導(dǎo)語：物理教育中現(xiàn)代數(shù)學(xué)思考一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

物理學(xué)研究的終極理論是揭示整個宇宙的秘密。那么在這個過程中，要用大量現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言來描述物理是無容置疑的。然而目前絕大多數(shù)的物理學(xué)家的數(shù)學(xué)功底都不敢恭維，等到需要相關(guān)的數(shù)學(xué)知識時，才發(fā)現(xiàn)彌補起來是難于上青天。就連對數(shù)學(xué)功底相對扎實的楊振寧來說也并非易事，其自學(xué)相關(guān)數(shù)學(xué)的結(jié)果竟是“什么也沒學(xué)到”。那么可想而知，其他物理學(xué)家學(xué)習(xí)相關(guān)數(shù)學(xué)的時候，效果不會太理想，這將直接影響到物理研究的進度。作者認為，物理學(xué)家在成長的過程中，忽視對其現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識的教育是造成這一現(xiàn)狀的根本原因。本文作者結(jié)合自身的興趣領(lǐng)域首先回顧了理論物理和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的緊密聯(lián)系，然后指出目前高等物理教育中對現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容安排不足的現(xiàn)狀，最后給出在高等物理教育中加強現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的一點嘗試性建議，希望以此對高等物理教學(xué)與科研產(chǎn)生一些有益的推動。

一、現(xiàn)論物理和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些緊密聯(lián)系

最簡單的例子是牛頓第二運動定律：F=ma，F(xiàn)是力，是物理量，m是質(zhì)量，a是加速度，在幾何中稱為曲率，因此通過等號物理與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來了。拉格朗日發(fā)展的分析力學(xué)還可以用辛流形描述。眾所周知的例子是愛因斯坦的廣義相對論方程和黎曼幾何。1905年愛因斯坦發(fā)表了狹義相對論，然而相隔十年之久于1916年才發(fā)表了廣義相對論，其中最重要的原因是其數(shù)學(xué)工具不夠，直到后來在其同學(xué)和朋友友格羅斯曼的幫助下，通過黎曼幾何的語言終于得到了廣義相對論方程。

楊振寧是當代的大物理學(xué)家,又是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的重要推動者,他的兩項巨大成就:1954年，和米爾斯發(fā)表了楊密爾斯規(guī)范場和楊–巴克斯特方程，成為80年代以來一系列數(shù)學(xué)研究的出發(fā)點,其影響遍及微分幾何、偏微分方程、低維拓撲等重大數(shù)學(xué)學(xué)科。1975年，楊振寧和吳大峻列了一張對照表，把纖維叢和規(guī)范場的基本對象都一一對應(yīng)起來，比如說麥克斯韋方程是復(fù)一維纖維叢U)上的聯(lián)絡(luò)，在同位旋規(guī)范場時，楊-米爾斯規(guī)范場理論實際上是復(fù)二維纖維叢SU(2)上的聯(lián)絡(luò)。在數(shù)學(xué)中，李群（Liegroup）是具有群結(jié)構(gòu)的實流形或者復(fù)流形，并且群中的加法運算和逆元運算是栁形中的解析映射。李群在數(shù)學(xué)分析、物理和幾何中都有非常重要的作用。還有非交換幾何、例外群和約旦代數(shù)等于與理論物理的前沿研究都非常密切。

二、目前物理教育中現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀

從前面的事實我們可以看到，許多物理理論和現(xiàn)代數(shù)學(xué)特別是代數(shù)和幾何聯(lián)系非常緊密，如果我們能熟練的運用這些工具無疑將對物理研究起到非常重要的推動作用，然而目前我國的高等物理教育現(xiàn)狀是學(xué)物理的學(xué)生只學(xué)了一點點最基本的近代數(shù)學(xué)?，F(xiàn)在我們知道廣義相對論用的數(shù)學(xué)工具是黎曼幾何，但是如果要學(xué)習(xí)黎曼幾何，前面需要預(yù)修的課程有微分幾何和微分流行，而學(xué)物理的學(xué)生的現(xiàn)狀是在微分幾何、微分流行和黎曼幾何都一無所知的情況下就直接去學(xué)習(xí)廣義相對論，因此要想徹底理解并熟練推導(dǎo)幾乎是不可能的事。

群論課程，其本身屬于代數(shù)學(xué)的范疇，但是學(xué)生在沒有接觸預(yù)修課程抽象代數(shù)的前提下直接學(xué)習(xí)群論也有些勉強。量子場論，學(xué)生在沒有學(xué)習(xí)復(fù)幾何和纖維叢理論的前提下，按照物理的邏輯也可以學(xué)習(xí)，但是你對其數(shù)學(xué)工具都不知道，結(jié)果可能總有一種“只在此山中，云深不知處”的感覺。還有對于以后的科研特別是前沿的弦論要用到大量的代數(shù)和幾何的知識，如果在本科和碩博士期間沒有得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)培養(yǎng)，等意識到需要這些數(shù)學(xué)工具并且僅僅依靠自學(xué)的話可能確實不大容易，楊振寧在自學(xué)了一段纖維叢的理論后“什么也沒學(xué)到”，我想大多數(shù)人并不會比楊振寧有更多收獲。

因此，在上學(xué)期間給學(xué)物理的學(xué)生搭建一個學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的平臺是至關(guān)重要的事情。三、在高等物理教育中進行現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的一點嘗試性建議偉大的革命導(dǎo)師恩格斯，站在辯證唯物主義的理論高度，指出“數(shù)學(xué)是數(shù)量的科學(xué)”，“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系”。純粹數(shù)學(xué)也叫基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，專門研究數(shù)學(xué)本身的內(nèi)部規(guī)律。中小學(xué)課本里介紹的代數(shù)、幾何、微積分、概率論知識，都屬于純粹數(shù)學(xué)。他的一個顯著特點，就是暫時撇開具體內(nèi)容，以純粹形式研究事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式。如研究梯形的面積計算公式，至于它是梯形稻田的面積，還是梯形機械零件的面積，都無關(guān)緊要，大家關(guān)心的只是蘊含在這種幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系。根據(jù)高等物理教育的課程需要和以后的再學(xué)習(xí)及科研發(fā)展需要，我們針對不同教育階段作如下嘗試性建議。在本科階段，把微分幾何和抽象代數(shù)作為專業(yè)必修課是非常必要的，高等代數(shù)、點集拓撲和泛函分析可以作為選修課。對于高等代數(shù)、點集拓撲和泛函分析我們建議選修。我們通過回顧現(xiàn)代數(shù)學(xué)和物理的聯(lián)系，結(jié)合目前高等物理教育的現(xiàn)狀，針對物理課程學(xué)習(xí)與科研的需要，提出了一點加強現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的嘗試性建議，希望以此拋磚引玉對高等物理教育與科研產(chǎn)生一些有益的推動。