數(shù)學(xué)教學(xué)論文:高中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)與研究
時(shí)間:2022-11-24 10:41:00
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參數(shù)廣泛地存在于中學(xué)數(shù)學(xué)的各類問(wèn)題中,也是近幾年來(lái)高考重點(diǎn)考查的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。以命題的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)為標(biāo)準(zhǔn),含參數(shù)的問(wèn)題可分為兩種類型,。一種類型的問(wèn)題是根據(jù)參數(shù)在允許值范圍內(nèi)的不同取值(或取值范圍),去探求命題可能出現(xiàn)的結(jié)果,然后歸納出命題的結(jié)論;另一種類型的問(wèn)題是給定命題的結(jié)論去探求參數(shù)的取值范圍或參數(shù)應(yīng)滿足的條件。本文擬就第一類問(wèn)題的解題思想方法――分類與討論作一些探討,不妥之處,敬請(qǐng)斧正。
解決第一類型的參數(shù)問(wèn)題,通常要用“分類討論”的方法,即根據(jù)問(wèn)題的條件和所涉及到的概念;運(yùn)用的定理、公式、性質(zhì)以及運(yùn)算的需要,圖形的位置等進(jìn)行科學(xué)合理的分類,然后逐類分別加以討論,探求出各自的結(jié)果,最后歸納出命題的結(jié)論,達(dá)到解決問(wèn)題的目的。它實(shí)際上是一種化難為易。化繁為簡(jiǎn)的解題策略和方法。
一、科學(xué)合理的分類
把一個(gè)集合A分成若干個(gè)非空真子集Ai(i=1、2、3···n)(n≥2,n∈N),使集合A中的每一個(gè)元素屬于且僅屬于某一個(gè)子集。即
①A1∪A2∪A3∪···∪An=A
②Ai∩Aj=φ(i,j∈N,且i≠j)。
則稱對(duì)集A進(jìn)行了一次科學(xué)的分類(或稱一次邏輯劃分)
科學(xué)的分類滿足兩個(gè)條件:條件①保證分類不遺漏;條件②保證分類不重復(fù)。在此基礎(chǔ)上根據(jù)問(wèn)題的條件和性質(zhì),應(yīng)盡可能減少分類。
二、確定分類標(biāo)準(zhǔn)
在確定討論的對(duì)象后,最困難是確定分類的標(biāo)準(zhǔn),一般來(lái)講,分類標(biāo)準(zhǔn)的確定通常有三種:
(1)根據(jù)數(shù)學(xué)概念來(lái)確定分類標(biāo)準(zhǔn)
例如:絕對(duì)值的定義是:
所以在解含有絕對(duì)值的不等式|logx|+|log(3-x)|≥1時(shí),就必須根據(jù)確定logx,
log(3-x)正負(fù)的x值1和2將定義域(0,3)分成三個(gè)區(qū)間進(jìn)行討論,即0<x<1,
1≤x<2,2≤x<3三種情形分類討論。
例1、已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離為m,到直線L:x=2的距離為n,且m+n=4
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程。
(2)過(guò)原點(diǎn)O作傾斜角為α的直線與點(diǎn)M的軌跡曲線交于P,Q兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)|PQ|的最大值及對(duì)應(yīng)的傾斜角α。
解:(1)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),依題意可得:+=4
根據(jù)絕對(duì)值的概念,軌跡方程取決于x>2還是x≤2,所以以2為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論可
得軌跡方程為:y=y
解(2)如圖1,由于P,Q的位置變化,Q
弦長(zhǎng)|PQ|的表達(dá)式不同,故必須分-1O23x
點(diǎn)P,Q都在曲線y2=4(x+1)以及一點(diǎn)P
在曲線y2=4(x+1)上而另一點(diǎn)在
曲線y2=-12(x-3)上可求得:
從而知當(dāng)或時(shí),
(2)根據(jù)數(shù)學(xué)中的定理,公式和性質(zhì)確定分類標(biāo)準(zhǔn)。
數(shù)學(xué)中的某些公式,定理,性質(zhì)在不同條件下有不同的結(jié)論,在運(yùn)用它們時(shí),就要分類討論,分類的依據(jù)是公式中的條件。
例如,對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的單調(diào)性是分0<a<1和a>1兩種情況給出的,所以在解底數(shù)中含有字母的不等式;如logx>-1就應(yīng)以底數(shù)x>1和0<x<1進(jìn)行分類討論,即:當(dāng)x>1時(shí),,當(dāng)0<x<1時(shí),.
又如,等比數(shù)列前幾項(xiàng)和公式是分別給出的:
所以在解這類問(wèn)題時(shí),如果q是可以變化的量,就要以q為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論。
例2,設(shè)首項(xiàng)為1,公比為q(q>0)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,又設(shè)Tn=,n=1,2,···
求Tn
解:當(dāng)q=1時(shí),Sn=n,Tn=,
當(dāng)q≠1時(shí),Sn=
于是當(dāng)0<q<1時(shí),
當(dāng)q>1時(shí),
綜上所述,
(3)根據(jù)運(yùn)算的需要確定分類標(biāo)準(zhǔn)。
例如:解不等式組
顯然,應(yīng)以3,4為標(biāo)準(zhǔn)將a分為1<a≤3,3<a≤4,a>4三種情況進(jìn)行討論。
例3,解關(guān)于x的不等式組
其中a>0且a≠1。
解,由于不等式中均含有參數(shù)a,其解的狀況均取決于a>1還是a<1,所以1為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類,
(Ⅰ)當(dāng)0<a<1時(shí),可求得解為:;
(Ⅱ)當(dāng)a>1時(shí),可解得:,此時(shí)不等式組是否有解關(guān)鍵取決于與2的大小關(guān)系,所以以即a=3為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行第二次分類。
(1)當(dāng)1<a≤3時(shí)解集為Φ
(2)當(dāng)a>3時(shí)解集為
綜上所述:當(dāng)0<a<1時(shí),原不等式解集為(2,;當(dāng)1<a≤3時(shí),解集為Φ;
當(dāng)a>3時(shí),解集為(2,.
三、分類討論的方法和步驟
(1)確定是否需要分類討論以及需要討論時(shí)的對(duì)象和它的取值范圍;
(2)確定分類標(biāo)準(zhǔn)科學(xué)合理分類;
(3)逐類進(jìn)行討論得出各類結(jié)果;
(4)歸納各類結(jié)論。
例4,若函數(shù)f(x)=a+bcosx+csinx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)和(,1)兩點(diǎn),且x∈[0,]時(shí),|f(x)|≤2恒成立,試求a的取值范圍。
解:由f(0)=a+b=1,f()=a+c=1,求得b=c=1-a
f(x)=a+(1-a)(sinx+cosx)=a+(1-a)sin(x+)
∵
①當(dāng)a≤1時(shí),1≤f(x)≤a+(1-a)∵|f(x)|≤2∴只要a+(1-a)≤2解得a≥∴-≤a≤1;②當(dāng)a>1時(shí),a+(1-a)≤f(x)≤1,∴只要a+(1-a)≥-2,解得a≤4+3,∴1<a≤4+3,綜合①,②知實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-,4+3]。
例5,已知函數(shù)f(x)=sim2x-asim2
試求以a表示f(x)的最大值b。
解:原函數(shù)化為f(x)=
令t=cosx,則-1≤t≤1
記g(t)=-(。t∈[-1,1]
因?yàn)槎魏瘮?shù)g(t)的最大值的取得與二次函數(shù)y=g(t)的圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相對(duì)于定義域[-1,1]的位置密切相關(guān),所以以相對(duì)于區(qū)間[-1,1]的位置分三種情況討論:
(1)當(dāng)-1≤≤1,即-4≤a≤4時(shí),b=g(t)max=,此時(shí)t=;
(2)當(dāng)<-1,即a<-4時(shí),b=-a,此時(shí)t=
(3)當(dāng)>1,即a>4時(shí),b=0,此時(shí),t=1
綜上所述:b=
例6、等差數(shù)列{an}的公差d<0,Sn為前n項(xiàng)之和,若Sp=Sq,(p,q∈N,p≠q)試用d,p,q表示Sn的最大值。
略解:由Sp=Sqp≠q可求得
∵d<0,∴a1>0,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)Sn最大。
由an≥0得n≤,由an+1≤0得,n≥
∴≤n≤,∵n∈N,∴要以是否為正整數(shù)即p+q是奇數(shù)還是偶數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)分兩類討論。
(1)當(dāng)p+q為偶數(shù)時(shí)n=,Sn最大且為(Sn)max=
(2)當(dāng)p+q為奇數(shù)時(shí),n=或n=,Sn最大,且為(Sn)max=
分類討論的思想是一種重要的解題策略,對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性,嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性以及提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力無(wú)疑具有較大的幫助。然而并不是問(wèn)題中一出現(xiàn)含參數(shù)問(wèn)題就一定得分類討論,如果能結(jié)合利用數(shù)形結(jié)合的思想,函數(shù)的思想等解題思想方法可避免或簡(jiǎn)化分類討論,從而達(dá)到迅速、準(zhǔn)確的解題效果。
例7、解關(guān)于x的不等式:≥a-xy
略解:運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解題如圖:
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=和
y=a-x的圖象,
以L1,L2,L3在y軸上的截距作為分類標(biāo)準(zhǔn),-103x
知:當(dāng)a≤-1時(shí);-1≤x≤3L1L2L3
當(dāng)-1<a≤3時(shí);≤x≤3
當(dāng)3<a1+2時(shí);
當(dāng)a>1+2時(shí),不等式無(wú)解。
例8、實(shí)數(shù)k為何值時(shí),方程kx2+2|x|+k=0有實(shí)數(shù)解?
略解:運(yùn)用函數(shù)的思想解題:
由方程可得k=
因此方程有解時(shí)k的了值范圍就是函數(shù)f(x)=的值域,顯然-1≤f(x)≤0
故-1≤k≤0即為所求。