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一、“數(shù)學思想”教育研究的重要意義

日本數(shù)學家米山國藏指出：多數(shù)學生進入社會后，幾乎沒有機會應用他們在學校所學到的數(shù)學知識，因而這種作為知識的數(shù)學，通常在學生出校門后不到一兩年就忘掉了，然而不管人們從事什么業(yè)務工作，那種銘刻于大腦的數(shù)學思想?yún)s長期在他們的生活和工作中發(fā)揮著重要作用。

為便于進行“數(shù)學思想”的教育研究，本文圍繞“數(shù)學思想”的內(nèi)涵、分類、特點和功能等問題作些基礎(chǔ)工作。

二、數(shù)學思想的內(nèi)涵和分類

數(shù)學思想是幾千年數(shù)學探索實踐所創(chuàng)造的精神財富。根據(jù)數(shù)學哲學的近代研究，所謂數(shù)學思想指的是數(shù)學活動中的價值觀念和行為規(guī)范。數(shù)學思想的內(nèi)涵十分豐富，主要有數(shù)學創(chuàng)新思想、數(shù)學求真思想、數(shù)學理性思想、數(shù)學合作與獨立思考思想等。限于篇幅，本文重點僅就其中三種數(shù)學思想進行論述。

三、數(shù)學創(chuàng)新思想

1．創(chuàng)新思想的概念

結(jié)合新情況、尋找新思路、解決新問題、創(chuàng)立新理論，這種思想叫創(chuàng)新思想。

2．數(shù)學創(chuàng)新思想的幾個特點

首先，問題是數(shù)學創(chuàng)新的起點。群論的創(chuàng)造是為了解決四次以上代數(shù)方程是否有根式解的問題。超限數(shù)的創(chuàng)立是為了進一步弄清數(shù)學分析的基礎(chǔ)，為了解決畫家怎樣把立體的東西畫在平面上，產(chǎn)生了射影幾何?！梢哉f：“沒有問題就沒有數(shù)學創(chuàng)造?！?/p>

再者，創(chuàng)造的自由性在近現(xiàn)代數(shù)學中表現(xiàn)得越來越明顯。德國數(shù)學家康托說：“數(shù)學的本質(zhì)就在于自由?！彼鲝垟?shù)學家自由創(chuàng)造自己的概念，而無需顧及是否實際存在。這個認識使康托有可能超越有限的世界，以數(shù)學家的嚴密性建立起集合論和超限數(shù)；使幾何學家超越感覺想象的空間，去研究非歐空間、n維空間；使公理數(shù)學家有可能建立抽象的純數(shù)學和種種特異的數(shù)學來?！傊?，使數(shù)學家永葆創(chuàng)新思想，推動數(shù)學永往直前。

3．數(shù)學創(chuàng)新思想的教育功能

創(chuàng)新是科學的本質(zhì)，是社會發(fā)展的不竭動力。由于數(shù)學創(chuàng)新的典型事例多、創(chuàng)新實踐對外界條件要求較少、創(chuàng)新成果易于展現(xiàn)，所以通過數(shù)學培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思想是一條事半功倍的途徑。通過數(shù)學創(chuàng)新思想的培養(yǎng)，能夠克服學生唯書、唯師、唯上，照抄照搬的陋習，增加學生探索研究問題的主動性，提高學生思維的創(chuàng)新性、廣闊性、流暢性及靈活性。

四、數(shù)學求真思想

1．求真思想及其意義

求真思想是不懈追求真理的思想。真理是人們在社會實踐中形成的對主客觀事物及其規(guī)律的正確認識。人類只有掌握了真理，才會能動地改造世界。因而，求真是科學的首要目的，求真思想是科學發(fā)展的內(nèi)在動力。

2．數(shù)學求真思想的特點

數(shù)學不同于其它科學，它是人類根據(jù)自己的需要而抽象建構(gòu)起來的，它的真理性必須經(jīng)受邏輯和實踐的雙重檢驗。

數(shù)學求真的艱難歷程，磨練了數(shù)學特有的求真思想。

首先數(shù)學求真比任何學科都重視邏輯。波利亞說：“對選擇恰當?shù)膶嵗M行檢驗，這是生物學家肯定猜想的唯一方法。但是對數(shù)學家來說，對選擇的實例進行驗證，從鼓勵信心的角度來看是有用的，但這樣還不能算是數(shù)學里證明了一個猜想?！?/p>

其次，數(shù)學求真要不輕信經(jīng)驗。非歐幾何的平行公理和許多定理是與我們的經(jīng)驗不相符合的，但它們卻構(gòu)成了一個相容的幾何系統(tǒng)，并在現(xiàn)代物理學中得到應用?！叭w大于部分”在常識中是當然的事，但在無限領(lǐng)域中卻不成立。這是因為經(jīng)驗只能反映事物的表象，不能揭示事物的實質(zhì)。

再則數(shù)學求真要勇于批判。非歐幾何的誕生可以追溯到對歐氏平行公理的懷疑。勒貝格積分的建立是由于發(fā)現(xiàn)了黎曼積分的局限性。希爾伯特創(chuàng)立形式公理化方法，是因為認識到了歐氏公理系統(tǒng)的不嚴格。這說明，不同觀點的論爭同樣是數(shù)學發(fā)展的重要動力。

還有，同所有科學一樣，數(shù)學求真也離不開刻苦鉆研。瑞士數(shù)學家歐拉一生忘我工作，在雙目失明的情況下，還口述了400篇論文和好幾本書。正是這種思想才促成了他的豐功偉績。

3．數(shù)學求真思想的教育功能

數(shù)學求真思想能夠激發(fā)人們追求和堅持真理的勇氣和自信心。養(yǎng)成獨立地發(fā)現(xiàn)問題、思考問題和解決問題的習慣，不懼怕困難、不屈服挫折。教育人們客觀公正地看待一切，不輕信經(jīng)驗，不迷信權(quán)威，不隨波逐流。

五、數(shù)學理性思想

1．數(shù)學理性思想的內(nèi)涵

依靠思維能力對感性材料進行一系列的抽象和概括、分析和綜合，以形成概念、判斷或推理，這種認識稱為理性認識。重視理性認識活動，以尋找事物的本質(zhì)、規(guī)律及內(nèi)部聯(lián)系，這種思想稱為理性思想。

2．數(shù)學理性思想的形成

雖然理性思想在不少學科都有表現(xiàn)，但它最早卻是由數(shù)學引入的，并逐步成為數(shù)學思想的核心和靈魂。

早在公元前6世紀，希臘數(shù)學、哲學之父泰勒斯就看到：僅僅以個別測量實例的需要為目標，埃及人中流行的測量土地的方法是笨拙的。他認為：人類不但可以從實際經(jīng)驗中獲得知識，也可以從已認可的事實出發(fā)，經(jīng)演繹推理得出新的知識。如果作為出發(fā)點的事實正確，推理方法正確，所得的結(jié)論也必然正確。據(jù)此，他提出測地術(shù)應上升為建立在一般原理上的演繹的幾何學。

在泰勒斯將演繹推理引入數(shù)學后，希臘畢達哥拉斯學派接著提出：數(shù)學中的數(shù)、點、線、面及各種數(shù)學概念是人思維的抽象及概括，與實際事物截然不同。雖然思考抽象事物比思考具體事物困難的多，但數(shù)學的抽象概括卻給人類帶來了最大的好處：研究對象一般性及所得結(jié)論的普適性。

演繹推理與抽象概括相結(jié)合初步形成了數(shù)學理性思想。希帕索斯發(fā)現(xiàn)不可通約量后，人們開始認為感性認識是不可靠的，只有理性認識才是可靠的，并且漸漸地把演繹推理作為檢驗數(shù)學真理的必經(jīng)途徑之一。

3．數(shù)學理性思想的教育功能

理性思想是數(shù)學對人類文明的最大貢獻。數(shù)學理性思想的教育可以使人類看到理性的力量，增強利用思維推理獲得成功的信念。提高思維的嚴謹性、抽象性、概括性、深刻性，養(yǎng)成重視理論、勤于思考的習慣。其中的公理化思想還能培育法制觀念和法制社會。

六、進行“數(shù)學思想”教育研究的相關(guān)建議

筆者認為，“數(shù)學思想”教育研究可分為基礎(chǔ)研究和普及研究兩方面。基礎(chǔ)研究包括：如何從數(shù)學認識論和數(shù)學實踐中發(fā)掘“數(shù)學思想”的內(nèi)涵、特點，如何從數(shù)學史、數(shù)學家傳記中發(fā)掘“數(shù)學思想”的巨大作用和典型事例等。筆者相信，只要我們將上述基礎(chǔ)研究和普及研究有機結(jié)合，就一定會使“數(shù)學思想”的教育取得長足的進步，也一定會使“數(shù)學思想”的教育獲得突破性飛躍。

【摘要】本文闡明了“數(shù)學思想”教育研究的重要意義，介紹了“數(shù)學思想”的分類，詳細地論述了三種“數(shù)學思想”的內(nèi)涵、特點和教育功能，提出了“數(shù)學思想”教育研究的相關(guān)建議。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學理性思想數(shù)學求真思想數(shù)學創(chuàng)新思想

參考文獻：

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