導(dǎo)語：數(shù)學(xué)與文化比較研究論文一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

數(shù)學(xué)一直是形成文化的主要力量，同時又是這種文化極其重要的因素，這種觀點在許多人看來是難以置信的，或者充其量來說也只是一種夸張的說法。這種懷疑態(tài)度完全可以理解，它是一種普遍存在的對數(shù)學(xué)實質(zhì)的錯誤概念所帶來的結(jié)果。

由于受學(xué)校的，一般人認為數(shù)學(xué)僅僅是對家、工程師，或許還有家才有用的一系列技巧。這樣的教育導(dǎo)致了對這門學(xué)科的厭惡和對它的忽視。當有人對這種狀況提出異議時，某些飽學(xué)之士可以得到權(quán)威們的支持。圣?奧古斯丁(St．Augustine)不是說過嗎：“好的基督徒應(yīng)該提防數(shù)學(xué)家和那些空頭許諾的人。這樣的危險已經(jīng)存在，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)與魔鬼簽定了協(xié)約，要使精神進入黑暗，把人投入地獄”。古羅馬法官則裁決“對于作惡者、數(shù)學(xué)家諸如此類的人”應(yīng)禁止他們“幾何技藝和參加當眾運算像數(shù)學(xué)這樣可惡的學(xué)問?！笔灞救A(Schopenhauer)，一位在現(xiàn)代史上占有重要地位的哲學(xué)家，也把算術(shù)說成是最低級的精神活動，他之所以持這種態(tài)度，是基于算術(shù)能通過機器來運算這一事實。

由于學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)的影響，這些權(quán)威性的論斷和流行的看法，竟被認為是正確的!但是一般人忽視數(shù)學(xué)的觀點仍然是錯誤的。數(shù)學(xué)學(xué)科并不是一系列的技巧。這些技巧只不過是它微不足道的方標題是本文譯者加的，副標題為原標題面：它們遠不能代表數(shù)學(xué)，就如同調(diào)配顏色遠不能當作繪畫一樣。

技巧是將數(shù)學(xué)的激情、推理、美和深刻的內(nèi)涵剝落后的產(chǎn)物。如果我們對數(shù)學(xué)的本質(zhì)有一定的了解，就會認識到數(shù)學(xué)在形成現(xiàn)代生活和思想中起重要作用這一斷言并不是天方夜譚。

因此，讓我們看一看20世紀人們對這門學(xué)科的態(tài)度。首先，數(shù)學(xué)主要是一種尋求眾所周知的公理法思想的。這種方法包括明確地表述出將要討論的概念的定義，以及準確地表述出作為推理基礎(chǔ)的公設(shè)。具有極其嚴密的邏輯思維能力的人從這些定義和公設(shè)出發(fā)，推導(dǎo)出結(jié)論。數(shù)學(xué)的這一特征由17世紀一位著名的作家在論及數(shù)學(xué)和科學(xué)時，以某種不同的方式表述過：“數(shù)學(xué)家們像戀人?！姓J一位數(shù)學(xué)家的最初的原理，那么他由此將會推導(dǎo)出你也必須承認的另一結(jié)論，從這一結(jié)論又推導(dǎo)出其他的結(jié)論?！?/p>

僅僅把數(shù)學(xué)看作一種探求的方法，就如同把達?芬奇“最后的晚餐”看作是畫布上顏料的組合一樣。數(shù)學(xué)也是一門需要創(chuàng)造性的學(xué)科。在預(yù)測能被證明的時，和構(gòu)思證明的方法時一樣，數(shù)學(xué)家們利用高度的直覺和想象。例如，牛頓和開普勒就是極富于想象力的人，這使得他們不僅打破了長期以來僵化的傳統(tǒng)，而且建立了新的、革命性的概念。在數(shù)學(xué)中，人的創(chuàng)造能力運用的范圍，只有通過檢驗這些創(chuàng)造本身才能決定。有些創(chuàng)造性成果將在后面討論，但這里只需說一下現(xiàn)在這門學(xué)科已有八十多個廣泛的分支就夠了。

如果數(shù)學(xué)的確是一種創(chuàng)造性活動，那么驅(qū)使人們?nèi)プ非笏膭恿κ鞘裁茨?數(shù)學(xué)最明顯的、盡管不一定是最重要的動力是為了解決因需要而直接提出的。商業(yè)和金融事務(wù)、航海、歷法的、橋梁、水壩、教堂和宮殿的建造、作戰(zhàn)武器和工事的設(shè)計，以及許多其他的人類需要，數(shù)學(xué)能對這些問題給出最完滿的解決。在我們這個工程，數(shù)學(xué)被當作普遍工具這一事實更是毋庸置疑。數(shù)學(xué)的另外一個基本作用(的確，這一點在現(xiàn)代特別突出)，那就是提供現(xiàn)象的合理結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)的概念、方法和結(jié)論是物的基礎(chǔ)。這些學(xué)科的成就大小取決于它們與數(shù)學(xué)結(jié)合的程度。數(shù)學(xué)已經(jīng)給互不關(guān)聯(lián)的事實的干枯骨架注入了生命，使其成了有聯(lián)系的有機體，并且還將一系列彼此脫節(jié)的觀察研究納入科學(xué)的實體之中。

智力方面的好奇心和對純思維的強烈興趣，激勵許多數(shù)學(xué)家研究數(shù)的性質(zhì)和幾何圖形，并且取得了富有創(chuàng)造性的成果。今天很受重視的概率論，就開始于牌賭中的一個問題——一場賭博在結(jié)束之前就被迫中止了，那么賭注如何分配才合理?另外一個與社會需要或科學(xué)沒有什么聯(lián)系的最突出的成就，就是由古代希臘人創(chuàng)造出來的，他們把數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變成了抽象的、演繹的和公理化的思想系統(tǒng)。事實上，數(shù)學(xué)學(xué)科中一些最偉大的成就——射影幾何、數(shù)論、超窮數(shù)和非歐幾何，這里我只提到我們將要討論的內(nèi)容——都是為了解決純智力的挑戰(zhàn)。

進行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的最主要的趨策力是對美的追求。羅素，這位抽象數(shù)學(xué)思想的大師曾直言不諱地說：數(shù)學(xué)，如果正確地看它，則具有……至高無上的美——正像雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的才能顯示的那種完美的境地。一種真實的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高于人的意識——這些是至善至美的標準，能夠在詩里得到，也能夠在數(shù)學(xué)里得到。

除了完善的結(jié)構(gòu)美以外，在證明和得出結(jié)論的過程中，運用必不可少的想象和直覺也給創(chuàng)造者提供了高度的美學(xué)上的滿足。如果美的組成和藝術(shù)作品的特征包括洞察力和想象力，對稱性和比例、簡潔，以及精確地適應(yīng)達到目的的手段，那么數(shù)學(xué)就是一門具有其特有完美性的藝術(shù)。

盡管已清楚地表明，上述所有因素推動了數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和，但是依然存在許多錯誤的觀點。有這樣的指責(zé)(經(jīng)常是用來為對這門學(xué)科的忽視作辯解的)，認為數(shù)學(xué)家們喜歡沉湎于毫無意義的臆測;或者認為數(shù)學(xué)家們是笨拙和毫無用處的夢想家。對這種指責(zé)，我們可以立刻作出使其無言以對的駁斥。事實證明，即使是純粹抽象的，更不用說由于和工程的需要而進行的研究了，也是有極大用處的。圓錐曲線(橢圓、雙曲線和拋物線)自被發(fā)現(xiàn)二干多年來，曾被認為不過是“富于思辨頭腦中的無利可圖的娛樂”，可是最終它卻在天文學(xué)、仿射運動和萬有引力定律中發(fā)揮了作用。

另一方面，一些“具有頭腦”的作家斷言：數(shù)學(xué)完全或者主要是由于實際需要，如需要建筑橋梁、制造雷達和飛機而產(chǎn)生或發(fā)展的。這種斷言也是錯誤的。數(shù)學(xué)已經(jīng)使這些對人類方便有用的東西成為可能，但是偉大的數(shù)學(xué)家在進行思考和研究時卻很少把這些放在心上。有些人對實際漠不關(guān)心，這可能是因為他們成果的應(yīng)用在幾百年后才實現(xiàn)。畢達哥拉斯和柏拉圖的唯心主義數(shù)學(xué)玄想，比起貨棧職員采用“+”號和“一”號的實際行動來(這曾使某一作家深信“數(shù)學(xué)史上的一個轉(zhuǎn)折點乃是由日常的社會活動所致”)，所作的貢獻要大得多。確實，幾乎每一個偉大的人物所考慮的都是他那個的，流行的觀點會制約和限制他的思想。如果牛頓早生二百年，他很有可能會成為一位出色的神學(xué)家。偉大的思想家追求時代智力風(fēng)尚，就如同婦女在服飾上趕時髦一樣。即使是把數(shù)學(xué)作為純粹業(yè)余愛好的富有創(chuàng)造性的天才，也會去研究令專業(yè)數(shù)學(xué)家和科學(xué)家感到十分激動的問題。但是，那些“業(yè)余愛好者”和數(shù)學(xué)家們一般并不十分關(guān)心他們工作的實用價值。

實用的、科學(xué)的、美學(xué)的和的因素，共同促進了數(shù)學(xué)的形成。把這些做出貢獻、產(chǎn)生的因素中的任何一個除去，或者抬高一個而去貶低另外一個都是不可能的，甚至不能斷定這些因素中誰具有相對的重要性。一方面，對美學(xué)和哲學(xué)因素作出反應(yīng)的純粹思維，決定性地塑造了數(shù)學(xué)的特征，并且作出了像歐氏幾何和非歐幾何這樣不可超越的貢獻。另一方面，數(shù)學(xué)家們登上純思維的頂峰不是靠他們自己一步步攀登，而是借助于社會力量的推動。如果這些力量不能為數(shù)學(xué)家們注入活力，那么他們就立刻會身疲力竭;然后他們就僅僅只能維持這門學(xué)科處于孤立的境地。雖然在短時期內(nèi)還有可能光芒四射，但所有這些成就會是曇花一現(xiàn)。

數(shù)學(xué)的另一個重要特征是它的符號語言。如同音樂利用符號來代表和傳播聲音一樣，數(shù)學(xué)也用符號表示數(shù)量關(guān)系和空間形式。與日常講話用的語言不同，日常語言是習(xí)俗的產(chǎn)物，也是社會和運動的產(chǎn)物，而數(shù)學(xué)語言則是慎重地、有意地而且經(jīng)常是精心設(shè)計的、憑借數(shù)學(xué)語言的嚴密性和簡潔性，數(shù)學(xué)家們就可以表達和研究數(shù)學(xué)思想，這些思想如果用普通語言表達出來，就會顯得冗長不堪。這種簡潔性有助于思維的效率。J．K．杰羅姆(J．K．Jerome)，為了需要求諸于代數(shù)符號，在下面一段描寫中，盡管與數(shù)學(xué)無關(guān)，卻清楚地表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實用性和明了性：

當一個12世紀的青年墮入情網(wǎng)時，他不會后退三步，看著他心愛的姑娘的眼睛，對他說她是世界上最漂亮的人兒。他說他要冷靜下來，仔細考慮這件事。如果他在外面碰上一個人，并且打破了他的腦袋——我指另外一個人的腦袋——于是那就證明了他的——前面那個小伙子——姑娘是個漂亮姑娘。如果是另外一個小伙子打破了他的腦袋——不是他自己的，你知道，而是另外那個人的——對第二個小伙子來說的另外一個。因為另外一個小伙子只是對他來說是另外一個，而不是對前面那個小伙子——那么，如果他打破了他的頭，那么他的姑娘——不是另外一個小伙子，而是那個小伙子，他……。瞧：如果A打破了月B腦袋，那么A的姑娘是一個漂亮的姑娘。但如果B打破了A的頭，那么A的姑娘就不是一個漂亮的姑娘，而B的姑娘是一個漂亮的姑娘。

簡潔的符號能夠使數(shù)學(xué)家們進行復(fù)雜的思考時應(yīng)付自如，但也會使門外漢聽數(shù)學(xué)討論如墜五里云霧。

數(shù)學(xué)語言中使用的符號十分重要，它們能區(qū)別日常語言中經(jīng)常引起混亂的意義。例如，中使用“is”一詞時，就有多種不同的意義。在“他在這兒”(Heishere)這個句子中，“is”就表示一種物理位置。在“天使是白色的”(Anangeliswhite)這個句子中，它表示天使的一種與位置或物理存在無關(guān)的屬性。在“那個人正在跑”(manisrunning)這個句子中，這個詞"is”表示的是動詞時態(tài)。在“二加二等于四"(TwoandTwoarefour)這個句子中，is的形式被用于表示數(shù)字上的相等。在“人是兩足的能思維的哺乳動物”(Menarethetwo—leggedthinkingmammals)這個句子中，is的形式被用來斷言兩組之間的等同。當然，在一般日常會話中引用各種各樣不同的詞來解釋is的所有這些意義，不過是畫蛇添足，因為盡管有這些意義上的混亂，人們也不會因此產(chǎn)生什么誤會。但是，數(shù)學(xué)的精確性——它與和的精確性一樣，要求數(shù)學(xué)領(lǐng)域的者們更加謹慎。

數(shù)學(xué)語言是精確的，它是如此精確，以致常常使那些不習(xí)慣于它特有形式的人覺得莫名其妙。如果一個數(shù)學(xué)家說：“今天我沒看見一個人”(Ididnotseeonepersontoday)，那么他的意思可能是他要么一個人也沒看見，要么他看見了許多人。一般人則可能簡單地認為他一個人也沒看見。數(shù)學(xué)的這種精確性，在一個還沒有認識到它對于精密思維的重要性的人看來，似乎顯得過于呆板，過于拘泥于形式。然而任何精密的思維和精確的語言都是不可分割的數(shù)學(xué)風(fēng)格以簡潔和形式的完美作為其目標，但有時由于過分地拘泥于形式上的完美和簡潔，以致喪失了精確竭力要達到的清晰。假定我們想用一般術(shù)語表述圖1所示的，我們很有可能說：“有一個直角三角形，畫兩個以該三角形的直角邊作為其邊的正方形，然后再畫一個以該三角形斜邊作為其邊的正方形，那么第二個正方形的面積就等于前面兩個正方形面積之和?！钡菦]有一個數(shù)學(xué)家會用這樣的方式來表達自己的想法。他會這樣說：“直角三角形直角邊的平方和等于斜邊的平方?！边@種簡潔的用詞使表述更為精煉，而且這種數(shù)學(xué)表達式具有重要的意義，因為它的確是言簡意賅。還有，由于這種惜墨如金的做法，任何數(shù)學(xué)的讀者有時會發(fā)現(xiàn)自己的耐心受到了極大的考驗。

數(shù)學(xué)不僅是一種、一門或一種語言。數(shù)學(xué)更主要的是一門有著豐富內(nèi)容的知識體系，其內(nèi)容對科學(xué)家、科學(xué)家、哲學(xué)家、邏輯學(xué)家和藝術(shù)家十分有用，同時著家和神學(xué)家的學(xué)說;滿足了人類探索宇宙的好奇心和對美妙的冥想;甚至可能有時以難以察覺到的方式但無可置疑地影響著的進程。

數(shù)學(xué)是一門知識體系，但是它卻不包含任何真理。與之相反的觀點卻認為數(shù)學(xué)是無可辯駁的真理的匯集，認為數(shù)學(xué)就像是信仰《圣經(jīng)》的教徒們從上帝那兒獲得最后的啟示錄一樣，這是一個難以消除的、流傳甚廣的謬論。直到1850年為止，甚至數(shù)學(xué)家們也贊同這種謬論。幸運的是，19世紀發(fā)生的一些數(shù)學(xué)事件(這些我們隨后將進行討論)向這些數(shù)學(xué)家表明，這種看法是錯誤的。在這門學(xué)科中沒有真理，而且在它的一些分支中的定理與另外一些分支中的定理是矛盾的。例如，上個世紀創(chuàng)立的幾何中所確定的一些定理，與歐幾里得在他的幾何學(xué)中所證明的定理就是矛盾的。盡管沒有真理，數(shù)學(xué)卻一直給予了人類征服自然的神奇的力量。解決人類思想史上這個最大的悖論將是我們所關(guān)注的課題之一。

由于20世紀必須將數(shù)學(xué)知識與真理區(qū)分開，因此也必須將數(shù)學(xué)與區(qū)分開，因為科學(xué)確在尋求關(guān)于物質(zhì)世界的真理。然而數(shù)學(xué)卻無疑地是科學(xué)的燈塔，而且還繼續(xù)幫助科學(xué)獲得在文明中所占的位置。我們甚至可以正確地宣稱，正是由于有了數(shù)學(xué)，現(xiàn)代科學(xué)才取得了輝煌的成就。但是我們將會看到，這兩個領(lǐng)域有著明顯的區(qū)別。

在最廣泛的意義上說，數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，使得人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地人類的物質(zhì)、道德和生活;試圖回答有關(guān)人類自身存在提出的;努力去理解和控制;盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識的最深刻的和最完美的內(nèi)涵。在本書中，我們最為關(guān)心的將是這種精神的作用。

數(shù)學(xué)還有一個更加典型的特征與我們的論述密切相關(guān)。數(shù)學(xué)是一棵富有生命力的樹，她隨著文明的興衰而榮枯。它從史前誕生之時起，就為自己的生存而斗爭，這場斗爭經(jīng)歷了史前的幾個世紀和隨后有文字記載的幾個世紀，最后終于在肥沃的希臘土壤中扎穩(wěn)了生存的根基，并且在一個較短的時期里茁壯成長起來了。在這個時期，它綻出了一朵美麗的花——歐氏幾何。其他的花蕾也含苞欲放。如果你仔細觀察，還可以看到三角和代數(shù)學(xué)的雛形;但是這些花朵隨著希臘文明的衰亡而枯萎了，這棵樹也沉睡了一千年之久。

這就是數(shù)學(xué)那時的狀況。后來這棵樹被移植到了歐洲本土，又一次很好地扎根在肥沃的土壤中。到公元1600年，她又獲得了在古希臘頂峰時期曾有過的旺盛的生命力，而且準備開創(chuàng)史無前例的光輝燦爛的前景。如果我們將17世紀以前所了解的數(shù)學(xué)稱為初等數(shù)學(xué)，那么我們能說，初等數(shù)學(xué)與從那以后創(chuàng)造出的數(shù)學(xué)相比是徽不足道的。事實上，一個人擁有牛頓處于頂峰時期所掌握的知識，在今天不會被認為是一位數(shù)學(xué)家。因為與普通的觀點相反，現(xiàn)在應(yīng)該說數(shù)學(xué)是從微積分開始，而不是以之為結(jié)束。在我們這個世紀，這門學(xué)科已具有非常廣泛的，以致沒有任何數(shù)學(xué)家能夠宣稱他已精通全部數(shù)學(xué)。

數(shù)學(xué)的這幅素描，盡管簡略，但卻表明數(shù)學(xué)的生命力正是根植于養(yǎng)育她的文明的社會生活之中。事實上，數(shù)學(xué)一直是文明和文化的重要組成部分，因此許多歷史學(xué)家通過數(shù)學(xué)這面鏡子，了解了古代其他主要文化的特征。以古典時期的古希臘文化為例，它大約從公元前600年延續(xù)到公元前300年。由于古希臘數(shù)學(xué)家強調(diào)嚴密的推理以及由此得出的結(jié)論，因此他們所關(guān)心的并不是這些成果的實用性，而是人們?nèi)ミM行抽象的推理，和激發(fā)人們對理想與美的追求。因此，看到這個具有很難為后世超越的優(yōu)美文學(xué)，極端理性化的，以及理想化的建筑與雕刻，也就不足為奇了。

數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的缺乏也表現(xiàn)在一個時代文明的文化里，這一點也是真實的?？纯戳_馬的情況吧。在數(shù)學(xué)史上，羅馬人在一定時期內(nèi)曾作出過貢獻，但從那以后他們就開始停滯不前了。阿基米德，最偉大的古希臘數(shù)學(xué)家和科學(xué)家，在公元前221年被突然闖入的羅馬士兵殺害了，當時他正在畫在沙盤中的幾何圖形。對此，A．N．懷特海(AlfredNorthWhitehead)說過：阿基米德死于一個羅馬士兵之手，是一個世界發(fā)生頭等重要變化的標志;愛好抽象科學(xué)、善長推理的古希臘在歐洲的霸主地位，被重實用的羅馬取代了。洛德?比肯斯菲爾德(LordBeaconsfield)，在他的一部小說中，曾把重實用的人稱為是重復(fù)其先輩錯誤的人。羅馬是一個偉大的民族，但是他們卻由于只重實用而導(dǎo)致了創(chuàng)造性的缺乏。他們沒有發(fā)展其祖先的知識，他們所有的進步都局限于工程技術(shù)的細枝末葉。他們并不是那種能夠提出新觀點的夢想家，這些新觀點能給人以更好地主宰自然界的力量。沒有一個羅馬人因為沉湎于數(shù)學(xué)圖形而喪命。

事實上，西塞羅(Cicero)夸耀自己的同胞——感謝上帝——不是像希臘人一樣的夢想家，而是把他們的數(shù)學(xué)研究派上實際用場的人。

注重實用的羅馬帝國，將其精力用于權(quán)術(shù)和征服外邦。為迎接軍隊勝利歸來的拱形的凱旋門，也許是羅馬帝國的最好象征，但它們不是顯得得體優(yōu)雅，而是顯得毫無生氣。羅馬最突出的特征也許是麻木不仁，羅馬人幾乎沒有真正的獨創(chuàng)精神。簡言之，羅馬文化是外來的，羅馬時期的大多數(shù)成就主要淵源于小亞細亞的希臘，此時小亞細亞的希臘正處于羅馬政權(quán)統(tǒng)治之下。

這幾個例子告訴我們，一個的總的特征在很大程度上與這個時代的數(shù)學(xué)活動密切相關(guān)。這種關(guān)系在我們這個時代尤為明顯。在不抹煞學(xué)家、學(xué)家、家、作家、詩人、畫家和家功績的前提下，我們可以這樣說：其他文明已經(jīng)產(chǎn)生了在能力和成就方面同等的效果。另一方面，盡管歐幾里得和阿基米德無疑地是極其卓越的思想家，盡管我們的數(shù)學(xué)家得以達到最高的水平，這僅僅是因為像牛頓所說的那樣，他們是站在巨人的肩膀上。然而，正是在我們這個時代，數(shù)學(xué)才達到了它應(yīng)該達到的范圍，而且有著不同尋常的用途。這樣，由于數(shù)學(xué)已經(jīng)廣泛地著生活和思想，今天的西方文明與以往任何歷史上的文明都有著明顯的區(qū)別。也許，在這本書中，我們會看到現(xiàn)在這個時代是如何受惠于數(shù)學(xué)的。