導(dǎo)語(yǔ)：數(shù)學(xué)知識(shí)有效運(yùn)用性論文一文來(lái)源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

編者按：本文主要從對(duì)數(shù)學(xué)思想的概說(shuō)；小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)地位；小學(xué)生探究性地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值與意義進(jìn)行論述。其中，主要包括：數(shù)學(xué)也成為一門(mén)有組織的、獨(dú)立的和理性的學(xué)科、數(shù)學(xué)思想盡管在人類(lèi)開(kāi)始有初級(jí)的數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候是受經(jīng)驗(yàn)世界的啟發(fā)、數(shù)學(xué)思想是抽象的，數(shù)學(xué)思維與經(jīng)驗(yàn)世界是無(wú)關(guān)的、所謂純粹理念就是思維的最抽象的要素所形成的理念、數(shù)學(xué)知識(shí)是從概念的構(gòu)造得出來(lái)的知識(shí)、數(shù)學(xué)思想的抽象性并非獨(dú)立于經(jīng)驗(yàn)事實(shí)而存在、數(shù)學(xué)因?yàn)樗诳疾熳匀恢兴鸬淖饔枚辉u(píng)價(jià)為頭等重要的、數(shù)學(xué)知識(shí)是對(duì)概念的理智構(gòu)造、小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的探究性不僅從邏輯推理上是嚴(yán)密和精確的等，具體請(qǐng)?jiān)斠?jiàn)。

數(shù)學(xué)在其人類(lèi)的歷史發(fā)展中，從其根本沒(méi)有數(shù)學(xué)知識(shí)到人們只能分辨一、二和許多的數(shù)字概念，到今天，數(shù)學(xué)也成為一門(mén)有組織的、獨(dú)立的和理性的學(xué)科。數(shù)學(xué)的歷史是一部演繹的歷史，人類(lèi)從借助于經(jīng)驗(yàn)開(kāi)始，通過(guò)把經(jīng)驗(yàn)事實(shí)符號(hào)化。進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算和推理，把數(shù)學(xué)發(fā)展成為一門(mén)抽象的學(xué)科，這不是在說(shuō)數(shù)學(xué)是一門(mén)不具有實(shí)在意義和價(jià)值的玄學(xué)，相反，是如同古希臘亞里士多德時(shí)代的理想，即科學(xué)應(yīng)是數(shù)學(xué)，亞里士多德的目的就是要達(dá)到數(shù)學(xué)的確實(shí)性。因此，文章旨在從數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)性及其方法的探究性來(lái)論述對(duì)開(kāi)拓小學(xué)生探究性地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思考。

一、對(duì)數(shù)學(xué)思想的概說(shuō)

數(shù)學(xué)思想盡管在人類(lèi)開(kāi)始有初級(jí)的數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候是受經(jīng)驗(yàn)世界的啟發(fā)，但它的思想實(shí)質(zhì)卻是抽象的。這即是在說(shuō)，數(shù)學(xué)知識(shí)不是來(lái)源于經(jīng)驗(yàn)，而是理智的構(gòu)造。“對(duì)于brouwer(布勞威爾)，數(shù)學(xué)的對(duì)象是從理智的構(gòu)造得來(lái)的，其中基本的數(shù)目是1，2，3，……提供了這種構(gòu)造的原型?！眀rouwer認(rèn)為。數(shù)學(xué)思維與我們的經(jīng)驗(yàn)世界無(wú)關(guān)。這不是在說(shuō)數(shù)學(xué)思想是沒(méi)有任何實(shí)在意義的想象，相反，數(shù)學(xué)是建立在嚴(yán)密的思維基礎(chǔ)之上的，是一門(mén)理性的學(xué)科。正是因?yàn)槿绱?，?shù)學(xué)知識(shí)才具有確實(shí)性。因此，有人認(rèn)為，數(shù)學(xué)是真正的科學(xué)。數(shù)學(xué)是理智的構(gòu)造，也就是數(shù)學(xué)的知識(shí)具有先驗(yàn)性，也即客觀性。因?yàn)?，任何具有絕對(duì)必然性的知識(shí)都不是以后天的、經(jīng)驗(yàn)的事實(shí)為原因或依據(jù)，而必須是本身就具有必然性。這種本身所固有的必然性就如OliverHeaviside(亥維賽)所說(shuō)，邏輯可以等待，因?yàn)樗怯篮愕摹?shù)學(xué)知識(shí)的先驗(yàn)性并非是從脫離于經(jīng)驗(yàn)事實(shí)的角度來(lái)說(shuō)具有客觀性。而是說(shuō)數(shù)學(xué)知識(shí)的客觀性或必然性是先行于經(jīng)驗(yàn)事實(shí)的。

數(shù)學(xué)思想是抽象的，數(shù)學(xué)思維與經(jīng)驗(yàn)世界是無(wú)關(guān)的，不是在說(shuō)數(shù)學(xué)是一種純粹想象的構(gòu)建并且僅僅是如此而已。數(shù)學(xué)不僅只能建立在實(shí)用的基礎(chǔ)上，而且按照康德的說(shuō)法，“純粹數(shù)學(xué)，特別是純粹幾何學(xué)，只有在涉及感官對(duì)象的條件下才有其客觀實(shí)在性?！比魏斡杉兇饣孟攵脕?lái)的產(chǎn)物都無(wú)法澄清其真理性，除了幻想的事實(shí)以外。同時(shí)，數(shù)學(xué)的先驗(yàn)客觀性也不是在唯心主義地指出，數(shù)學(xué)的知識(shí)統(tǒng)治著宇宙，是宇宙的第一因，而是在說(shuō)數(shù)學(xué)知識(shí)和通過(guò)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密的思維方式揭示出了宇宙的規(guī)律和和諧。數(shù)學(xué)知識(shí)和通過(guò)數(shù)學(xué)的思維方式所揭示的知識(shí)體現(xiàn)的是思維和存在的同一性。因此，數(shù)學(xué)思想的抽象性不但沒(méi)有脫離我們的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，而是它本身就與我們的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)具有內(nèi)在一致性。但是數(shù)學(xué)思想的這種抽象性是可以被我們的思維和想象獨(dú)立出來(lái)的，也就是數(shù)學(xué)的思維是猶如形式邏輯的推理，這也是數(shù)學(xué)思維所必須采取的。因?yàn)?，任何?jīng)驗(yàn)的推理都不具有必然性和可靠性。按照康德的說(shuō)法，數(shù)學(xué)知識(shí)是從概念的構(gòu)造得出來(lái)的理性知識(shí)。因此，數(shù)學(xué)的思維方式本質(zhì)上就是一種演繹邏輯。

“邏輯學(xué)是研究純粹理念的科學(xué)，所謂純粹理念就是思維的最抽象的要素所形成的理念?！毖堇[邏輯也就是關(guān)于論證的邏輯學(xué)，也就是以有效的前提推出正確的結(jié)論。這是一種先天綜合的方法，也就是不以任何經(jīng)驗(yàn)為依據(jù)。演繹邏輯的前提也就是笛卡兒所指的清晰自明的概念或命題，笛卡兒認(rèn)為，凡是清晰明確被人認(rèn)知的，都是真的。因此。演繹邏輯就是一種對(duì)清晰自明的概念進(jìn)行構(gòu)造的科學(xué)。比如這樣一個(gè)論證：前提1、蘇格拉底是人，前提2、所有人都是會(huì)死的，結(jié)論、所以，蘇格拉底是會(huì)死的。數(shù)學(xué)也就是一種數(shù)理邏輯，通過(guò)把經(jīng)驗(yàn)事實(shí)符號(hào)化或數(shù)字化，抽象成一般的概念，再進(jìn)行理智的構(gòu)造。在上面的論證中，我們可以把它轉(zhuǎn)化為符號(hào)的論證。我們可以把結(jié)論分為兩個(gè)部分：主詞(A)和謂詞(M)，“蘇格拉底”是主詞，“會(huì)死的”是謂詞，其中“人”是一項(xiàng)中詞。我們用(S)來(lái)代替，上面的論證形式就變成了：1、A是S，2、所有S都是M，3、所以，A是M。在數(shù)學(xué)中，無(wú)論是數(shù)字概念，還是符號(hào)概念，都是抽象的，這種抽象在人類(lèi)開(kāi)始擁有最初級(jí)的數(shù)學(xué)知識(shí)前，是從經(jīng)驗(yàn)事實(shí)中抽譯出來(lái)，比如：一、二……這些基本的數(shù)字概念。而后，抽象的概念是理智從概念構(gòu)造出來(lái)的，如我們今天所熟知的上億的數(shù)字概念。而這些概念是基本的和自明的，因?yàn)檎f(shuō)數(shù)字“1”及其所指的數(shù)量時(shí)，這是最清晰的。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)地位

數(shù)學(xué)知識(shí)是從概念的構(gòu)造得出來(lái)的知識(shí)。構(gòu)造概念也就是從清晰自明的概念以及通過(guò)清晰自明的概念的構(gòu)造所得來(lái)的正確的概念進(jìn)行構(gòu)造。由此，小學(xué)數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)思想的邏輯構(gòu)造中的基礎(chǔ)地位也就是必然的。根據(jù)演繹邏輯，數(shù)學(xué)知識(shí)要具有確實(shí)性，其前提必須是真的，也就是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的前提本身是可說(shuō)明清楚的，不能把假定為真的前提當(dāng)作無(wú)需證明的前提。因此，數(shù)學(xué)知識(shí)從誕生起的那個(gè)前提必然要是不證自明的，否則，整個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)都是容易被摧毀的。小學(xué)數(shù)學(xué)也就在承擔(dān)著這種熟知數(shù)學(xué)的基本概念并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)推理，包括數(shù)學(xué)運(yùn)算和簡(jiǎn)單幾何的解析。從人類(lèi)發(fā)展史來(lái)看，小學(xué)數(shù)學(xué)也就在對(duì)從人類(lèi)開(kāi)始擁有基本的數(shù)學(xué)知識(shí)以來(lái)的數(shù)學(xué)推理的基本前提及其基本的推理方法進(jìn)行系統(tǒng)的掌握。因此，小學(xué)一年級(jí)數(shù)學(xué)首先從數(shù)字“1”開(kāi)始，隨后，學(xué)習(xí)基本的運(yùn)算：“1+1：2”。及類(lèi)似的基本運(yùn)算。到小學(xué)二年級(jí)，了解基本的平面概念并進(jìn)行簡(jiǎn)單的解析，如了解長(zhǎng)方形，并計(jì)算長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)等。整個(gè)人類(lèi)的數(shù)學(xué)知識(shí)在最開(kāi)始的時(shí)候，人們只能分辨像一、二和許多這些最基本的數(shù)字概念，后來(lái)可以對(duì)其進(jìn)行演算，并能對(duì)簡(jiǎn)單的物質(zhì)世界進(jìn)行數(shù)學(xué)似的解析。猶如在古巴比倫文化中發(fā)展程度最高的算術(shù)——阿卡得人的算術(shù)。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)地位從整個(gè)數(shù)學(xué)思想上來(lái)說(shuō)，就如羅素的邏輯原子主義所指：“原子命題是其他一切命題的基礎(chǔ)和根據(jù)?！?/p>

在對(duì)數(shù)學(xué)思想的概說(shuō)中。已經(jīng)說(shuō)明過(guò)，數(shù)學(xué)思想的抽象性并非獨(dú)立于經(jīng)驗(yàn)事實(shí)而存在，而是數(shù)學(xué)知識(shí)的誕生是開(kāi)始于經(jīng)驗(yàn)的，數(shù)學(xué)知識(shí)的真理性也必須達(dá)到思維與存在的同一性。從人類(lèi)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展史來(lái)看，數(shù)學(xué)的誕生事實(shí)也是如此。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)地位還在于從感性認(rèn)知的角度來(lái)談。任何企圖從純粹的玄思妙想中得出結(jié)論都不應(yīng)具有肯定的價(jià)值，因?yàn)?，知識(shí)的客觀有效性就像幾何學(xué)對(duì)空間必然有效外，而并不能一定就涉及到實(shí)在的對(duì)象，而幾何學(xué)必須建立在感性形式之上。數(shù)學(xué)思想的邏輯性就在于理智對(duì)概念的構(gòu)造，而最初的概念必須建立在感性直觀的形式上。這不是一種對(duì)經(jīng)驗(yàn)的直觀，而是一種純粹的直觀。數(shù)字“1”的概念是一種純粹的直觀，數(shù)字“11”的概念則是由11個(gè)“1”相加，是對(duì)數(shù)字“1”這個(gè)最基本的概念的簡(jiǎn)單的推理或構(gòu)造。同時(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)之所以具有客觀有效性，在于它只是涉及感官對(duì)象，因?yàn)槠髨D透過(guò)顯現(xiàn)給我們的物體去研究物自體都是徒勞無(wú)益的。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性不僅在于學(xué)習(xí)其概念構(gòu)造的基礎(chǔ)性，而且在于從感性的形式上進(jìn)入數(shù)學(xué)的最初的概念，并開(kāi)始把這種數(shù)學(xué)的最初概念應(yīng)用于經(jīng)驗(yàn)事實(shí)中。如小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的計(jì)量面積后，也就可以把這種簡(jiǎn)單計(jì)量方式應(yīng)用在簡(jiǎn)單的生活對(duì)象中。

三、小學(xué)生探究性地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值與意義

“從古希臘時(shí)代起，數(shù)學(xué)因?yàn)樗诳疾熳匀恢兴鸬淖饔枚辉u(píng)價(jià)為頭等重要的。天文學(xué)和音樂(lè)經(jīng)常與數(shù)學(xué)相連接，而力學(xué)和光學(xué)則毫無(wú)疑問(wèn)是數(shù)學(xué)的。”這即是在表明，數(shù)學(xué)所揭示的客觀規(guī)律性不僅是應(yīng)用在經(jīng)驗(yàn)世界中，而且只有在經(jīng)驗(yàn)世界中，數(shù)學(xué)知識(shí)才是客觀有效的。僅僅是純粹的數(shù)學(xué)演繹并不構(gòu)成實(shí)在的價(jià)值和意義，所以，數(shù)學(xué)只能建立在實(shí)用的基礎(chǔ)上。但是，這種實(shí)用性是指數(shù)學(xué)知識(shí)的有效性和運(yùn)用性，而非經(jīng)驗(yàn)世界中的實(shí)用性。經(jīng)驗(yàn)世界中的實(shí)用性，是直接性的，這種直接性不具備有效性和運(yùn)用性。數(shù)學(xué)知識(shí)的有效性和運(yùn)用性就在于它的實(shí)踐性，也即探究性。這種探究性包括兩方面。

(一)數(shù)學(xué)知識(shí)是對(duì)概念的理智構(gòu)造，這種理智構(gòu)造本身就是探究性的。探究性的思維基礎(chǔ)是辯證思維，也就是從概念到概念，概括和細(xì)論，結(jié)合和區(qū)劃，綜合和分析等。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，不僅是使小學(xué)生開(kāi)始掌握清晰自明的數(shù)學(xué)概念，如數(shù)字概念，而且在于使小學(xué)生開(kāi)始掌握和運(yùn)用基本的運(yùn)算能力和分析能力。如小學(xué)數(shù)學(xué)中的四則運(yùn)算、簡(jiǎn)便方法運(yùn)算以及通過(guò)應(yīng)用題的形式來(lái)分析并解決日常生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題等。這即是開(kāi)拓人的探究性思維的開(kāi)始。同時(shí)，這種探究性也在于從開(kāi)始掌握和運(yùn)用時(shí)并進(jìn)入到對(duì)真理性的把握，因?yàn)?，從一開(kāi)始掌握的數(shù)字“1”所代表的數(shù)量概念是不可否認(rèn)的，到數(shù)字“2”為“1+1”所構(gòu)造出來(lái)的概念仍然是十分嚴(yán)密和精確的，以至類(lèi)推，小學(xué)生并一開(kāi)始就從嚴(yán)密和精確的態(tài)度進(jìn)入對(duì)真理的探究中。這種理智的探究性或?qū)嵺`性盡管是人類(lèi)探索真理的源泉，但是，如果超出了實(shí)用意義的范圍，進(jìn)入了純粹理性推理的范圍。那數(shù)學(xué)知識(shí)的確實(shí)性也就完全超出了人類(lèi)的判斷能力，這也就使數(shù)學(xué)知識(shí)的確實(shí)性本身對(duì)于人類(lèi)來(lái)說(shuō)始終處于懸而未決的狀態(tài)而失去意義。

(二)因此，小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的探究性不僅從邏輯推理上是嚴(yán)密和精確的，還在于數(shù)學(xué)思維在日常生活中的運(yùn)用。這種運(yùn)用既是防止因數(shù)學(xué)思維的抽象性而使小學(xué)生在以后對(duì)生活與社會(huì)的思考中由于沒(méi)正確對(duì)待數(shù)學(xué)知識(shí)的確實(shí)性和數(shù)學(xué)推理的意義所在，而陷入純粹的理性主義。甚至主觀唯心主義。因?yàn)?，?shù)學(xué)思維的探究性要具有實(shí)在的意義，必然是只能在解決我們的感官對(duì)象上才有實(shí)在的意義。因此，這種探究性也必須應(yīng)用在對(duì)經(jīng)驗(yàn)事實(shí)的實(shí)踐意義上。同時(shí)，也是防止小學(xué)生因著眼于純粹的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，在以后對(duì)生活和社會(huì)的思考中陷入和心理主義者一樣的境地。這種心理主義在小學(xué)生最開(kāi)始進(jìn)入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)就有所表現(xiàn)，因?yàn)樗耆梢园选?+3=?”的結(jié)果算成不是“5”的任何結(jié)果。當(dāng)然，這種表現(xiàn)并不是心理主義，而是腦子好象是空白的，但這種空白若不經(jīng)嚴(yán)密和精確的邏輯推理進(jìn)行洗禮，這種空白就將被他成長(zhǎng)中的沒(méi)經(jīng)過(guò)嚴(yán)密思考的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)所左右，雖不具備心理主義的理論素養(yǎng)，但其觀念必然是和那些心理主義者的觀念一樣是遭到否定的。