數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)的作用
時間:2022-05-28 11:21:19
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摘要:數(shù)形結(jié)合作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,將抽象的、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題具體化、簡單化,從而達到“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”的目的。在高中數(shù)學(xué)教育中滲透數(shù)形結(jié)合思想,有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想,拓寬學(xué)生解題思路,對于學(xué)生理解和解決數(shù)學(xué)問題具有重要的意義。
關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;滲透途徑
一、以形助數(shù),抽象問題具體化
和抽象的數(shù)學(xué)語言相比,數(shù)學(xué)圖形具有較強的直觀性,對于一些解決方法太過復(fù)雜的、運用代數(shù)方法難以解決的、數(shù)學(xué)問題非常抽象的代數(shù)問題,這時可以利用數(shù)學(xué)結(jié)合思想將數(shù)轉(zhuǎn)為形,然后利用圖形的幾何性質(zhì)及幾何意義來對問題進行求解。這樣可以有效鍛煉學(xué)生的觀察能力和思維能力,提高學(xué)生的解題效率。例如,教師講解“已知<<10a,關(guān)于x的方程xaax=log的實根有幾個?”這一例題,首先可以引導(dǎo)學(xué)生將上述方程轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€函數(shù)x)(axf=和xxgalog)(=,要求方程xgxf=)()(實根個數(shù),就是函數(shù)xf)(和xg)(圖像交點的橫坐標。圖像交點的個數(shù)就是實根的個數(shù),為此,做出函數(shù)圖像是關(guān)鍵。如圖1所示,兩個函數(shù)圖像有兩個交點,為此,關(guān)于xgxf=)()(的實根個數(shù)有2個。根據(jù)上述例題可知,我們可以借助數(shù)形結(jié)合思想來解決方程求解或函數(shù)交點個數(shù)的問題,讓學(xué)生通過對圖形的直觀觀察,啟發(fā)解題思路,幫助學(xué)生快速的解題[1]。
二、以數(shù)解形,圖形問題代數(shù)化
圖形雖然具有形象、直觀等優(yōu)勢,但是不具備精確的數(shù)量關(guān)系和邏輯性。當解決圖形問題需要進行定量分析時,就需要借助數(shù)形結(jié)合的思想,通過仔細觀察圖形中的幾何性質(zhì)和運動特點,用代數(shù)問題來表述圖形問題,然后利用所學(xué)公式或代數(shù)定理來求解問題。例如,講解“設(shè)22)(2axxxf+−=,當)(1>−≥axfx時,,求a的取值范圍?”這一例題時,教師可以首先引導(dǎo)學(xué)生對題目中的已知條件進行分析,當)(1>−≥axfx時,有,即222>+−aaxx,令22)(g−+−=aaxxx2。則有當x−≥1時函數(shù)xg)(圖像位于x軸上方。要保證不等式成立,分為兩種情況:(1)當0)12(442a<−−=∆時,a(−∈1,2);(2)當a2≥−−=∆0)12(44且g<−0)1(時,a(−∈1,3)。根據(jù)上述例題可知,當對圖形中某個參數(shù)進行定量分析時,我們無法利用圖形來進行求解,而需要根據(jù)題目中所給出的條件,進行全面的考慮,這樣才能確保答案的正確性和完整性[2]。
三、數(shù)形互變,提高解題能力
在求解數(shù)學(xué)問題過程中,“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”都有著其各自的奇特功效,但不能完全的解決所有問題,有時在一個數(shù)學(xué)題目中可能同時需要結(jié)合這兩種方法,需要“以數(shù)解形”的邏輯性、精準性和嚴密性,也需要“以形助數(shù)”的直觀性。在解決此類問題時,需要對題目中的數(shù)、形及隱含條件進行認真的分析,通過兩者的運用,確保求解結(jié)果的準確性和全面性。數(shù)形互變的思想方法在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛,常見于求函數(shù)的定義域、值域、最值問題;解方程和解不等式問題;三角函數(shù)和復(fù)數(shù)問題中。例如,教師在講解“已知x,y滿足1251622=+yx,求y-3x的最大值與最小值”這一題時。首先引導(dǎo)學(xué)生分析對于求解二元函數(shù)y-3x在特定條件下1251622=+yx的最值問題,可以采用構(gòu)建直線截距的方法。設(shè)y-3x=b,則有:y=3x+b。那么原問題就可以轉(zhuǎn)化為:在1251622=+yx求一點,使得過該點的直線斜率為3,同時在y軸上的截距b最大或最小。根據(jù)已知條件,做出函數(shù)圖像,如圖2所示。當橢圓曲線與直線相切時,有最大截距b1和最小截距b2。將直線方程帶入橢圓方程中有:04001696169125)3162222=−++⇒=++bbxxbxx(。由于相切,有0)40016(1694)9622(bb=−××−=∆得到:b=±13,故y-3x的最大值與最小值分別為13和-13。根據(jù)上述例題可知,求解此類題目應(yīng)該從函數(shù)本身的形式入手,引入直線的斜率,直線與橢圓相切時利用一元二次方程根的情況來確定參數(shù)值。運用數(shù)形結(jié)合思想,不僅實現(xiàn)了抽象知識和形象知識有效轉(zhuǎn)換,拓展了學(xué)生的解題思路,同時也避免了復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算及推理,大大簡化了解題過程,對于學(xué)生數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)成績的提高具有積極的促進作用。
四、結(jié)語
總而言之,數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教育中的滲透,將“數(shù)”與“形”二者之間的變化、聯(lián)系及運動巧妙的進行轉(zhuǎn)化,將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題直觀化與簡單化,為學(xué)生快速、有效的解答數(shù)學(xué)問題提供了極大便利,同時也促成學(xué)生養(yǎng)成多角度思考問題及放射性思維的良好習(xí)慣。為此,教師應(yīng)該靈活的運用數(shù)形結(jié)合思想,引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中不斷領(lǐng)悟并掌握這一重要思想,從而拓展學(xué)生的解決思路,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維及解題能力。
參考文獻
[1]魏寧波.滲透數(shù)形結(jié)合思想,優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)[J].數(shù)理化解題研究,2014,(1):23-24.
[2]陳榮輝.滲透數(shù)形結(jié)合思想,提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)效果[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2015,(9):58.
作者:徐鳳 單位:重慶市萬州區(qū)龍駒中學(xué)