y=2x+3≥3；當(dāng)x-1，故原函數(shù)的值域為y■>-1.

函數(shù)概念的學(xué)習(xí)是一個循序漸進的過程，為了切實使學(xué)生理解函數(shù)的概念我們應(yīng)當(dāng)做到如下三點.

1. 注重學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念的心理建構(gòu)過程

建構(gòu)主義教學(xué)理論認為：應(yīng)把學(xué)習(xí)看成是學(xué)生主動的建構(gòu)活動，教學(xué)應(yīng)與一定的知識、背景即情境相聯(lián)系；在實際情境下進行教學(xué)，可以使學(xué)生利用已有的知識與經(jīng)驗同化和索引出當(dāng)前要教學(xué)的新知識，這樣獲取的知識，不但便于保持，而且易于遷移到陌生的問題情境中. 在函數(shù)概念教學(xué)中，可以適當(dāng)采用引導(dǎo)討論，注重分析、啟發(fā)、反饋，先從實際問題引入概念，然后揭示函數(shù)概念的共同特性：（1）問題中所研究的兩個變量是相互聯(lián)系的. （2）其中一個變量變化時，另一個變量也隨之發(fā)生變化. （3）對第一個變量在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值，第二個變量都有唯一確定的值與它對應(yīng). 同時從閱讀、練習(xí)中鞏固概念，再從討論、反饋中深化概念，讓學(xué)生自己完成從具體到抽象的過程，避免概念教學(xué)的抽象與枯燥，使學(xué)生深入理解函數(shù)的實質(zhì)，從而讓學(xué)生較好地完成函數(shù)概念的建構(gòu).

2. 注重函數(shù)概念與信息技術(shù)的適時適度性結(jié)合

剛進高中的高一學(xué)生，思維較為單一，認識比較具體，注意不夠持久. 并且高中數(shù)學(xué)比較抽象，學(xué)生教學(xué)普遍感到困難. 因此在教學(xué)過程中應(yīng)創(chuàng)設(shè)一些知識情境，借助現(xiàn)代教學(xué)手段多媒體進行教學(xué)，讓學(xué)生在輕松愉快的氛圍中進行學(xué)習(xí). 應(yīng)用信息技術(shù)時要根據(jù)教學(xué)需要，學(xué)生需求和課堂教學(xué)過程中出現(xiàn)的情況適時使用，并且運用要適度，掌握分寸，避免過量信息鈍化學(xué)生的思維. 函數(shù)概念教學(xué)中，教師可以借助于幾何畫板，圖形計算器等現(xiàn)代教學(xué)工具輔助教學(xué)，鼓勵學(xué)生上機操作，觀察函數(shù)圖象的變化過程，引導(dǎo)學(xué)生交流與討論，更好地教學(xué)和理解函數(shù).

3. 注重函數(shù)概念的實際應(yīng)用

抽象的函數(shù)概念必須經(jīng)過具體應(yīng)用才能得到深刻理解，生活中許多問題都是通過建立函數(shù)模型而解決的. 在函數(shù)概念教學(xué)中，可以通過函數(shù)性質(zhì)比較大小，解不等式，證明不等式等活動加強理解. 同時引入具體的函數(shù)生活實例，如銀行利率表、股市走勢圖，讓學(xué)生記錄一周的天氣預(yù)報，列出最高氣溫與日期的函數(shù)關(guān)系等. 這樣學(xué)生既受到思想方法的訓(xùn)練，又對函數(shù)概念有了正確的認識，使學(xué)生相應(yīng)的數(shù)學(xué)能力得到充分的培養(yǎng)與發(fā)展.

二、關(guān)鍵點2：必須使學(xué)生正確理解和刻畫函數(shù)的圖象

函數(shù)的圖象不僅是函數(shù)表示的一種方法，更是函數(shù)性質(zhì)的外在表現(xiàn)，通過圖象可以幫助我們認清和理解函數(shù)的性質(zhì)，教學(xué)中必須明確函數(shù)的圖象都是滿足一定條件的點所構(gòu)成，本質(zhì)上就是以x作為橫坐標(biāo)，y作為縱坐標(biāo)的所有點構(gòu)成的曲線、折線或孤立的點. 同時必須明確的是，并不是所有的函數(shù)圖象都是連續(xù)的或是光滑的，有的函數(shù)圖象就是由一些孤立的點組成的，甚至有的函數(shù)圖象根本就畫不出來（如狄里克雷函數(shù)）.

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其作用在此不作贅述，這里只強調(diào)作圖的準(zhǔn)確性. 也就是說利用這種數(shù)學(xué)方法解題時，前提是圖象畫得必須正確. 如圖1，y=sinx，x∈（-■，■）和 y=tanx，x∈（-■，■）的圖象不是左圖這樣的，而應(yīng)如右圖所畫. 如畫圖不準(zhǔn)，數(shù)形結(jié)合就會得出sinx=tanx x∈（-■，■）解的個數(shù)為3的錯誤.

三、關(guān)鍵點3：必須使學(xué)生深刻理解函數(shù)的性質(zhì)

平時必須注意函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)，舍得在函數(shù)性質(zhì)的新授課上花時間、花精力. 讓學(xué)生真正理解函數(shù)性質(zhì)的定義，什么樣的函數(shù)才有這樣的性質(zhì)，應(yīng)用的條件和范圍等，下面以單調(diào)性的教學(xué)為例說明.

1. 要使學(xué)生深刻理解單調(diào)性的定義

在函數(shù)的單調(diào)性定義的教學(xué)中，必須盡可能地做到：（1）把函數(shù)單調(diào)性的定義與直觀圖象結(jié)合起來，加深對定義的理解，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法；（2）強調(diào)單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，單調(diào)性是相對于給定區(qū)間的，離開了相應(yīng)的區(qū)間就根本談不上函數(shù)的增減性，不能說函數(shù)在x=5時是遞增的還是遞減的，在強調(diào)局部性的時候也不排斥有些函數(shù)在其定義域內(nèi)都是增函數(shù)，也就是說并不是所有函數(shù)的單調(diào)區(qū)間都不能以并集的形式寫的；（3）厘清定義中的“任意”和“都有”的含義，強調(diào)“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數(shù)的單調(diào)性，而“都有”則是說只要x1

2. 要讓學(xué)生厘清函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)在某一區(qū)間單調(diào)的區(qū)別

例3 函數(shù)y=x2+2ax+1在x∈（-∞，1]上是單調(diào)減函數(shù)，求a的取值范圍.

錯解：因為函數(shù)y=x2+2ax+1在x∈（-∞，1]上是單調(diào)減函數(shù)，所以-a=1，即a=-1.

剖析：錯把函數(shù)在x∈（-∞，1]上單調(diào)遞減理解為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，1]，事實上，當(dāng)a≤-1時，函數(shù)y=x2+2ax+1在（1，-a]上也是單調(diào)減函數(shù). 函數(shù)在某一區(qū)間單調(diào)與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不要混淆.

正解：函數(shù)的對稱軸為x=-a，因為函數(shù)在x∈（-∞，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，a≤-1.

3. 注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

例4 求函數(shù)y=cos（■-2x）的遞增區(qū)間.

錯解：由2kπ≤■-2x≤2kπ（k∈Z），解得-kπ+■≤x≤-kπ+■π（k∈Z）.

y=cos（■-2x）的單調(diào)增區(qū)間為

-kπ+■，-kπ+■π（k∈Z）

剖析：解法忽視了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)則，正確的答案應(yīng)是-kπ-■π，-kπ+■（k∈Z）.

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【摘 要】由函數(shù)圖象觀察、推導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)所必須經(jīng)歷的過程，而在這一過程中，學(xué)生對函數(shù)的理解必然得到有力地促進。本課例就是以指數(shù)函數(shù)為例，教師通過研課——上課——反思——再研課——再上課——再反思的思路對指數(shù)函數(shù)進行深入的研究。從而對如何培養(yǎng)學(xué)生由函數(shù)圖象觀察、推導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)給出一些有益的啟示。

關(guān)鍵詞 課例研究；指數(shù)函數(shù)；同課異構(gòu)；課堂實錄

一、研究背景:

《指數(shù)函數(shù)》這節(jié)課出自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書(北京師范大學(xué)出版社數(shù)學(xué)必修一)。指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是教學(xué)重點，這部分要注重數(shù)形結(jié)合、幾何直觀等數(shù)學(xué)思想方法的滲透。指數(shù)函數(shù)是高中第一個系統(tǒng)的由圖象觀察、推導(dǎo)性質(zhì)的函數(shù)。所以這節(jié)課對于給學(xué)生確立先圖象后性質(zhì)的研究函數(shù)的方法至關(guān)重要。而教師如何培養(yǎng)學(xué)生的這種意識或者說是能力，自然成了我們研究的主題。我們通過研課——上課——反思——再研課——再上課——再反思的思路進行了探索和研究，以期找到一條適合我校學(xué)情的教學(xué)解決方案。

二、研究主題：

培養(yǎng)學(xué)生由函數(shù)圖象觀察、推導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)的能力。

三、教學(xué)實踐：

第一次教學(xué)實踐：

1.上課班級：高一五班

2.學(xué)情分析：我們所面對的學(xué)生大多數(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，理解能力、思維能力、運算能力等方面普遍很低。同時相當(dāng)一部分學(xué)生學(xué)習(xí)信心不足，學(xué)習(xí)的主觀能動性有待加強?；诖宋以诮虒W(xué)中就要立足實際，適當(dāng)降低學(xué)習(xí)內(nèi)容的難度和深度，對學(xué)習(xí)任務(wù)的完成也要降低標(biāo)準(zhǔn)。實際課堂教學(xué)中多關(guān)注學(xué)生的實時反饋，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會思考，激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)的積極性。

3.教學(xué)目標(biāo)：(略)

4.重點、難點：（略）

5.教學(xué)過程設(shè)計：

（1）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知。a舉例：由白紙對折事例，創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)學(xué)生思考。b呈現(xiàn)本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

（2）啟發(fā)誘導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)新知。a據(jù)上一環(huán)節(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出指數(shù)函數(shù)的定義。b教師要求學(xué)生完成相應(yīng)練習(xí)。

（3）深入探究，理解新知。a教師指導(dǎo)學(xué)生完成以3和1/3為底的指數(shù)函數(shù)圖象。b教師對學(xué)生總結(jié)的指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行質(zhì)疑、補充。

課堂實錄：

師：現(xiàn)在我們已經(jīng)有了具體的函數(shù)圖象，并進而推測得出a>1和0<a<1的圖象，現(xiàn)在我們利用以前學(xué)過的有關(guān)函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性的有關(guān)知識填寫《問題導(dǎo)學(xué)案》上的表格，當(dāng)然有些函數(shù)圖象的特點表格沒有列出來，你也可以說。（學(xué)生自主或合作填寫指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)表格，教師巡視指導(dǎo)）師：好了，大家填寫完了沒有？生：填完了。師：現(xiàn)在大家就自由發(fā)言，每一個同學(xué)填一空。生：定義域為R。生：由圖象可知，值域為（0,+∞）。生：觀察圖象的變化趨勢知道a>1時是增函數(shù)，0<a<1時是減函數(shù)。師：函數(shù)的單調(diào)性是我們剛剛學(xué)習(xí)的性質(zhì)，哪位同學(xué)說一下什么是函數(shù)的單調(diào)性？ 生：……師：大家再接著說。生：圖象既不關(guān)于x軸對稱，也不關(guān)于y軸對稱，還不關(guān)于原點對稱。生：圖象過（0,1）。師：大家說得很好，但有些地方?jīng)]有說完整，這樣吧，我們先看大屏幕。

（4）強化訓(xùn)練、鞏固新知。a教師講解例題，并輔導(dǎo)學(xué)生完成相應(yīng)練習(xí)題。b教師下發(fā)當(dāng)堂檢測題。

（5）小結(jié)歸納，拓展新知。教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)的知識點。

（6）布置作業(yè)，內(nèi)化新知。教室布置課外作業(yè)，提出復(fù)習(xí)要求。

6.課后反思：

在教學(xué)實踐中，第四環(huán)節(jié)由于時間問題被臨時取消了。只完成了一二三五環(huán)節(jié)，并且五環(huán)節(jié)的反饋沒有達到預(yù)定目標(biāo)，甚為遺憾。

第二次教學(xué)實踐：

1.上課班級：高一一班

2.教學(xué)過程設(shè)計：

（與第一次課基本一致，略）

課堂實錄：

師：現(xiàn)在我們已經(jīng)有了具體的函數(shù)圖象，而且是具有普遍性質(zhì)的圖象，我們可以用圖象獲得函數(shù)的性質(zhì)，圖象的寬的范圍就是定義域，高的范圍是值域，圖象的變化趨勢就是單調(diào)性，關(guān)注圖象與x,y軸的交點以及圖象上的特殊點和圖象的邊界性。那么現(xiàn)在就請結(jié)合大屏幕上的圖象，填寫《問題導(dǎo)學(xué)案》上的那個表格。（學(xué)生自主或合作填寫指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)表格，教師巡視指導(dǎo)）師：好，現(xiàn)在哪位同學(xué)把你填寫的結(jié)果與大家交流一下。生：觀察圖象寬度知道定義域為R，觀察圖象高度知道值域為[0,+∞）……師：先打斷一下，由剛才這位同學(xué)說的值域，我知道函數(shù)值可以取到0。大家再觀察一下我們剛剛畫的以3和1/3為底的指數(shù)函數(shù)圖象，看看是不是這樣的？另一位同學(xué)：函數(shù)值是不能得0的，因為3的任何次冪都不為0，所以值域中不包含0，那個應(yīng)是左開右閉區(qū)間。師：這位同學(xué)說的很不錯，指數(shù)函數(shù)的值域中確實不包含0。你再接著說吧。生：觀察圖象的變化趨勢知道a>1時是增函數(shù)，0<a<1時是減函數(shù)。生：圖象必過（0,1）。師：這又是為什么呢？你再給大家解釋一下。生：因為任何數(shù)的0次冪都是1。師：除了表格上列的一部分性質(zhì)外，大家再想一下還有沒有其他的性質(zhì)。……老師提示一下如這兩個圖象有沒有關(guān)于某個點或線對稱??？生：圖象不具有對稱性。師：再看看圖象因為x的取值不同而被限制在特定區(qū)域。（學(xué)生間交流）生：我來說，a>1時，x<0時圖象在（0,1）之間，x>0時函數(shù)值都大于1。同樣0<a<1時也有類似的性質(zhì)。師：加上這位同學(xué)的補充，我們總結(jié)的已經(jīng)比較完整了，還有個別地方，一會兒我們再做補充。現(xiàn)在大家一同和我看大屏幕。（教師呈現(xiàn)最終結(jié)果，并稍作補充）

3.課后反思：

本節(jié)課在第一次上課的基礎(chǔ)上進行了一些修正，教師只起到了啟發(fā)、誘導(dǎo)、點撥的作用，學(xué)生才是教學(xué)的主體。

四、本次課例研究總結(jié)：

掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì)是我們研究函數(shù)的根本，本次的課例研究就是在試圖探索出一條畫圖象——學(xué)圖象——學(xué)性質(zhì)——用性質(zhì)的函數(shù)學(xué)習(xí)之路。從最終的效果來看，我們達到了一定的目的，對于如何讓學(xué)生學(xué)會由函數(shù)圖象觀察、推導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)有了一定的心得體會。

參考文獻

[1]韓立福.《新課程有效課堂教學(xué)行動策略》.北京：首都師范大學(xué)出版社.2006

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高考數(shù)學(xué)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)公式

(1)定義域、值域

指數(shù)函數(shù)

應(yīng)用到值 x 上的這個函數(shù)寫為 exp(x)。還可以等價的寫為 ex，這里的 e 是數(shù)學(xué)常數(shù)，就是自然對數(shù)的底數(shù)，近似等于 2.718281828，還叫做歐拉數(shù)。

一般形式為y=a^x(a>0且≠1) (x∈R);

定義域：x∈R，指代一切實數(shù)(-∞，+∞)，就是R;

值域：對于一切指數(shù)函數(shù)y=a^x來講。他的a滿足a>0且a≠1，即說明y>0。所以值域為(0,+∞)。a=1時也可以，此時值域恒為1。

對數(shù)函數(shù)

一般地，函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，也就是說以冪(真數(shù))為自變量，指數(shù)為因變量，底數(shù)為常量的函數(shù)，叫對數(shù)函數(shù)。

其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，+∞)。它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，可表示為x=ay。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。

(2)單調(diào)性

對于任意x1，x2∈D

若x1

若x1f(x2)，稱f(x)在D上是減函數(shù)

(3)奇偶性

對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任一x，若f(-x)=f(x)，稱f(x)是偶函數(shù)

若f(-x)=-f(x)，稱f(x)是奇函數(shù)

(4)周期性

對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任一x，若存在常數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)，則稱f(x)是周期函數(shù) (1)分數(shù)指數(shù)冪

正分數(shù)指數(shù)冪的意義是

負分數(shù)指數(shù)冪的意義是

(2)對數(shù)的性質(zhì)和運算法則

loga(MN)=logaM+logaN

logaMn=nlogaM(n∈R)

指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)

(1)y=ax(a>0，a≠1)叫指數(shù)函數(shù)

(2)x∈R，y>0

圖象經(jīng)過(0，1)

a>1時，x>0，y>1;x<0，0< p="">

a> 1時，y=ax是增函數(shù)

(2)x>0，y∈R

圖象經(jīng)過(1，0)

a>1時，x>1，y>0;0

a>1時，y=logax是增函數(shù)

指數(shù)方程和對數(shù)方程

基本型

logaf(x)=b f(x)=ab(a>0，a≠1)

同底型

logaf(x)=logag(x) f(x)=g(x)>0(a>0，a≠1)

換元型 f(ax)=0或f (logax)=0

 

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篇10

對高一新生來講，學(xué)習(xí)環(huán)境是全新的，新教材、新同學(xué)、新教師、新集體，學(xué)生需要有一個由陌生到熟悉的適應(yīng)過程。另外，經(jīng)過緊張的中考復(fù)習(xí)，考取了自己理想中的高中，必有些學(xué)生會產(chǎn)生“松口氣”的想法，入學(xué)后無緊迫感。也有些學(xué)生有畏懼心理，他們在入學(xué)前就耳聞高中數(shù)學(xué)很難學(xué)，高中數(shù)學(xué)課一開始也確有些難理解的抽象概念，如映射、集合等，使他們從開始就處于被動局面。

二、課時的變化

在初中，由于內(nèi)容少，題型簡單，課時較充足。因此課容量小，進度慢，對重難點內(nèi)容均有充足時間反復(fù)強調(diào)，對各類習(xí)題的解法，教師有足夠的時間進行舉例示范，學(xué)生也有足夠的時間進行鞏固。而到高中，由于知識點增多，靈活性加大，課時(自習(xí)輔導(dǎo)課)減少，課容量增大，進度加快，對重難點內(nèi)容沒有更多的時間強調(diào)，對各類題型也不可能講全講細以及鞏固強化。這也使高一新生開始不適應(yīng)高中學(xué)習(xí)而影響成績的提高。

三、教學(xué)內(nèi)容的銜接

首先，初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容通俗具體，多為常量，題型少且簡單；而高中數(shù)學(xué)內(nèi)容抽象，多研究變量、字母，不僅注重計算，而且還注重理論分析，與初中數(shù)學(xué)相比增加了難度。其次，由于近幾年教材內(nèi)容的調(diào)整，雖然初高中教材都降低了難度，但相比之下，初中降低的幅度大，而高中階段由于受高考的限制，教師都不敢降低難度，便造成了高中數(shù)學(xué)實際難度沒有降低的現(xiàn)實。因此，從一定意義上講，調(diào)整后的教材不僅沒有縮小初高中教材內(nèi)容的難度差距，反而加大了。此外相對初中數(shù)學(xué)所富有“生活趣味” 來講，高中數(shù)學(xué)則更有“數(shù)學(xué)味”。高中數(shù)學(xué)第一章就是集合、簡易邏輯等知識，緊接著就是函數(shù)問題。函數(shù)單調(diào)性的證明又是一個難點，立體幾何對空間想象能力的要求又很高。教材概念多、符號多、定義嚴格，論證要求又高。初中刪減的內(nèi)容都需要在高中階段補充上，因而增加了高中學(xué)生的課業(yè)負擔(dān)，這些都是升入高中后學(xué)生數(shù)學(xué)成績下降的客觀原因。

四、教學(xué)方法的銜接

初、高中教學(xué)方法上的差異也是高一新生成績下降的一個重要原因。初中數(shù)學(xué)教學(xué)中重視直觀、形象教學(xué)，每學(xué)習(xí)一道例題，都要進行相應(yīng)的練習(xí)，學(xué)生板演的機會較多。

一些重點題目學(xué)生可以反復(fù)練習(xí)，強化學(xué)習(xí)效果。而高中數(shù)學(xué)教學(xué)則更強調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，注重舉一反三，在嚴格的論證和推理上下工夫。高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)往往采用粗線條模式，為學(xué)生構(gòu)建一定的知識框架，講授一些典型 例題，以落實“三基”培養(yǎng)能力。 剛進入高中的學(xué)生不容易適應(yīng)這種教學(xué)方法．聽課時存在思維障礙，難以適應(yīng)快速的教學(xué)推進速度，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)障礙，影響學(xué)習(xí)成績。因此，新高一數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注意加強基本概念、基礎(chǔ)知識的講授，盡量以形象、直觀的方式講解抽象的數(shù)學(xué)慨念。 中國論比如講映射時可舉“某班5O名學(xué)生安排到50張單人課桌的分配方法” 等直觀例子，為引入映射概念創(chuàng)造階梯。由于初中學(xué)生尚未形成嚴格的論證能力，所以在高一證明函數(shù)單調(diào)性時可進行系列訓(xùn)練，讓學(xué)生進行板演，從而及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題。又比如在《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 的教學(xué)中，可以從學(xué)生初中所學(xué)過的“二次函數(shù)的圖像是拋物線”入手，利用學(xué)生的已有的知識存量，引導(dǎo)學(xué)生找到聯(lián)系與區(qū)別，這樣便于學(xué)生對新知識的理解。 通過上述方法，能夠降低教材難度，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，讓學(xué)生逐步適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的正常教學(xué)。

五、學(xué)習(xí)方法的銜接