導(dǎo)語(yǔ)：如何才能寫好一篇數(shù)學(xué)建模窮舉法，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公文云整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

【關(guān)鍵詞】模擬退火算法 信道選擇

一、引言

無(wú)線通信技術(shù)為人們生活帶了便利和高效率。作為傳統(tǒng)有線網(wǎng)絡(luò)的一種替代方案和延伸，無(wú)線通信技術(shù)用無(wú)線空口替代網(wǎng)線，把人們固定有線接入解放出來(lái)，隨時(shí)隨地方便的獲取信息和提供娛樂(lè)。隨著智能手機(jī)和Pad的大規(guī)模普及，基于移動(dòng)智能終端的數(shù)據(jù)業(yè)務(wù)爆發(fā)式增長(zhǎng)，傳統(tǒng)運(yùn)營(yíng)商采用的2G/3G宏基站網(wǎng)絡(luò)無(wú)法支持移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)海量數(shù)據(jù)流量，移動(dòng)運(yùn)營(yíng)商開始關(guān)注利用微基站接入點(diǎn)作為容量吸收層承載數(shù)據(jù)業(yè)務(wù)。微基站接入點(diǎn)包括家庭用Femto、WLAN等。在國(guó)內(nèi)，中國(guó)電信、中國(guó)移動(dòng)、中國(guó)聯(lián)通自2008年以來(lái)都大范圍的部署和推廣微蜂窩接入點(diǎn)，將其作為現(xiàn)有無(wú)線網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)充，吸收容量。微蜂窩由于數(shù)量眾多，部署場(chǎng)景千差萬(wàn)別，微蜂窩與宏蜂窩的差別之一就是要能夠?qū)崿F(xiàn)自動(dòng)的頻段規(guī)劃，否則依靠人工規(guī)劃部署，巨大的工作量將導(dǎo)致不可能進(jìn)行實(shí)際部署。

二、數(shù)學(xué)建模和求解

運(yùn)營(yíng)商部署WLAN網(wǎng)絡(luò)面臨的一個(gè)重要問(wèn)題就是，如何進(jìn)行WLAN網(wǎng)絡(luò)頻率資源的規(guī)劃，頻譜規(guī)劃的好壞關(guān)系到網(wǎng)絡(luò)的性能。簡(jiǎn)單的說(shuō)為了網(wǎng)絡(luò)獲取更好的性能，頻率規(guī)劃的原則應(yīng)該使得相鄰微基站盡量使用不同的頻點(diǎn)盡量錯(cuò)開，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的平均干擾水平最小。

以WLAN微蜂窩為例，WLAN一般使用20MHz工作帶寬，工作在2.4GHz和5GHz頻段非授權(quán)頻譜。在2.4GHz頻段WLAN有3個(gè)不重疊的20MHz信道，信道之間相互不會(huì)干擾。

為了使得問(wèn)題具有通用性，假設(shè)有N個(gè)相互不干擾的工作頻點(diǎn)，N為確定常數(shù)。在一定區(qū)域內(nèi)要部署M個(gè)微基站接入點(diǎn)，最終求解是使得M個(gè)AP形成的網(wǎng)絡(luò)性能最好，即干擾最小。在第n個(gè)頻點(diǎn)工作的PAni對(duì)PAnj的干擾為。這個(gè)問(wèn)題就變成求解最小。這是個(gè)問(wèn)題可歸結(jié)為一個(gè)數(shù)學(xué)上的NP問(wèn)題。使用窮舉求解這個(gè)問(wèn)題，需要的實(shí)驗(yàn)次數(shù)為M^N，即求解該問(wèn)題的復(fù)雜度O（M^N）。

通過(guò)窮舉遍歷試驗(yàn)可以求得NP問(wèn)題的最優(yōu)解，但一般情況下，遍歷的復(fù)雜度即實(shí)驗(yàn)時(shí)間往往會(huì)是一個(gè)天文數(shù)字，使得實(shí)際中根本無(wú)法通過(guò)這種方法獲得最優(yōu)解。爬山算法是一種局部最優(yōu)化解，其復(fù)雜度為線性，但往往會(huì)導(dǎo)致只搜索到局部最優(yōu)解。爬山算法是一種簡(jiǎn)單的貪心搜索算法，該算法每次從當(dāng)前解的臨近解空間中選擇一個(gè)最優(yōu)解作為當(dāng)前解，直到達(dá)到一個(gè)局部最優(yōu)解。爬山算法實(shí)現(xiàn)很簡(jiǎn)單，其主要缺點(diǎn)是會(huì)陷入局部最優(yōu)解，而不一定能搜索到全局最優(yōu)解。1989 年 Johnson 等人通過(guò)詳盡的實(shí)驗(yàn)證實(shí)了采用模擬退火算法求解NP問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)。爬山法每次都選擇一個(gè)當(dāng)前局部最優(yōu)解，因此只能搜索到局部的最優(yōu)值。模擬退火在搜索過(guò)程引入了隨機(jī)因素，以一定的概率來(lái)接受一個(gè)比當(dāng)前解要差的解，所以可能會(huì)跳出這個(gè)局部的最優(yōu)解，到達(dá)全局最優(yōu)解。模擬退火算法在搜索到局部最優(yōu)解后，會(huì)以一定的概率接受到非局部最優(yōu)的移動(dòng)。也許經(jīng)過(guò)幾次這樣的不是局部最優(yōu)的移動(dòng)后會(huì)跳出了局部最優(yōu)向全局最優(yōu)方向進(jìn)行搜索。

模擬退火算法基本思想和過(guò)程如下：

假設(shè)代價(jià)函數(shù)為J（Y），第i次迭代過(guò)程代價(jià)函數(shù)為J（Y（i））；

若J（ Y（i+1） ）>= J（ Y（i） ），即移動(dòng)后得到更優(yōu)解，則總是接受該移動(dòng)；

若J（ Y（i+1） ）< J（ Y（i） ），即移動(dòng)后的解比當(dāng)前解要差，則以一定的概率接受移動(dòng)，而且這個(gè)概率隨著時(shí)間推移逐漸降低，以使得該過(guò)程收斂。

這里的“一定的概率”計(jì)算參考了金屬冶煉的退火過(guò)程，這也是模擬退火算法名稱的由來(lái)。根據(jù)熱力學(xué)的原理，在溫度為T時(shí)，出現(xiàn)能量差為dE的降溫的概率為P（dE），表示為，P（dE） = exp（ dE/（kT） ）。

其中k是一個(gè)常數(shù)，exp表示自然指數(shù)，且dE

假設(shè)在1000平方米區(qū)域隨機(jī)布放200個(gè)接入點(diǎn)，有4個(gè)可用信道頻率。使用窮舉法，需要進(jìn)行200^4=1.6x10^9次試驗(yàn)。

使用模擬退火算法，構(gòu)建代價(jià)函數(shù)，

其中，代表工作在第n個(gè)頻點(diǎn)的PAni對(duì)PAnj的干擾。

通過(guò)仿真證明，使用模擬退火算法能夠以較小的復(fù)雜度得到與窮舉法幾乎一致的最優(yōu)解。

三、總結(jié)

本文分析了WLAN頻率規(guī)劃中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，歸結(jié)為NP問(wèn)題求解，證明了模擬退火算法解決這一類問(wèn)題的實(shí)際可行性。

參考文獻(xiàn)：

[1]Optimization by Simulated Annealing： An Experimental Evaluation； Part I， Graph Partitioning， David S. Johnson， Cecilia R. Aragon， Lyle A. McGeoch， Catherine Schevon；

[2]模擬退火算法與遺傳算法的結(jié)合，王雪梅，王義和， 《計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)》1997年04期；

[3]新型遺傳模擬退火算法求解物流配送路徑問(wèn)題， 閻慶， 鮑遠(yuǎn)律， 計(jì)算機(jī)應(yīng)用 2004年z1期；

篇2

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)建模 課程改革

引言

數(shù)學(xué)建模，從宏觀上講是人們借助數(shù)學(xué)改造自然、征服自然的過(guò)程，從微觀上講是把數(shù)學(xué)作為一種工具并應(yīng)用它解決實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)活動(dòng)方式。數(shù)學(xué)建模通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型解決各種實(shí)際問(wèn)題，即用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言刻畫和描述實(shí)際問(wèn)題，然后經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)的處理得到定量的結(jié)果。數(shù)學(xué)建模教學(xué)與競(jìng)賽是提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的有效途徑。隨著數(shù)學(xué)建模的廣泛應(yīng)用，其重要性也得到認(rèn)可，逐漸由非主干課轉(zhuǎn)化為主干課，課時(shí)和實(shí)踐環(huán)節(jié)也隨之增加，但同時(shí)，在各種教學(xué)實(shí)踐和參賽實(shí)踐中，數(shù)學(xué)建模也暴露了許多問(wèn)題，這就引發(fā)了數(shù)學(xué)建模的改革。

1.數(shù)學(xué)建模課程的存在的問(wèn)題以及引起這些問(wèn)題的原因

1.1數(shù)學(xué)建模存在的問(wèn)題

1.1.1教學(xué)內(nèi)容選擇不合理，具有很大的隨意性

目前數(shù)學(xué)建模在教學(xué)中還沒(méi)有形成比較完整嚴(yán)密的教學(xué)體系，教學(xué)資料的編排也各不相同，有些教材以實(shí)際問(wèn)題為主線編排，有些教材則以所使用的數(shù)學(xué)方法為主線編排。以實(shí)際問(wèn)題為主線的編排體系，主要是羅列問(wèn)題，過(guò)分突出問(wèn)題的解決，教材中涵蓋了大量難度較大的現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型，這些模型應(yīng)用了大量的非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識(shí)和方法，照搬這類教材進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)，學(xué)生接受難，教師駕馭難。而以數(shù)學(xué)方法為主線的編排體系，則過(guò)分突出了數(shù)學(xué)知識(shí)的介紹，由于數(shù)學(xué)建模所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)十分廣泛，幾乎涉及到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，因此對(duì)教師的知識(shí)結(jié)構(gòu)提出了很高的要求；同時(shí)此體系還存在很多課程內(nèi)容重復(fù)現(xiàn)象。

1.1.2教師教學(xué)方法不得當(dāng)，模型講解過(guò)于機(jī)械

高校開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程的時(shí)間較短，缺乏應(yīng)有的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)借鑒，大多數(shù)教師仍然采用一般數(shù)學(xué)課程的教學(xué)方法，對(duì)各種模型按照所用數(shù)學(xué)知識(shí)機(jī)械講解，對(duì)問(wèn)題的形成背景，建模過(guò)程中可能用到的不同數(shù)學(xué)思想和方法很少顧及。實(shí)際上，數(shù)學(xué)建模課程和一般的數(shù)學(xué)課程有很大不同。在建模中，近似解也許比解析解更合理，窮舉法也不再是笨辦法。因此照搬一般數(shù)學(xué)課程中的教學(xué)方法是行不通的，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)應(yīng)該更靈活、更主動(dòng)，否則會(huì)使得學(xué)生難以掌握數(shù)學(xué)建模的精髓。

1.1.3學(xué)生學(xué)習(xí)方法不靈活，學(xué)習(xí)過(guò)程過(guò)于死板

與教師在教學(xué)方法上的問(wèn)題相似，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模課程中也會(huì)沿用在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)課程中的方法，但到了數(shù)學(xué)建模，很多學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些學(xué)習(xí)方法應(yīng)多一線數(shù)學(xué)建模教師也不善于引導(dǎo)學(xué)生靈活地應(yīng)用已掌握的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)求解建模問(wèn)題，使得學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)建模過(guò)于復(fù)雜而產(chǎn)生畏懼。應(yīng)付不了數(shù)學(xué)建模這門課程的學(xué)習(xí)，從而是學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)非常吃力。

1.2引起這些問(wèn)題的原因

根據(jù)多方面的了解以及研究，我們可以發(fā)現(xiàn)，引起以上這些問(wèn)題的原因可以總結(jié)為以下幾個(gè)幾點(diǎn)：

第一、在日常的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)熱情不高，積極性也不高，總是抱著臨陣磨槍的心態(tài)來(lái)應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)建模課程的學(xué)習(xí)。

第二，在參加競(jìng)賽培訓(xùn)的學(xué)生中，學(xué)生的專業(yè)比較單一，數(shù)學(xué)建模課程沒(méi)有在高校學(xué)生中得到廣泛的推廣，這些雖與宣傳力度以及缺少必要的教學(xué)環(huán)節(jié)都存在或多或少的關(guān)系。

第三，高低年紀(jì)的學(xué)生參加比例與獲獎(jiǎng)人數(shù)不成比例。對(duì)于高年級(jí)的同學(xué)，特別是大四的同學(xué)來(lái)說(shuō)，他們擁有較厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，但由于面臨著畢業(yè)，考研、工作、出國(guó)的等各種壓力，參賽的學(xué)生較少，但獲獎(jiǎng)的比例卻很大；而低年級(jí)的同學(xué)，參加的人數(shù)較多，且積極性很高，但成績(jī)不突出，獲獎(jiǎng)的人數(shù)也很少。這些從側(cè)面反映了低年級(jí)課程安排不合理，有些課程開設(shè)的太晚。

第四，還有很多人把數(shù)學(xué)建模課程的重點(diǎn)放在了具有復(fù)雜背景的實(shí)際問(wèn)題的解決上，他們忽略了數(shù)學(xué)專業(yè)的特點(diǎn)以及培養(yǎng)目標(biāo)，數(shù)學(xué)建模課程的重點(diǎn)應(yīng)該放在樹立信念、培養(yǎng)意識(shí)和能力上。

第五，數(shù)學(xué)建模課程的開設(shè)以及使用的教材也存在著很多不足。大部分的高校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的數(shù)學(xué)建模課程照搬理工類專業(yè)數(shù)學(xué)建模教材，而這些教材主要存在以下問(wèn)題：首先，教材中包含大量難度較大的現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型，要理解這些問(wèn)題很困難，導(dǎo)致了大部分學(xué)生的死記硬背； 再者，這些教材主要是采用以問(wèn)題為主線的塊狀編排體系，重點(diǎn)是問(wèn)題的列，過(guò)分突出問(wèn)題解決?？梢姡瞻徇@些教材給數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)帶來(lái)了較大的負(fù)面影響，老師難以駕馭，學(xué)生也難以理解，更重要的是難以落實(shí)數(shù)學(xué)教育專業(yè)數(shù)學(xué)建模課程應(yīng)使學(xué)生樹立“數(shù)學(xué)具有廣泛應(yīng)用性”的信念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)和能力，使學(xué)生掌握一套數(shù)學(xué)建模方法等目標(biāo)，難以適應(yīng)高等學(xué)校數(shù)學(xué)教育改革的需要。

綜上所述，我們可以看出，解決數(shù)學(xué)建模課程實(shí)施中所存在的問(wèn)題是課程建設(shè)與改革的重中之重，建構(gòu)符合數(shù)學(xué)教育專業(yè)實(shí)際和特色的教材以及形成一套與數(shù)學(xué)教育專業(yè)特點(diǎn)相適應(yīng)的、科學(xué)的教學(xué)方法是當(dāng)務(wù)之急。

2.數(shù)學(xué)建模課程的改革

數(shù)學(xué)建模課程在大學(xué)的日常學(xué)習(xí)中得到了廣泛的應(yīng)用，但同時(shí)也存在許多方面的缺點(diǎn)，為此，我們需要來(lái)改善數(shù)學(xué)建模課程中存在的問(wèn)題，來(lái)方便學(xué)生日常生活的使用。我們可以通過(guò)以下途徑來(lái)完成數(shù)學(xué)建模課程的改善：

首先，要精心設(shè)計(jì)教學(xué)案例，開展案例教學(xué)法。教學(xué)案例的選取要具有代表性、原始性、趣味性、創(chuàng)新性，要能使學(xué)生很好的融入這個(gè)案例中。對(duì)于案例的課堂教學(xué)，應(yīng)該注重兩方面，第一個(gè)方面要從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，講清問(wèn)題的背景、建模的要求和已掌握的信息，如何通過(guò)合理的假設(shè)和簡(jiǎn)化分析建立優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型。另外一個(gè)方面就是老師的講授必須和學(xué)生的討論相結(jié)合。

其次，把好課后建模實(shí)踐訓(xùn)練關(guān)，鞏固和深化課堂教學(xué)。為了是學(xué)生更好的學(xué)習(xí)，老師可以通過(guò)布置課后作業(yè)，組織同學(xué)們?cè)谡n堂上討論，讓學(xué)生們上機(jī)操作，來(lái)熟練各種數(shù)學(xué)軟件的具體使用，做到手和腦的結(jié)合使用，以及在學(xué)完一部分知識(shí)后給同學(xué)們做定時(shí)的小測(cè)試。

再者，就是不斷提高數(shù)學(xué)老師自身的水平。為了提高老師的水平，一方面可以多派老師走出去進(jìn)行專業(yè)培訓(xùn)學(xué)習(xí)和學(xué)術(shù)交流。另一方面可以多請(qǐng)著名的專家教授走進(jìn)來(lái)做建模學(xué)術(shù)報(bào)告，使師生增長(zhǎng)知識(shí)，拓寬視野，了解科學(xué)發(fā)展前沿的新趨勢(shì)、新動(dòng)態(tài)。另外，數(shù)學(xué)老師還必須更新教育理念，不斷積累和更新專業(yè)知識(shí)，其中包括較寬廣的人文和科學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)老師只有不斷創(chuàng)新，努力提高自身素質(zhì)，才能適應(yīng)新的形勢(shì)，符合時(shí)展的要求。

3.結(jié)語(yǔ)

總而言之，數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容具有很實(shí)用的價(jià)值，對(duì)于提高學(xué)生綜合的素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力具有重要的意義，它不僅為學(xué)生提供了一個(gè)參與實(shí)踐、勇于創(chuàng)新的平臺(tái)，也為學(xué)生的進(jìn)一步發(fā)展打下了良好的基礎(chǔ)。至于數(shù)學(xué)建模課程的推廣以及進(jìn)一步的改革始終是數(shù)學(xué)建模這門課程的關(guān)鍵，并有待大家進(jìn)一步的思考和探索。

參考文獻(xiàn)：

1.阮曉青，周義倉(cāng).數(shù)學(xué)建模引論[M].北京：高等教育出版社，2005：103-200.

篇3

關(guān)鍵詞：高考； 數(shù)學(xué)； 生活； 新課程； 教學(xué)

中圖分類號(hào)：G633．6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-3315（2014）04-056-001

全國(guó)高考一年一度，每年試卷中總會(huì)涌現(xiàn)出一些可以耐人尋味的好題。我發(fā)現(xiàn)2008年全國(guó)Ⅰ卷的文科數(shù)學(xué)選擇的第12題頗有些韻味，現(xiàn)闡述如下：

將1、2、3填入3×3的方格中，要求每行每列都沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，下面是一種填法，

則不同的填寫方法共有（）

A、6種B、12種C、24種D、48種

解析：可以先考慮第一列，任意填，有A33＝6種填寫方法，再考慮第二列，按要求不能在行和列中出現(xiàn)重復(fù)數(shù)字，則只有2種方法，到第三列時(shí)，每行中的數(shù)字就只有固定的唯一的數(shù)字可以填進(jìn)去了。所以不同的填寫方法共有6×2＝12種。

這道題的高考原型我看該是上個(gè)世紀(jì)1993年的全國(guó)考題，下面我們共同回顧一下這個(gè)題目：

同室四人各寫一張賀卡，先集中起來(lái)，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡的不同的分配方式有（ ）

A、6種B、9種C、11種D、23種

這道“古老”的題目解法是這樣的：

第一步：四個(gè)人中的任意一人（例如A）先取一張，則由題意知共有3種取法；第二步：由第一人取走的賀卡的供卡人取，也有3種取法；第三步：由剩余的兩人中的任一人取，只有一種取法；第四步：最后一人取，只有一種取法，由分步計(jì)數(shù)原理，共3×3×1×1=9（種）

這道題目還是用窮舉法比較簡(jiǎn)單：

如果第二步考慮第三個(gè)人，那么當(dāng)?shù)谌齻€(gè)人拿第一個(gè)人的賀卡，則第三、第四步只能有一種情況(二拿四的賀卡，四拿三賀卡),若第三個(gè)人拿第四個(gè)人的賀卡，那么第三、四步有兩種可能(二拿一的賀卡，四拿三的賀卡；或二拿三的賀卡，四拿一的賀卡),這樣第一步定了之后也有1+2=3種方法，一共3×3=9種。

而這題的另一原型則是更為古老卻依然煥發(fā)著青春魅力的，在時(shí)下里非常流行的游戲――數(shù)獨(dú)。

2008年的這道高考題確實(shí)是一道好題，首先考察了考生排列組合的基本解題能力，又兼顧我們的高考?xì)v史，使得高考試題有著自身的傳承性、規(guī)律性，同時(shí)還與當(dāng)前風(fēng)靡的游戲有了粘連。可以說(shuō)是汲取了歷史精華，與現(xiàn)實(shí)生活結(jié)合緊密的一道好題。

我們知道，很多文科考題，比如文綜中的政治學(xué)科總是緊扣當(dāng)下時(shí)政；那么作為理科的數(shù)學(xué)又是怎樣呢？除了前面列舉的題目，我還找了幾題與您共同解析。先看這道極接地氣的題目吧，取自2013年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試上海數(shù)學(xué)試卷。

錢大姐常說(shuō)“便宜沒(méi)好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的（ ）

(A)充分條件(B)必要條件

(C)充分必要條件(D)既非充分也非必要條件

解析：便宜?圯沒(méi)好貨，等價(jià)于，好貨?圯不便宜，故選B。

再如2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖南卷

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑成為M到N的一條“L路徑”。如圖6所示的路徑MM1M2M3N與路徑MN1N都是M到N的“L路徑”。某地有三個(gè)新建的居民區(qū)，分別位于平面xoy內(nèi)三點(diǎn)處A(3,20),B(-10,0),C(14,0)?，F(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域（包含x軸）內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心。

（I）寫出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式（不要求證明）；

（II）若以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū)，“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置，使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度值和最小。

如圖,在矩形區(qū)域ABCD的A,C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站，假設(shè)其信號(hào)覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無(wú)其他信號(hào)來(lái)源,基站工作正常)。若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn),則該地點(diǎn)無(wú)信號(hào)的概率是（）

(A)1-■ (B)■-1

(C)2-■ (D)■

以上兩題，涉及了居住環(huán)境的改善、美化，也有網(wǎng)絡(luò)時(shí)代最基本的建設(shè)基站的問(wèn)題，與年輕的學(xué)生很貼近。

實(shí)際上，新一輪課程改革中，也頻繁提到這些理念。新課程標(biāo)準(zhǔn)就指出，“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),通過(guò)豐富的實(shí)例引入數(shù)學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，經(jīng)歷探索、解決問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到：數(shù)學(xué)與我有關(guān)，與實(shí)際生活有關(guān)，數(shù)學(xué)是有用的，我要用數(shù)學(xué)，我能用數(shù)學(xué)。在有關(guān)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生直接應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題；通過(guò)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型，嘗試用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法去解決問(wèn)題；向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)在社會(huì)中的廣泛應(yīng)用，鼓勵(lì)學(xué)生注意數(shù)學(xué)應(yīng)用的事例，開闊他們的視野。”我們應(yīng)該深入的領(lǐng)會(huì)學(xué)習(xí)新課改理念。

所以，在今后的高考題目中，我們會(huì)越來(lái)越多的看到這樣生活氣息濃厚的高考題，比如霧霾、房（金）價(jià)、春晚、奧運(yùn)會(huì)等都會(huì)成為命題很好的載體。所以，我們平時(shí)的教學(xué)中也該充分挖掘教材，不要僅僅局限在所謂“應(yīng)用題”上面，應(yīng)該廣泛的聯(lián)系生活實(shí)際，課堂上多一些“純數(shù)學(xué)”之外的話題，讓生活融入到數(shù)學(xué)中來(lái)，讓數(shù)學(xué)生活化。讓數(shù)學(xué)真正成為我們生活中可以幫助到我們的學(xué)科，讓學(xué)生體會(huì)到生活離不開數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)即生活，生活即數(shù)學(xué)。

數(shù)學(xué)學(xué)科更重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)和思想方法去解決生活中所遇到的實(shí)實(shí)在在的問(wèn)題。我想，做到了這些，才真正實(shí)現(xiàn)了教學(xué)的三維目標(biāo)，同時(shí)這也是素質(zhì)教育有別于應(yīng)試教育的一種具體體現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]任子朝.高考數(shù)學(xué)命題研究(續(xù))中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考[J]1994年06期

[2]章建躍.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教材的研究與編寫[J]課程?教材?教法，2005年01期

篇4

中圖分類號(hào)：G420文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1674-4853（2013）03-0104-05

計(jì)算機(jī)理論教學(xué)的內(nèi)容偏重基礎(chǔ)性、理論性知識(shí)，不同于許多計(jì)算機(jī)課程的實(shí)用性，學(xué)生認(rèn)為該課程對(duì)專業(yè)的學(xué)習(xí)無(wú)用，且又難學(xué)，影響了積極性。例如離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容廣泛知識(shí)點(diǎn)還比較分散，包括多個(gè)有一定關(guān)聯(lián)的分支，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)疲于應(yīng)付各種概念定義，難以消化理解，更難以自學(xué)和提高。

其實(shí)之所以被稱為計(jì)算機(jī)專業(yè)基礎(chǔ)課，是因?yàn)殡x散數(shù)學(xué)在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法分析、操作系統(tǒng)、數(shù)據(jù)庫(kù)、網(wǎng)絡(luò)與分布式計(jì)算、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、人工智能自動(dòng)機(jī)、人機(jī)交互等許許多多的方面都得到了廣泛的應(yīng)用。[1]這更要求學(xué)生學(xué)好它為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，所以需要針對(duì)離散數(shù)學(xué)的特性進(jìn)行分析，然后在教學(xué)內(nèi)容和模式上依據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué)改革，希望能夠使得同學(xué)更好得接受和掌握離散數(shù)學(xué)的思想和學(xué)習(xí)方法，提高教學(xué)效果。

一、離散數(shù)學(xué)的特點(diǎn)

“離散數(shù)學(xué)”是計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課程，課程概念繁多、理論性強(qiáng)、抽象深?yuàn)W，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高、難以入門和鞏固，教學(xué)效果不很理想。所以在“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)中重點(diǎn)應(yīng)該是幫助學(xué)生完成“從理論到實(shí)際”的轉(zhuǎn)變，使學(xué)生逐步掌握理論過(guò)渡到應(yīng)用的方法過(guò)程；培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力、邏輯推理能力、歸納構(gòu)造能力和實(shí)踐創(chuàng)新能力。在開始的概論里，可以用一首自編的詩(shī)來(lái)概括離散的特征：

數(shù)學(xué)當(dāng)作語(yǔ)文念，定理定義隨處見；

傳統(tǒng)概念重新建，應(yīng)用模型很關(guān)鍵。

以下具體分析離散數(shù)學(xué)的一些特點(diǎn)、難點(diǎn)。

（一）概念和定理多且前后銜接緊密

每章節(jié)的內(nèi)容都是建立在全新的概念之上，然后推理演繹出新的概念和定理等，接著就是這些定義定理的直接應(yīng)用。經(jīng)常概念就是定理，或者性質(zhì)，甚至概念就是運(yùn)算法則，所以掌握、理解和運(yùn)用這些概念和定理是學(xué)好這門課的關(guān)鍵。要特別注意概念之間的聯(lián)系，概念也要和定理、性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)理解，再結(jié)合各種題型和數(shù)學(xué)模型來(lái)記憶。

（二）方法性強(qiáng)

離散數(shù)學(xué)要求的抽象思維和構(gòu)造能力較高。通過(guò)對(duì)它的學(xué)習(xí)，能大大提高我們本身的邏輯推理能力、抽象構(gòu)造能力和形式化思維能力，從而今后在學(xué)習(xí)任何一門計(jì)算機(jī)科學(xué)的專業(yè)主干課程時(shí)，都不會(huì)遇上任何思維理解上的困難。離散數(shù)學(xué)的證明題多，不同的題型會(huì)需要不同的證明方法（如直接證明法、反證法、歸納法、構(gòu)造性證明法），同一個(gè)題也可能有幾種方法。特殊的題型有特殊的對(duì)應(yīng)方法模型，必須專門強(qiáng)化記憶。

（三）入門難，概念的前后關(guān)聯(lián)強(qiáng)

由于是全新的概念或定義，且本身又非常抽象，初學(xué)者往往不能在腦海中建立起它們與現(xiàn)實(shí)世界中客觀事物的聯(lián)系，初學(xué)者不容易進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。因此一開始必須準(zhǔn)確、全面、完整地記住并理解所有的定義和定理。最好和已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系，這樣才可能更好適應(yīng)抽象的連綿不斷的概念，并為后續(xù)循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。例如，通過(guò)與學(xué)生已經(jīng)熟練掌握的中學(xué)數(shù)學(xué)的比較來(lái)進(jìn)一步分析離散數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。其實(shí)中學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)歸納法、排列組合就是典型的離散數(shù)學(xué)問(wèn)題。然后進(jìn)一步利用“面積證明勾股定理“的過(guò)程和“著色原理證明世界上任取6人必然有3人相互認(rèn)識(shí)或者不認(rèn)識(shí)“兩問(wèn)題進(jìn)行比較分析，它們共同點(diǎn)都是題目抽象且給出的條件少，通過(guò)巧妙借用構(gòu)造特殊的圖形來(lái)完成證明；不同點(diǎn)是勾股定理證明是利用計(jì)算面積相等來(lái)完成，而后者是利用“著色模型“加上“鴿巢原理“再結(jié)合圖形空間結(jié)構(gòu)關(guān)系來(lái)完成，總結(jié)出的區(qū)別是離散數(shù)學(xué)的問(wèn)題一般和圖形的大小、長(zhǎng)短、面積等數(shù)值無(wú)關(guān)，側(cè)重于考察問(wèn)題關(guān)聯(lián)、變化、約束等內(nèi)在邏輯關(guān)系。

（四）符號(hào)、圖形多

離散數(shù)學(xué)的經(jīng)典內(nèi)容包括命題邏輯、謂詞邏輯、集合、關(guān)系、代數(shù)系統(tǒng)、圖論等方面的基本知識(shí)。每章的概念、定理、證明、推導(dǎo)、解題等全部環(huán)節(jié)都需要用符號(hào)、中英文名詞術(shù)語(yǔ)等來(lái)表示，或者借助圖形來(lái)介紹說(shuō)明。所以離散數(shù)學(xué)比其他課程要多花時(shí)間來(lái)記憶各種字符、符號(hào)、圖形，弄清楚其內(nèi)在關(guān)系和演繹過(guò)程。例如集合、笛卡爾積、關(guān)系、關(guān)系閉包、等價(jià)關(guān)系、劃分等一系列的概念是一層層疊加起來(lái)的，后面的概念都是建立在前面概念基礎(chǔ)上的，必須弄清楚其來(lái)龍去脈，否則你直接說(shuō)劃分是說(shuō)不清楚的。當(dāng)然借助對(duì)各種符號(hào)、圖形的理解也是有利于對(duì)概念的記憶。離散數(shù)學(xué)除了教給學(xué)生離散數(shù)學(xué)知識(shí)以外，更重要的是通過(guò)嚴(yán)格的訓(xùn)練，逐步實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維方式的數(shù)學(xué)化、符號(hào)化、計(jì)算機(jī)化。對(duì)于符號(hào)的掌握是非常重要的，因?yàn)槿康膯?wèn)題最后都是可以通過(guò)符號(hào)輸入指揮計(jì)算機(jī)來(lái)解決的。

（五）題型眾多且解題方法奇特

學(xué)數(shù)學(xué)就要做題目，學(xué)習(xí)不僅限于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的還在于學(xué)習(xí)思維方法和解決問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)的題目數(shù)量自然是非常多的，但題目的種類卻很有限。尤其是在命題證明的過(guò)程中，最重要的是要掌握證明的思路和方法，要善于總結(jié)和歸納，仔細(xì)體會(huì)題目類型和解題套路。例如在命題邏輯中判斷推理是否正確有真值表法、直接證法、間接證法或反證法等，需要多作練習(xí)，才可以較快地領(lǐng)悟其本質(zhì)，能夠看出它所屬的類型及關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)，找到對(duì)應(yīng)的模型，就不難選用正確的解決方法。例如前綴碼問(wèn)題對(duì)應(yīng)的就是最優(yōu)樹模型，通過(guò)不斷積累模型來(lái)擴(kuò)展解題思路。同時(shí)在記憶模型的基礎(chǔ)上通過(guò)相應(yīng)的思維訓(xùn)練提高思維變通性，進(jìn)而提高解決問(wèn)題的能力。

（六）章節(jié)內(nèi)容差異大且解題思路難尋

集合、關(guān)系、邏輯、圖論和代數(shù)系統(tǒng)各章節(jié)自成體系，各部分內(nèi)容差異很大，從概念到定理到解題方法大不相同。特別是離散數(shù)學(xué)證明題的方法性是很強(qiáng)的，如果知道一道題屬于哪個(gè)章節(jié)，該用什么知識(shí)點(diǎn)和方法，那離答案就不遠(yuǎn)了。因此在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，要勤于思考，善于總結(jié)，在離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程里對(duì)概念的理解是重中之重。當(dāng)題目很抽象，不能夠很明確找到對(duì)應(yīng)概念的時(shí)候，一些常規(guī)的解題思路也是需要強(qiáng)化給學(xué)生的，下面介紹幾種方法。

1.嘗試法。這是被運(yùn)用比較廣泛的啟發(fā)法，使用所有你想到的操作手法，嘗試著看看能不能得到有用的結(jié)論或者邊界點(diǎn)、特例等，盡量離答案近一點(diǎn)，通過(guò)窮舉各種允許或不允許的可能性來(lái)尋找那些關(guān)鍵的性質(zhì)。窮舉法也是本辦法的一個(gè)特例，窮舉法不一定就是最笨的辦法。

2.結(jié)論分析法。結(jié)論往往蘊(yùn)含著豐富的條件，譬如對(duì)什么樣的解才是滿足題意的解的約束。借助結(jié)論中蘊(yùn)含的內(nèi)容，可以為題目提供更多信息量和縮小思考范圍。

3.縮放條件法（如刪除、增加、改變條件）。有時(shí)候通過(guò)調(diào)整題目的條件，我們往往迅速能夠發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間是如何聯(lián)系的。通過(guò)扭曲問(wèn)題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，我們能發(fā)現(xiàn)原本結(jié)構(gòu)里面重要的東西。

4.抽象具體法。求解一個(gè)抽象的題目先解決一個(gè)類似的具體題目，或者由具體到抽象。將問(wèn)題泛化，并求解這個(gè)泛化后的問(wèn)題。類似的題目也許有類似的結(jié)構(gòu)，類似的性質(zhì)，類似的解決方案。通過(guò)考察或回憶一個(gè)類似的題目是如何解決的，也許就能夠借用一些重要的點(diǎn)子。

5.對(duì)立面法或反證法。實(shí)在沒(méi)有辦法了，還可以列出所有可能跟問(wèn)題有關(guān)的概念、定理或性質(zhì)，來(lái)尋找和題目的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)思路，這是一種經(jīng)常被使用的方法。

通過(guò)以上五個(gè)方面的特點(diǎn)分析和一些經(jīng)驗(yàn)對(duì)策的介紹，已經(jīng)可以說(shuō)明離散數(shù)學(xué)的教學(xué)難點(diǎn)和需要改進(jìn)加強(qiáng)的環(huán)節(jié)。在教學(xué)中還可以進(jìn)一步總結(jié)突出離散數(shù)學(xué)，其可以被看作是數(shù)學(xué)的前傳、是符號(hào)的語(yǔ)言，與一般的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法大不相同。

二、教學(xué)內(nèi)容改革和模式變化

離散數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)是為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他計(jì)算機(jī)課程打基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算機(jī)模式的思維推理能力，提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)和模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力。所有這些需要優(yōu)化理論教學(xué)，重視實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié)，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成形式化思維和解決問(wèn)題能力，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)其他計(jì)算機(jī)應(yīng)用課程時(shí)，遇上困難知道如何去理解問(wèn)題、歸納推理、尋求解決方法。要以教師為主導(dǎo)來(lái)組織、引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，特別是培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和自主學(xué)習(xí)能力。所以教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該更豐富、媒體形式更多樣、手段更科學(xué)、理念更先進(jìn)，模式更新穎。例如網(wǎng)絡(luò)教學(xué)、多媒體教學(xué)、啟發(fā)式教學(xué)、發(fā)現(xiàn)式教學(xué)、案例教學(xué)、游戲式教學(xué)等。

要達(dá)到上述要求，就需要拓展教學(xué)內(nèi)容和空間，加強(qiáng)與后續(xù)專業(yè)課程的聯(lián)系與銜接。多結(jié)合實(shí)踐案例和游戲模型來(lái)提高興趣，多留些趣味、應(yīng)用型的思考題，“積小錯(cuò)為大錯(cuò)、以游戲換經(jīng)驗(yàn)”，因?yàn)橛螒蚨嗍怯袛?shù)學(xué)模型的，通過(guò)思考題來(lái)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，積累分析解題的經(jīng)驗(yàn)，此外還需要突出重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)特點(diǎn)。由于補(bǔ)充了大量課外內(nèi)容，所以在教學(xué)課時(shí)不夠的情況下可以舍棄一些次要內(nèi)容以保障重點(diǎn)內(nèi)容的教學(xué)質(zhì)量，并且對(duì)簡(jiǎn)單點(diǎn)的內(nèi)容安排自學(xué)不做重點(diǎn)考核，這樣也可以提高自主學(xué)習(xí)能力。

（一）教學(xué)內(nèi)容的組織和更新

離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容比較“散”，而且難。講課時(shí)盡可能結(jié)合一些實(shí)際問(wèn)題，特別是與計(jì)算機(jī)有關(guān)的問(wèn)題，突出重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)前后聯(lián)系和概念關(guān)聯(lián)性。這樣既提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又使得學(xué)生更好地體會(huì)離散數(shù)學(xué)對(duì)研究計(jì)算機(jī)科學(xué)的重要性。例如圖論和集合論為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)表示理論奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也為許多問(wèn)題從算法角度如何加以解決提供了進(jìn)行抽象和描述的重要方法。在講解圖論中通路與回路概念時(shí)，給出它們?cè)谘芯坎僮飨到y(tǒng)是否存在死鎖，自動(dòng)機(jī)的初始狀態(tài)和結(jié)束狀態(tài)是否可達(dá)，程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言中一個(gè)過(guò)程是否遞歸等方面的應(yīng)用。數(shù)理邏輯是研究推理的學(xué)科，在人工智能、數(shù)據(jù)庫(kù)理論等的研究中有著重要的應(yīng)用。激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力。

在組織教學(xué)內(nèi)容時(shí)注重離散數(shù)學(xué)與前后的計(jì)算機(jī)課程結(jié)合。即在課堂講解時(shí)，盡可能多地介紹離散數(shù)學(xué)與相關(guān)課程的銜接，讓學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到離散數(shù)學(xué)不是一門普通的公共數(shù)學(xué)課。例如，在數(shù)理邏輯部分講解命題聯(lián)結(jié)詞時(shí)，考慮到學(xué)生在先修課數(shù)字邏輯中動(dòng)手設(shè)計(jì)過(guò)邏輯電路圖，以此為切入點(diǎn)進(jìn)行類比講解。在集合論部分講解二元關(guān)系時(shí)，以后續(xù)選修課數(shù)字圖像處理中的二維直方圖為例進(jìn)行講解。在圖論部分講解最小生成樹、最短路徑時(shí)，講清該知識(shí)點(diǎn)與后續(xù)必修課數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)性。還可以介紹學(xué)科前沿的最新動(dòng)態(tài)，直接體會(huì)課程的“實(shí)用性”，激發(fā)科研熱情、提高自主學(xué)習(xí)的興趣。

教學(xué)內(nèi)容革新方面特別要注重與實(shí)際應(yīng)用或可動(dòng)手操作的相關(guān)實(shí)例的結(jié)合。包括各種游戲、案例、實(shí)際應(yīng)用等，可以作為介紹概念時(shí)的引例或參照物，也可以作為課后趣味題、應(yīng)用題、拓展題。還可以穿插結(jié)合心理學(xué)、人生觀、價(jià)值觀、挫折教育等方面的生活勵(lì)志故事，拓展教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)思路，開拓學(xué)生視野，增強(qiáng)他們理解、推理能力和參與社會(huì)實(shí)踐能力。同時(shí)考慮到學(xué)生基礎(chǔ)、學(xué)時(shí)限制等，適當(dāng)降低傳統(tǒng)理論教學(xué)內(nèi)容的難度，側(cè)重于基本概念、原理的應(yīng)用。為保持課程教學(xué)體系的完整性，偏難的理論性內(nèi)容選講、少講或簡(jiǎn)單介紹，適當(dāng)增加與計(jì)算機(jī)應(yīng)用密切相關(guān)的實(shí)踐上機(jī)學(xué)時(shí)，對(duì)學(xué)生較感興趣或應(yīng)用性較強(qiáng)的內(nèi)容增設(shè)課外實(shí)踐環(huán)節(jié)，以興趣小組的形式延續(xù)課堂教學(xué)內(nèi)容。（見表1）

（二）教學(xué)模式的選擇

教學(xué)模式是教學(xué)活動(dòng)的基本結(jié)構(gòu)，科學(xué)合理地選擇教學(xué)模式有助于優(yōu)化教學(xué)過(guò)程、提高教學(xué)質(zhì)量，常常能起到事半功倍的教學(xué)效果。

范例教學(xué)模式是指遵循人的認(rèn)知規(guī)律，從個(gè)別到一般、從具體到抽象，從范例分析入手，逐步提煉、歸納和總結(jié)。例如通過(guò)幾個(gè)有趣的例子分別展示課程的4大模塊，即以“理發(fā)師悖論”為例引導(dǎo)出集合論模塊；以“警察斷案”為例引導(dǎo)出數(shù)理邏輯模塊；以“七橋問(wèn)題”為例引導(dǎo)出圖論模塊；以“布爾邏輯電路”為例引導(dǎo)出代數(shù)系統(tǒng)模塊。但是僅僅請(qǐng)學(xué)生根據(jù)常識(shí)知識(shí)給出答案還不夠，還要通過(guò)這些例子生動(dòng)地介紹離散數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，然后才引出主題。并且在后續(xù)講解中保持類似的教學(xué)模式，利用上表里列舉的各種游戲、案例、實(shí)際應(yīng)用、趣味數(shù)學(xué)和編程題目來(lái)講述一些知識(shí)難點(diǎn)，避免了一般理論性介紹的枯燥，能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

1.啟發(fā)式模式。以問(wèn)題解決為中心，設(shè)定情境、提出問(wèn)題，然后組織學(xué)生猜想或做出假設(shè)性的解釋，進(jìn)而驗(yàn)證并總結(jié)規(guī)律。例如，以“一筆畫”為出發(fā)點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生思考其特點(diǎn)，進(jìn)一步總結(jié)出歐拉圖的定義和性質(zhì)；在代數(shù)系統(tǒng)部分，以小學(xué)的加減乘除法為出發(fā)點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生思考這些運(yùn)算的異同，從而引申出代數(shù)系統(tǒng)的一般性基本概念；以“九連環(huán)”游戲的重復(fù)操作過(guò)程來(lái)比擬對(duì)二叉樹的遍歷等等。用一個(gè)具體可見的模型或者問(wèn)題來(lái)說(shuō)明抽象復(fù)雜的新概念，這樣學(xué)生易于接受，并且不會(huì)因?yàn)橐幌伦用曰蠖a(chǎn)生抵觸情緒。

2.上機(jī)實(shí)踐模式。拓展編程，提高設(shè)計(jì)實(shí)踐能力和興趣。例如編寫程序?qū)线M(jìn)行定義和操作，求兩個(gè)集合的交集，或求兩個(gè)集合的笛卡爾乘積；“八皇后”問(wèn)題的程序設(shè)計(jì)，或者用做好的“八皇后”程序來(lái)分析其內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法；結(jié)合參加數(shù)學(xué)建?；駻CM競(jìng)賽，這樣同學(xué)們就更重視了。

還可以演示某些手機(jī)在拍照的同時(shí)將GPS信息記錄的過(guò)程，通過(guò)這個(gè)過(guò)程來(lái)介紹數(shù)字水印、MD5、GPS和電子證據(jù)等計(jì)算機(jī)相關(guān)理論知識(shí)。然后利用計(jì)算機(jī)、數(shù)碼相機(jī)以及相關(guān)軟件進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該過(guò)程。并且通過(guò)實(shí)驗(yàn)課讓學(xué)生動(dòng)手來(lái)制作數(shù)碼照片的數(shù)字水印、計(jì)算MD5值，利用數(shù)字隱藏軟件在數(shù)碼照片里隱藏?cái)?shù)字信息。這一系列實(shí)驗(yàn)即結(jié)合應(yīng)用了信息安全技術(shù)，又增加了對(duì)電子證據(jù)證明力的理解。這樣的教學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程簡(jiǎn)單易懂又靈活多變，最主要是通過(guò)簡(jiǎn)單的操作卻能夠馬上看見復(fù)雜的操作結(jié)果，又能夠幫助理解抽象的理論知識(shí)。這樣的的教學(xué)手段更能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

3.換位教學(xué)模式，可以讓學(xué)生備課、講課和點(diǎn)評(píng)，產(chǎn)生新鮮感和責(zé)任感，體會(huì)老師工作辛勞。通過(guò)換位可以站在對(duì)方的角度思考，體驗(yàn)對(duì)方的想法，產(chǎn)生互動(dòng)、共鳴。學(xué)生參與備課，在查閱材料的過(guò)程中去理解、深化內(nèi)涵，拓寬外延，體驗(yàn)“再發(fā)現(xiàn)”過(guò)程；分組備課、制作課件、講課，鼓勵(lì)各種新想法及創(chuàng)意，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神；同學(xué)間的補(bǔ)充、點(diǎn)評(píng)和考核，讓學(xué)生在實(shí)踐中吸取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，更容易發(fā)現(xiàn)自己平時(shí)易忽視易錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)；老師也可以站在學(xué)生的角度思考如何講解讓學(xué)生更容易接受，最后通過(guò)點(diǎn)評(píng)和總結(jié)起到畫龍點(diǎn)睛的作用。另外給敢于表現(xiàn)的學(xué)生加分鼓勵(lì)，因?yàn)椤笆握f(shuō)教不如一次表?yè)P(yáng)，十次表?yè)P(yáng)不如一次成功?！睂?duì)這種形式的換位，可以加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，而且可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更能培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的獨(dú)立思考能力、語(yǔ)言表達(dá)能力，成為學(xué)習(xí)的主人。營(yíng)造一種人人參與的氛圍，還能活躍課堂氣氛、拉近老師和學(xué)生的距離，有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)和解決問(wèn)題的能力。

構(gòu)建多維、多層、多方位教學(xué)手段，將課堂講授、專題討論、上機(jī)實(shí)習(xí)、課外自學(xué)等有機(jī)結(jié)合，鼓勵(lì)學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體。同時(shí)，打破一考定勝負(fù)的傳統(tǒng)考核機(jī)制，綜合考察學(xué)生在各種教學(xué)形式中的表現(xiàn)，課程考核采用總成績(jī)=筆試（50%）+平時(shí)成績(jī)（20%）+上機(jī)實(shí)踐（20%）+創(chuàng)新能力（10%）的形式，打造多維教學(xué)模式和評(píng)價(jià)體系。

三、總結(jié)

計(jì)算機(jī)科學(xué)的理論教學(xué)抽象程度高，需要進(jìn)一步探索課程的教學(xué)改革，合理組織教學(xué)內(nèi)容、有效選擇教學(xué)模式、高效運(yùn)用教學(xué)手段、適當(dāng)增加實(shí)踐環(huán)節(jié)，達(dá)到滿意的教學(xué)效果。以提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的興趣、培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力為突破口，進(jìn)行教學(xué)革新，對(duì)學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)具有較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。

另外，也要提高對(duì)教師的要求，教師不僅要有較深厚的計(jì)算機(jī)專業(yè)理論基礎(chǔ)，能把離散數(shù)學(xué)等基礎(chǔ)專業(yè)理論課程和其他課程結(jié)合，合縱連橫，講深講透，還要精心準(zhǔn)備、收集選擇好的教學(xué)案例和素材，結(jié)合合適的教學(xué)方法和教學(xué)規(guī)律，有針對(duì)性選用啟發(fā)式教學(xué)方式。我院計(jì)算機(jī)專業(yè)自實(shí)施離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革以來(lái)，以培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐動(dòng)手能力和抽象思維推理能力為目標(biāo)，教學(xué)內(nèi)容的更新和多種教學(xué)模式激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

篇5

能力是指主體能勝任某項(xiàng)任務(wù)的主觀條件。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與他們的知識(shí)基礎(chǔ)和心理特征有關(guān)。技能是指依據(jù)一定的規(guī)則和程序去完成專門任務(wù)(解決特定的問(wèn)題)的能力。顯然，技能和能力都與知識(shí)密不可分；但學(xué)生在任務(wù)(問(wèn)題)面前如何對(duì)知識(shí)和運(yùn)用這些知識(shí)的途徑進(jìn)行選擇，使得完成任務(wù)(解決問(wèn)題)達(dá)到多快好省，則是一項(xiàng)超越知識(shí)本身的心理活動(dòng)。因此，把知識(shí)、技能和能力三者并列起來(lái)是合理的；但也應(yīng)看清楚，這三者的順序是由低到高，在教育、教學(xué)的意義下是后者更重于前者。

一、歷史的回顧

我國(guó)的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，對(duì)于數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的重要性的認(rèn)識(shí)也有一個(gè)從低到高的過(guò)程。

由中華人民共和國(guó)教育部制訂、1978年2月第1版的《全日制十年制學(xué)校中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試行草案)》，在第2頁(yè)“教學(xué)內(nèi)容的確定”的第(三)條中首次指出：“把集合、對(duì)應(yīng)等思想適當(dāng)滲透到教材中去，這樣，有利于加深理解有關(guān)教材，同時(shí)也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備?！边@一大綱在1980年5月第2版時(shí)維持了上述規(guī)定。

由中華人民共和國(guó)國(guó)家教育委員會(huì)制訂、1986年12月第1版的《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》，在第2頁(yè)“教學(xué)內(nèi)容的確定”的第(三)條中，把上述大綱的有關(guān)文字改成一句話：“適當(dāng)滲透集合、對(duì)應(yīng)等數(shù)學(xué)思想”。1990年修訂此大綱時(shí)，維持了這一規(guī)定。

由中華人民共和國(guó)國(guó)家教育委員會(huì)制訂、1992年6月第1版的《九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試用)》，在第1頁(yè)“教學(xué)目的”中規(guī)定：“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)主要是初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方法?！边@份大綱還第一次把資深的數(shù)學(xué)工作者們熟知的提法“數(shù)學(xué)，它的內(nèi)容、方法和意義”改為數(shù)學(xué)的“內(nèi)容、思想、方法和語(yǔ)言已廣泛滲入自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)，成為現(xiàn)代文化的重要組成部分”，并把這段話放入總論的第一段。在第9頁(yè)上又指出，要“使學(xué)生掌握消元、降次、配方、換元等常用的數(shù)學(xué)方法，解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，理解‘特殊棗一般棗特殊’、‘未知棗已知’、用字母表示數(shù)、數(shù)形結(jié)合和把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題等基本的思想方法”；在第6頁(yè)上還指出，“要注意充分發(fā)揮練習(xí)的作用，加強(qiáng)對(duì)解題的正確指導(dǎo)，應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生從解題的思想方法上作必要的概括?！豹?/p>

由國(guó)家教育委員會(huì)基礎(chǔ)教育司編訂、1996年5月第1版的《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(供試驗(yàn)用)》，在第2頁(yè)“教學(xué)目的”中也規(guī)定：“高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)是指：高中數(shù)學(xué)中的概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方法。”在界定“思維能力”一詞的四個(gè)主要層面時(shí)，指出第三層面是“會(huì)合乎邏輯地、準(zhǔn)確地闡述自己的思想和觀點(diǎn)”；第四層面是“能運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、思想和方法，辨明數(shù)學(xué)關(guān)系，形成良好的思維品質(zhì)”。這份大綱維持了數(shù)學(xué)的“內(nèi)容、思想、方法和語(yǔ)言已成為現(xiàn)代文化的重要組成部分”的提法(第1頁(yè))；并指出數(shù)學(xué)規(guī)律“包括公理、性質(zhì)、法則、公式、定理及其聯(lián)系，數(shù)學(xué)思想、方法和語(yǔ)言”(第24頁(yè))；堅(jiān)持在對(duì)解題進(jìn)行指導(dǎo)時(shí)，應(yīng)該“對(duì)解題的思想方法作必要的概括”(第25頁(yè))。這是建國(guó)以來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法關(guān)注最多的一份中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育工作者對(duì)于數(shù)學(xué)課程發(fā)展的一些共識(shí)。

二、數(shù)學(xué)思想方法

(一)思想、科學(xué)思想和數(shù)學(xué)思想

思想是客觀存在反映在人的意識(shí)中經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果。它是從大量的思維活動(dòng)中獲得的產(chǎn)物，經(jīng)過(guò)反復(fù)提煉和實(shí)踐，如果一再被證明為正確，就可以反復(fù)被應(yīng)用到新的思維活動(dòng)中，并產(chǎn)生出新的結(jié)果。本文所指的思想，都是那些顛撲不破、屢試不爽的思維產(chǎn)物。因此，對(duì)于學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)，思想就成為他們進(jìn)行思維活動(dòng)的細(xì)胞和基礎(chǔ)；思想和下面述及的方法都是他們的思維活動(dòng)的載體。每門科學(xué)都逐漸形成了它自己的思想，而科學(xué)法則概括出各門科學(xué)共同遵循和運(yùn)用的一些科學(xué)思想。

所謂數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。首先，數(shù)學(xué)思想比一般說(shuō)的數(shù)學(xué)概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具體、更豐富，而前者比后者更本質(zhì)、更深刻。其次，數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、數(shù)學(xué)方法三者密不可分：如果人們站在某個(gè)位置、從某個(gè)角度并運(yùn)用數(shù)學(xué)去觀察和思考問(wèn)題，那么數(shù)學(xué)思想也就成了一種觀點(diǎn)。而對(duì)于數(shù)學(xué)方法來(lái)說(shuō)，思想是其相應(yīng)的方法的精神實(shí)質(zhì)和理論基礎(chǔ)，方法則是實(shí)施有關(guān)思想的技術(shù)手段。中學(xué)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)(例如方程觀點(diǎn)、函數(shù)觀點(diǎn)、統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)、向量觀點(diǎn)、幾何變換觀點(diǎn)等)和各種數(shù)學(xué)方法，都體現(xiàn)著一定的數(shù)學(xué)思想。

數(shù)學(xué)思想是一類科學(xué)思想，但科學(xué)思想未必就單單是數(shù)學(xué)思想。例如，分類思想是各門科學(xué)都要運(yùn)用的思想(比方語(yǔ)文分為文學(xué)、語(yǔ)言和寫作，外語(yǔ)分為聽、說(shuō)、讀、寫和譯，物理學(xué)分為力學(xué)、熱學(xué)、聲學(xué)、電學(xué)、光學(xué)和原子核物理學(xué)，化學(xué)分為無(wú)機(jī)化學(xué)和有機(jī)化學(xué)，生物學(xué)分為植物學(xué)、動(dòng)物學(xué)和人類學(xué)等；中學(xué)生見到的最漂亮的分類應(yīng)該是在學(xué)習(xí)哺乳綱動(dòng)物時(shí)所出現(xiàn)的門(亞門)、綱(亞綱)、目(亞目)、屬、科、種的分類表，它不是單由數(shù)學(xué)給予的。只有將分類思想應(yīng)用于空間形式和數(shù)量關(guān)系時(shí)，才能成為數(shù)學(xué)思想。如果用一個(gè)詞語(yǔ)“邏輯劃分”作為標(biāo)準(zhǔn)，那么，當(dāng)該邏輯劃分與數(shù)理有關(guān)時(shí)(可稱之為“數(shù)理邏輯劃分”)，可以說(shuō)是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想；當(dāng)該邏輯劃分與數(shù)理無(wú)直接關(guān)系時(shí)(例如把社會(huì)中的各行各業(yè)分為工、農(nóng)、兵、學(xué)、商等)，不應(yīng)該說(shuō)是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想。同樣地，當(dāng)且僅當(dāng)哲學(xué)思想(例如一分為二的思想、量質(zhì)互變的思想和肯定否定的思想)在數(shù)學(xué)中予以大量運(yùn)用并且被“數(shù)學(xué)化”了時(shí)，它們也可以稱之為數(shù)學(xué)思想。

(二)數(shù)學(xué)思想中的基本數(shù)學(xué)思想

在數(shù)學(xué)思想中，有一類思想是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性和總結(jié)性的思維成果，這些思想可以稱之為基本數(shù)學(xué)思想。基本數(shù)學(xué)思想含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和近現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且也是歷史地形成和發(fā)展著的。

基本數(shù)學(xué)思想包括：符號(hào)與變?cè)硎镜乃枷?，集合思想，?duì)應(yīng)思想，公理化與結(jié)構(gòu)思想，數(shù)形結(jié)合的思想，化歸的思想，對(duì)立統(tǒng)一的思想，整體思想，函數(shù)與方程的思想，抽樣統(tǒng)計(jì)思想，極限思想(或說(shuō)無(wú)限逼近思想)等。它有兩大“基石”棗符號(hào)與變?cè)硎镜乃枷牒图纤枷耄钟袃纱蟆爸е睏棇?duì)應(yīng)思想和公理化與結(jié)構(gòu)思想。有些基本數(shù)學(xué)思想是從“基石”和“支柱”衍生出來(lái)的，例如“函數(shù)與方程的思想”衍生于符號(hào)與變?cè)硎镜乃枷?函數(shù)式或方程式)、集合思想(函數(shù)的定義域或方程中字母的取值范圍)和對(duì)應(yīng)思想(函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則或方程中已知數(shù)、未知數(shù)的值的對(duì)應(yīng)關(guān)系)。所以我們說(shuō)基本數(shù)學(xué)思想是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于“基礎(chǔ)數(shù)學(xué)”(而不是說(shuō)“初等數(shù)學(xué)”)的具有奠基性和總結(jié)性的思維成果?；緮?shù)學(xué)思想及其衍生的數(shù)學(xué)思想，形成了一個(gè)結(jié)構(gòu)性很強(qiáng)的網(wǎng)絡(luò)。中學(xué)數(shù)學(xué)教育、教學(xué)中傳授的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)該都是基本數(shù)學(xué)思想。

非科學(xué)思想當(dāng)然也是大量存在的。例如，“崇洋媚外”的思想就是一種非科學(xué)思想。

中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中處處滲透著基本數(shù)學(xué)思想。如果能使它落實(shí)到學(xué)生學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)上，它就能在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力方面發(fā)揮出一種方法論的功能。

(三)思路、思緒和思考

我們?cè)谥袑W(xué)數(shù)學(xué)教育、教學(xué)中，還經(jīng)常使用著“思路”和“思緒”這兩個(gè)詞語(yǔ)。一般說(shuō)來(lái)，“思路”是指思維活動(dòng)的線索，可視為以串聯(lián)、并聯(lián)或網(wǎng)絡(luò)形狀出現(xiàn)的思想和方法的載體，而“思緒”是指思想的頭緒。“思路”和“思緒”實(shí)際上是同義詞，并且它們都是名詞。

那么，另一個(gè)詞語(yǔ)“思考”又是什么意思呢?“思考”就是進(jìn)行比較深刻、周到的思維活動(dòng)。作為動(dòng)詞，它反映了主體把思想、方法、串聯(lián)、并聯(lián)或用網(wǎng)絡(luò)組織起來(lái)以解決問(wèn)題的思維過(guò)程。由此可見，“思考”所產(chǎn)生的有效途徑就是“思路”或“思緒”；“思路”或“思緒”是“思考”的結(jié)果，是思想、方法的某種選擇和組織，且明顯帶有程序性。對(duì)思路及其所含思想、方法的選擇和組織的水平，反映了學(xué)習(xí)者能力的差異。

(四)方法和數(shù)學(xué)方法

所謂方法，是指人們?yōu)榱诉_(dá)到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式。人們通過(guò)長(zhǎng)期的實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)了許多運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的手段、門路或程序。同一手段、門路或程序被重復(fù)運(yùn)用了多次，并且都達(dá)到了預(yù)期的目的，便成為數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)方法是以數(shù)學(xué)為工具進(jìn)行科學(xué)研究的方法，即用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)事物的狀態(tài)、關(guān)系和過(guò)程，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)、運(yùn)算和分析，以形成解釋、判斷和預(yù)言的方法。

數(shù)學(xué)方法具有以下三個(gè)基本特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精確性，即邏輯的嚴(yán)密性及結(jié)論的確定性；三是應(yīng)用的普遍性和可操作性。

數(shù)學(xué)方法在科學(xué)技術(shù)研究中具有舉足輕重的地位和作用：一是提供簡(jiǎn)潔精確的形式化語(yǔ)言，二是提供數(shù)量分析及計(jì)算的方法，三是提供邏輯推理的工具?，F(xiàn)代科學(xué)技術(shù)特別是電腦的發(fā)展，與數(shù)學(xué)方法的地位和作用的強(qiáng)化正好是相輔相成。

宏觀的數(shù)學(xué)方法包括：模型方法，變換方法，對(duì)稱方法，無(wú)窮小方法，公理化方法，結(jié)構(gòu)方法，實(shí)驗(yàn)方法。微觀的且在中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的基本數(shù)學(xué)方法大致可以分為以下三類：

(1)邏輯學(xué)中的方法。例如分析法(包括逆證法)、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法(要求分類討論)等。這些方法既要遵從邏輯學(xué)中的基本規(guī)律和法則，又因運(yùn)用于數(shù)學(xué)之中而具有數(shù)學(xué)的特色。

(2)數(shù)學(xué)中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、圖象法(也稱坐標(biāo)法。代數(shù)中常用圖象法，解析幾何中常用坐標(biāo)法)、向量法、比較法(數(shù)學(xué)中主要是指比較大小，這與邏輯學(xué)中的多方位比較不同)、放縮法、同一法、數(shù)學(xué)歸納法(這與邏輯學(xué)中的不完全歸納法不同)等。這些方法極為重要，應(yīng)用也很廣泛。

(3)數(shù)學(xué)中的特殊方法。例如配方法、待定系數(shù)法、加減法、公式法、換元法(也稱之為中間變量法)、拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法(含有添加輔助元素實(shí)現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想)、因式分解諸方法，以及平行移動(dòng)法、翻折法等。這些方法在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)起著重要作用，不可等閑視之。

(五)方法和招術(shù)

如上所述，方法是解決思想、行為等問(wèn)題的門路和程序，是思想的產(chǎn)物，是包含或體現(xiàn)著思想的一套程序，它既可操作又可仿效。在選擇并實(shí)施方法的前期過(guò)程中，反映了學(xué)習(xí)者的能力和技能的高低；而在后期過(guò)程中，只反映了學(xué)習(xí)者的技能的差異。

所謂“招術(shù)”“招”字應(yīng)正為“著”字，本文仍用傳統(tǒng)的“一招一式”的說(shuō)法。是指解決特殊問(wèn)題的專用計(jì)策或手段，純屬于技能而不屬于能力。“招”的教育價(jià)值遠(yuǎn)低于“法”(這里的“法”指“通法”)的價(jià)值。“法”的可仿效性帶有較為“普適”的意義，而“招”的“普適”要差得多；實(shí)施“招”要以能實(shí)施管著它的“法”為前提。

例如，待定系數(shù)法是一種特別有用的“法”。求二次函數(shù)的解析式時(shí)，用待定系數(shù)法根據(jù)圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出解析式可看作第一“招”；根據(jù)頂點(diǎn)和另一點(diǎn)的坐標(biāo)求出解析式可看作第二“招”；根據(jù)與x軸交點(diǎn)和另一點(diǎn)的坐標(biāo)求出解析式可看作第三“招”。這三“招”各有奇妙之處。哪一“招”更好使用，要看條件和管著它們的“法”而定。教師授予學(xué)生“用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式”，最根本、最要緊的“法旨”就在于讓學(xué)生明確二次函數(shù)的解析式中自變量、函數(shù)值和圖象上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；對(duì)于一般的點(diǎn)和特殊的點(diǎn)(例如頂點(diǎn)及與x軸的交點(diǎn))，解析式可以有什么不同的反映。而這樣的“法旨”，恰恰體現(xiàn)了對(duì)應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合的思想。由此看來(lái)，我國(guó)古代傳說(shuō)中經(jīng)常提到的某些師傅對(duì)待弟子“給‘招’不給‘法’”的現(xiàn)象，在現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教育、教學(xué)中應(yīng)該盡量避免。

三、中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中應(yīng)該傳授的基本數(shù)學(xué)思想和方法

(一)中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中應(yīng)該傳授的基本數(shù)學(xué)思想

中學(xué)數(shù)學(xué)教科書擔(dān)負(fù)著向?qū)W生傳授基本數(shù)學(xué)思想的責(zé)任，在程度上有“滲透”、“介紹”和“突出”之分。　 1.滲透?！皾B透”就是把某些抽象的數(shù)學(xué)思想逐漸“融進(jìn)”具體的、實(shí)在的數(shù)學(xué)知識(shí)中，使學(xué)生對(duì)這些思想有一些初步的感知或直覺(jué)，但還沒(méi)有從理性上開始認(rèn)識(shí)它們。要滲透的有集合思想、對(duì)應(yīng)思想、公理化與結(jié)構(gòu)思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想、極限思想等。前三種基本數(shù)學(xué)思想從初中一年級(jí)就開始滲透了，并貫徹于整個(gè)中學(xué)階段；抽樣統(tǒng)計(jì)思想可從初中三年級(jí)開始滲透，極限思想也可從初中三年級(jí)的教科書中安排類似于“關(guān)于圓周率π”這樣的閱讀材料開始滲透。至于公理化與結(jié)構(gòu)思想，要注意根據(jù)人類的認(rèn)識(shí)規(guī)律，一開始就采取擴(kuò)大的公理體系。例如，教科書既可以把“同位角相等，兩直線平行”和它的逆命題都當(dāng)作公理，也可以把判定兩個(gè)三角形全等的三個(gè)命題“邊角邊”、“角邊角”和“邊邊邊”都當(dāng)作公理。

這種滲透是隨年級(jí)逐步深入的。例如集合思想，初中是用文氏圖或列舉法來(lái)表示集合，不等式(組)的解集可以用數(shù)軸表示或用不等式(組)表示；高中則是列舉法、描述法、文氏圖三者并舉，并同時(shí)允許用不等式(組)、區(qū)間或集合的描述法來(lái)表示實(shí)數(shù)集的某些子集。又如對(duì)應(yīng)思想，初中只用文字、數(shù)軸或平面直角坐標(biāo)系來(lái)講對(duì)應(yīng)；高中則在此基礎(chǔ)上引入了使用符號(hào)語(yǔ)言的對(duì)應(yīng)法則。至于公理化與結(jié)構(gòu)思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想和極限思想在初、高中階段的不同滲透水平，則是眾所周知的?！皾B透”到一定程度，就是“介紹”的前奏了。

2.介紹。“介紹”就是把某些數(shù)學(xué)思想在適當(dāng)時(shí)候明確“引進(jìn)”到數(shù)學(xué)知識(shí)中，使學(xué)生對(duì)這些思想有初步理解，這是理性認(rèn)識(shí)的開始。要介紹的有符號(hào)與變?cè)硎镜乃枷搿?shù)形結(jié)合的思想、化歸的思想、函數(shù)與方程的思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想、極限思想等。這種介紹也是隨年級(jí)逐步增加的。有的思想從初中一年級(jí)起就開始介紹(例如前四種基本數(shù)學(xué)思想)，有的則是先滲透后介紹(例如后兩種基本數(shù)學(xué)思想)?！敖榻B”與“滲透”的基本區(qū)別在于：“滲透”只要求學(xué)生知道有什么思想和是什么思想，而“介紹”則要求學(xué)生在此基礎(chǔ)上進(jìn)而知道為什么叫做思想(含思想的要素和特征)、用什么思想(含思想的用途)并學(xué)會(huì)運(yùn)用。作為補(bǔ)充，也可以就問(wèn)題適時(shí)地向?qū)W生介紹如何運(yùn)用一分為二的思想和整體思想。

3.突出?！巴怀觥本褪前涯承?shù)學(xué)思想經(jīng)常性地予以強(qiáng)調(diào)，并通過(guò)大量的綜合訓(xùn)練而達(dá)到靈活運(yùn)用。它是在介紹的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，目的在于最大限度地發(fā)揮這些數(shù)學(xué)思想的功能。要突出的有數(shù)形結(jié)合的思想、化歸的思想、函數(shù)與方程的思想等。這些基本數(shù)學(xué)思想貫穿于整個(gè)中學(xué)階段，最重要、最常用，是中學(xué)數(shù)學(xué)的精髓，也最能長(zhǎng)久保存在人一生的記憶之中。“介紹”與“突出”的基本區(qū)別在于：“介紹”只要求學(xué)生知道用什么和會(huì)用，而“突出”則要求學(xué)生在此基礎(chǔ)上進(jìn)而知道選用和善用。作為補(bǔ)充，也可以就數(shù)學(xué)問(wèn)題經(jīng)常向?qū)W生突出分類思想的運(yùn)用。

(二)中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中應(yīng)該傳授的基本數(shù)學(xué)方法

在傳授基本數(shù)學(xué)方法方面，仍如義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱所界定的，有“了解”、“理解”、“掌握”和“靈活運(yùn)用”這四個(gè)層次。這四個(gè)層次的含義也可以遵照該大綱中的提法(第8頁(yè)腳注)，新的高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(供試驗(yàn)用。本文下面所述“高中大綱”均指此大綱)維持了這些提法(第4頁(yè)腳注)。分別屬于這四個(gè)層次的基本數(shù)學(xué)方法的例子有：“了解數(shù)學(xué)歸納法的原理”(高中大綱第9頁(yè))，“了解用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題”(高中大綱第10頁(yè))；“理解‘消元’、‘降次’的數(shù)學(xué)方法”(初中大綱第19頁(yè))；“掌握分析法、綜合法、比較法等幾種常用方法證明簡(jiǎn)單的不等式(高中大綱第6頁(yè))”；“靈活運(yùn)用一元二次方程的四種解法求方程的根”(初中大綱第17頁(yè)。四種解法指直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法)。在這方面，大綱的規(guī)定是比較明確的。